湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.14 完全平方公式（专项练习）

专题2.14完全平方公式（专项练习）一、单选题1．(2023·河南信阳市·八年级期末）若x2+mx+16＝（x+n）2，其中m、n为常数，则n的值是（）．A．n＝8 B．n＝±8 C．n＝4 D．n＝±42．(2023·浙江杭州市·七年级期中）已知，则等于（）A． B． C．4 D．33．(2023·云南玉溪市·八年级期末）若，则的值为（）A．3 B．6 C．9 D．124．(2023·湖北襄阳市·八年级期末）小明同学做了四道练习题：①（a+b）2=a2+b2；②（-2a2）2=-4a4；③a2·a3=a5；④-2mn-mn=-mn，其中他只做对了一道题，这道题的序号是（）A．① B．② C．③ D．④5．(2023·浙江杭州市·七年级期中）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（既没有重叠也没有缝隙），则长方形的面积为（）A． B． C． D．6．(2023·福建福州市·八年级期末）下列运算正确的是（）A． B． C． D．7．(2023·浙江杭州市·七年级期中）已知，，则的值为（）A．3 B．6 C．12 D．188．(2023·浙江杭州市·七年级期末）设，，，，其中①当时，．②当时，．则下列正确的是（）A．①正确②错误 B．①正确②正确C．①错误②正确 D．①错误②错误9．(2023·江西宜春市·八年级期末）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（）

A． B．C． D．10．(2023·四川巴中市·八年级期末）在括号内填上适当的单项式，使成为完全平方式应填（）A． B． C． D．11．(2023·贵州遵义市·九年级期末）下列运算正确的是（）A． B．C． D．12．(2023·广东广州市·八年级期末）若x2+kx+16能写成一个多项式的平方形式，则k的值为（）A．±8 B．8 C．±4 D．4二、填空题13．(2023·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）已知，，则______．（2）若，，用含x的代数式表示y，结果是______．14．(2023·江西赣州市·八年级期末）若a+b=6，ab=4，则a2+4ab+b2的值为____．15．(2023·浙江杭州市·七年级期中）（1）设是一个完全平方式，则______．（2）已知，那么________．16．(2023·浙江杭州市·七年级期末）当取______时，取______时，多项式取得最小值是______．17．(2023·浙江杭州市·七年级期末）已知，且，则代数式________．18．(2023·湖北黄冈市·八年级期末）已知，，则的值为__________．19．(2023·山西朔州市·八年级期末）若x2+4x-4=0，则3（x-2）2-6(x+1)(x-1)的值为_________．20．(2023·浙江杭州市·七年级期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．根据上面的规律，写出的展开式：_________．利用上面的规律计算：_________．21．(2023·河南南阳市·八年级期末）边长为m、n的长方形的周长为14，面积为10，则的值为_________．三、解答题22．(2023·浙江杭州市·七年级期中）已知关于，的方程组，其中是实数．（1）解这个方程组（用含的代数式表示，）；（2）若方程组的解也是方程的一个解，求的值；（3）求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．23．(2023·浙江杭州市·七年级期末）（1）己知，，求的值；（2）化简：．24．(2023·湖北武汉市·八年级期末）整式的计算：（1）（2）25．(2023·山东济宁市·八年级期末）阅读下列文字，并解决问题．已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．我们知道，满足x2y＝3的x，y的值可能较多，不可能逐一代入求解，而运用整体思想能使问题化繁为简，化难为易，运用整体代入的方法能巧妙地解决一些代数式的求值问题，于是将x2y＝3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．请你用上述方法解决问题：（1）已知ab＝4，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值；（2）已知x﹣＝5，求的值．26．(2023·河南商丘市·八年级期末）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a＋b＝8，ab＝6，求图中阴影部分的面积．

参考答案1．D【分析】由完全平方式的展开式，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵x2+mx+16＝（x+n）2，∴，，故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式进行解题．2．A【分析】根据a+b=2，ab=-3，先求出（a-b）2，然后开方即可解得答案．【详解】解：根据a+b=2，ab=-3，∴（a-b）2=（a+b）2-4ab，=4+12=16，故a-b=±4．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键是熟练运用完全平方公式进行解题．3．C【分析】利用完全平方公式变形为，再把已知整体代入即可求解．【详解】∵，∴，．故选：C．【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式以及整体代入法是解题的关键．4．C【分析】根据完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，判断即可．【详解】解：①（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，原式错误；②（-2a2）2＝4a4，原式错误；③a2·a3=a5，原式正确；④-2mn-mn=-3mn，原式错误；故选：C．【点睛】此题考查完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，关键是掌握完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法法则，合并同类项法则．5．B【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用．【详解】解：长方形的面积为：（a+4）2（a+1）2=（a2+8a+16）（a2+2a+1）=a2+8a+16a22a1=6a+15．∴长方形的面积是（6a+15）cm2．故选：B【点睛】此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式．6．B【分析】根据同底数幂、幂的乘方，积的乘方运算法则，完全平方公式一一计算判断选择即可.【详解】A.因为a2⋅a3=a5，所以A错误；B.因为a⋅a−1=1(a≠0)，所以B正确；C.因为(-3ab2)2=9a2b4，所以C错误；D.因为(a-1)2=a2-2a+1，所以D错误；故选：B.【点睛】本题考查的是整式的运算，能够熟练掌握整式运算的法则是解题的关键.7．B【分析】根据公式得出（a+b）2=a2+b2+2ab，代入求出即可．【详解】解：∵a2+b2=12，ab=-3，

∴（a+b）2

=a2+b2+2ab

=12+2×（-3）

=6，

故选：B．【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2．8．B【分析】当时，即，由可得，，进而求出，，再代入求出的值即可判断①的正误；再利用公式变形，当时，求出相应的的值即可．【详解】解：当时，即，由可得，，因此，，，，因此①正确；当时，即，又，，，，因此②正确；故选：．【点睛】本题考查整式的加减、完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征和整式加减的法则是正确计算的前提．9．B【分析】先求出图形的面积，根据图形面积的关系，写出等式即可．【详解】解：大正方形的边长为：,空白正方形边长：，图形面积：大正方形面积，空白正方形面积，四个小长方形面积为：，∴=+．故选择：B．【点睛】本题考查利用面得到的等式问题，掌握面积的大小关系，抓住大正方形面积=空白小正方形面积+四个小正方形面积是解题关键．10．C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可；【详解】；故答案选C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，准确判断是解题的关键．11．B【分析】A.根据合并同类项解题；B.根据积的乘方解题；C.根据完全平方公式；D.根据去括号法则，判断即可．【详解】解：A.，原选项计算错误，不符合题意；B.，原选项计算正确，符合题意；C.，原选项计算错误，不符合题意；D.，原选项计算错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式、去括号法则等．熟记法则能分别计算是解题关键．12．A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．【详解】解：∵x2+kx+16＝x2+kx+42，x2+kx+16能写成一个多项式的平方形式，∴kx＝±2•x•4，解得k＝±8．故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．13．±4-x2-6x-5【分析】（1）根据完全平方公式，即可解答．（2）根据幂的乘方法则可得y=4-25m=4-（5m）2，由x=5m-3可得5m=x+3，再根据幂的乘方解答即可．【详解】解：（1）（x-y）2=（x+y）2-4xy=62-4×5=16．所以x-y=±4．故答案是：±4．（2）由x=5m-3可得5m=x+3，∴y=4-25m=4-（5m）2=4-（x+3）2=-x2-6x-5．故答案为：-x2-6x-5．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方以及列代数式，熟记相应的公式和运算法则是解答本题的关键．14．44【分析】对先拆项得，进行完全平方变形，代换求解即可．【详解】，又，∴，故答案为：44．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键．15．±4423【分析】（1）根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2先求出另一个数，然后平方即可；（2）将已知等式两边平方，从而得到结果．【详解】解：（1）∵4x2+mx+121是一个完全平方式，

∴mx=±2×11×2x，

∴m=±44．（2）∵，两边平方，∴，∴．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．16．2-55【分析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．【详解】解：2x2-8x+y2+10y+38=2（x²-4x+4）+y2+10y+25+5=2（x-2）2+（y+5）2+5，又∵2（x-2）2+（y+5）2+5的最小值是5，∴2x2-8x+y2+10y+38的最小值为5．∴当x=2，y=-5时，多项式2x²+y²-8x+10y+38取得最小值5.故答案为：2；-5；5．【点睛】本题考查完全平方公式的应用；根据-8x，10y把所给代数式整理为两个完全平方式的和是解决本题的关键．17．7【分析】根据得到，可变形，再将适当变形，最后代入计算．【详解】解：∵，∴，即，∴，又∵x＞1，∴，∴，即，∴，∴===7，故答案为7．【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，解题的关键是根据得到．18．【分析】将变形为，再整体代入即可求解．【详解】解：∵，，∴==．故答案为：9．【点睛】本题主要考察了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．19．6【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：∵x2+4x-4=0，即x2+4x=4，

∴原式=3（x2-4x+4）-6（x2-1）=3x2-12x+12-6x2+6=-3x2-12x+18=-3（x2+4x）+18=-12+18=6．

故答案为：6．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．20．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b51【分析】（1）直接根据图示规律写出图中的数字，再写出（a+b）5的展开式；（2）发现这一组式子中是2与-1的和的5次幂，由（1）中的结论得：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=（2-1）5，计算出结果．【详解】解：（1）如图，则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）25-5×24+10×23-10×22+5×2-1．=25+5×24×（-1）+10×23×（-1）2+10×22×（-1）3+5×2×（-1）4+（-1）5=（2-1）5=1．【点睛】本题考查了完全式的n次方，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．21．290【分析】根据题意可知m＋n＝7，mn＝10，再由因式分解法将多项式进行分解后，可求出答案．【详解】解：由题意可知：m＋n＝7，mn＝10，原式＝mn（m2＋n2）＝mn[(m+n)2-2mn]=10×(72-2×10)=10×29＝290故答案为：290．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用因式分解法以及完全平方公式的变形公式．22．（1）；（2）-1；（3）25【分析】（1）把a看做已知数，利用加减消元法求出解即可；（2）把方程组的解代入方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值；（3）将代数式x2-kxy+9y2变形为（x-3y）2+6xy-kxy，求出（x-3y）2的值，将x和y的值代入，得到25+（6-k）（3a2-7a）+2（6-k），根据原代数式的值与的取值无关，即可求解．【详解】解：（1）方程组，①×3+②得：5x＝15a-5，解得：x＝3a-1，把x＝3a-1代入①得：y＝a-2，则方程组的解为；（2）把方程组代入方程得：3a-1-5a+10＝3，解得：a＝3，则原式＝-1．（3）x2-kxy+9y2＝（x-3y）2+6xy-kxy∵，∴x-3y=3a-1-3（a-2）=5，∴（x-3y）2=25，∴原式＝25+（6-k）（3a-1）（a-2）＝25+（6-k）（3a2-7a）+2（6-k）∵代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，∴当k＝6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（1）12；（2）【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．（2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可计算．【详解】解：（1）∵10m=2，10n=3，∴原式=（10m）2×1