苏科版八年级数学下册题型突破提高类型十二、反比例函数与矩形结合(原卷版+解析)

类型十二、反比例函数与矩形结合【解惑】如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为轴、轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，则的长为______．

方法：1.连接，交于点Q，首先证明点Q是的中点；2.根据折叠可得Q是中点，，设，则,；3.再由在上可得，求得；4.再在中根据勾股定理求出即可求出、的值，进而求出、的坐标；5.最后求出的长．【融会贯通】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数图像上，纵坐标分别为1，4，则k的值为（

）A． B． C． D．2．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（

）A． B．2 C． D．3.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是5，则k的值为______．【知不足】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且，，反比例函数的图象经过点E，若，，则值是（

）A． B．15 C． D．122．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图像与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为（

）A． B． C． D．3．如图，点为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则______．4．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且EDOB，则点E的坐标是_______．【一览众山小】1．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：（1）点的坐标为______（2）作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为_____．2．如图，矩形顶点坐标分别为，，．(1)若反比例函数与的图像过点D，则k＝．(2)若反比例函数与矩形的边、分别交于点E、点F，且的面积是，则反比例函数的表达式为．(3)若反比例函数的图像将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k的取值范围是．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为的中点．一次函数的图象经过点C、D，反比例函数的图象经过点B，求k的值．4．如图，已知正方形的面积为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数，图象上，点是函数，图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为．(1)点的坐标是，；(2)当，求点的坐标；(3)求出关于的函数关系式．5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与矩形的边分别交于点，且M为的中点，点．(1)求反比例函数的解析式．(2)求的面积．【温故为师】1．如图（1），已知，矩形的边，对角线长为5，将矩形置于直角坐标系内，点与原点重合，且反比例函数的图象的一个分支位于第一象限．(1)求图（1）中，点的坐标是多少？(2)若矩形从图（1）的位置开始沿轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后，点刚好落在反比例函数的图象上，如图（2），求反比例函数的表达式．(3)矩形继续向轴的正方向移动，、与反比例函数图象分别交于、两点，如图（3），设移动总时间为（），分别求出的面积、的面积与的函数关系式．(4)在（3）的情况下，当为何值时，，请直接写出答案．2．如图，矩形的边分别与反比例函数的图象相交于点D、E，与相交于点F．(1)若点B的坐标为，求点D、E、F的坐标；(2)求证：点F是的中点．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．(1)求反比例和一次函数解析式．(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．4．在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()．(1)如图1，若点A坐标为(2，4)．①求m，k的值；②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．(2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．(3)如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函数y=（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=k2x+b．(1)求反比例函数和直线EF的解析式；(2)求△OEF的面积；(3)请直接写出不等式k2x+b﹣＜0的解集．6．定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．例如，图1中，矩形ABCD的边ADBCx轴，ABCDy轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．解决问题：(1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号）(2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；(3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．7．反比例函数的图象与直线交点为、，点在点的左侧．(1)如图1，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)如图2，点是反比例函数（）上一点，点是平面内一点，连接，、，若四边形是矩形，求点的坐标；(3)如图3，点是轴上一点，以为边向线段右侧作等边，若点在第四象限且到轴的距离是，求点的坐标．类型十二、反比例函数与矩形结合【解惑】如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为轴、轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，则的长为______．

方法：1.连接，交于点Q，首先证明点Q是的中点；2.根据折叠可得Q是中点，，设，则,；3.再由在上可得，求得；4.再在中根据勾股定理求出即可求出、的值，进而求出、的坐标；5.最后求出的长．【融会贯通】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数图像上，纵坐标分别为1，4，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】C2．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D3.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是5，则k的值为______．【答案】2【详解】过点A作轴于点，∵点在双曲线上，点在双曲线上，∴矩形的面积为：，矩形的面积为：7，∵矩形的面积是5，∴，解得：．【知不足】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且，，反比例函数的图象经过点E，若，，则值是（

）A． B．15 C． D．12【答案】A【详解】解：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，OA=5，OC=3，∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=3，∴DA=DB，∴四边形AEBD是菱形；连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA=5，OC=3，∴EF=DF=OA=，AF=AB=，5+=，∴点E坐标为：（，）．∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点E，∴k=，2．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图像与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设点A坐标为，∵B是点A的“倒数点”∴点B坐标为，∵点B的纵坐标满足，∴点B在某个反比例函数上，∴点B不可能在OE，OC上，分两种情况讨论：点B在ED上，由ED//x轴，∴点B点A的纵坐标相等，即，∴∴B的纵坐标为1，此时；点B在DC上，得点B横坐标为3，即，∴点B纵坐标为：，∴．3．如图，点为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则______．【答案】【详解】解：设，则，∴，∴，∵的面积为，∴，∴，∴，4．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且EDOB，则点E的坐标是_______．【答案】(2，4)【详解】解：连接OE，∵反比例函数的图象与AB、BC分别交于点E、F，∴，，设D(m，n)∵矩形对角线的交点D在反比例函数的图象上，∴mn=，n=，∵矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，∴B(2m，2n)∴A=2n，AB=2m，∴，∴AE=，∴BE，E(，)，∴OA=，∵OD=BD，EDOB，∴OE=BE=，在RtAOE中，，∴整理得∵m0，∴m=4，∴E(2，4)，【一览众山小】1．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：（1）点的坐标为______（2）作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为_____．【答案】

，【详解】解：（1）∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数（x＞0）的图象上，∴P1（1，1），∴k=1，∴反比例函数的解析式为：，∵B1是P1A的中点，∴P2A1=AB1=，∴OA1=2，2．如图，矩形顶点坐标分别为，，．(1)若反比例函数与的图像过点D，则k＝．(2)若反比例函数与矩形的边、分别交于点E、点F，且的面积是，则反比例函数的表达式为．(3)若反比例函数的图像将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k的取值范围是．【答案】(1)3(2)(3)【详解】（1）解：由题意可知D点的坐标为，∵反比例函数与的图像过点D，∴；（2）解：如图：设反比例函数的表达式为，在中，令得，令得，∴，，∵，∴，，∵的面积是，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴反比例函数的表达式为；（3）解：如图：矩形ABCD边界上横、纵坐标均为整数的点有，，，，，，∵，，，，，，∴反比例函数（x＞0）的图像将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则，3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为的中点．一次函数的图象经过点C、D，反比例函数的图象经过点B，求k的值．【答案】6【详解】解：在中，令，则，解得，∴，∴，∴，∵点D为的中点，∴点，∵点D在直线上，∴，∴．4．如图，已知正方形的面积为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数，图象上，点是函数，图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为．(1)点的坐标是，；(2)当，求点的坐标；(3)求出关于的函数关系式．【答案】(1)，(2)或(3)当时，；当时，【详解】（1）解：正方形的面积为，，．又点在函数的图象上，．（2）分两种情况：①当点在点的左侧时，，在函数上，．，，，；②当点在点或的右侧时，在函数上，．，，．．（3）当时，．当，时，的纵坐标是，由题意．5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与矩形的边分别交于点，且M为的中点，点．(1)求反比例函数的解析式．(2)求的面积．【答案】(1)y=6x(2)【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，∴轴，，，∵M为的中点，∴M的坐标是，把M点的坐标代入，得，所以反比例函数的解析式是；（2）解：将代入中，得，即点N的坐标是，∵四边形是矩形，，，∴，，，，，∴的面积．【温故为师】1．如图（1），已知，矩形的边，对角线长为5，将矩形置于直角坐标系内，点与原点重合，且反比例函数的图象的一个分支位于第一象限．(1)求图（1）中，点的坐标是多少？(2)若矩形从图（1）的位置开始沿轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后，点刚好落在反比例函数的图象上，如图（2），求反比例函数的表达式．(3)矩形继续向轴的正方向移动，、与反比例函数图象分别交于、两点，如图（3），设移动总时间为（），分别求出的面积、的面积与的函数关系式．(4)在（3）的情况下，当为何值时，，请直接写出答案．【答案】(1)(2)(3)；(4)【详解】（1）解：连接，，，由勾股定理得，点的坐标为；（2）解：，1秒后点的坐标为，代入得：，，反比例函数的解析式为：；（3）解：在双曲线上时，，，，秒后的坐标是，把代入得：，的坐标是，，（4）解：，，解得：或（舍去），当时，．2．如图，矩形的边分别与反比例函数的图象相交于点D、E，与相交于点F．(1)若点B的坐标为，求点D、E、F的坐标；(2)求证：点F是的中点．【答案】(1)，，(2)见解析【详解】（1）解：根据题意得：轴，轴，∵点B的坐标为，∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2，∵点D、E在反比例函数的图象上，∴，，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线的解析式为，把点代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立方程组，解得，∴；（2）证明：设点B的坐标为，∴D点横坐标为a，E点纵坐标为b，∵点D、E在反比例函数的图象上，∴，，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线的解析式为，把点代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立方程组，解得，∴，∵，，∴的中点坐标为，即，∴点F是的中点．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．(1)求反比例和一次函数解析式．(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．【答案】(1)，(2)0≤m≤(3)点N坐标为（，）；点M的坐标为（，）（1）解：延长AD交x轴于F，∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD=AD，AD∥OB，则AF⊥x轴，∵点D坐标为（4，3），∴OF=4，DF=3，∴OD=5，即OB=AD=5，∴A（4，8），B（0，5），∴k=4×8=32，∴反比例函数的解析式为；将A、B坐标代入中，得，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处，∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3），∴，∴m=，∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤．（3）解：存在，理由为：如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°，由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，则∠NOB=∠FOD，又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，∴△ONB≌△OFD（AAS），∴S△ONB=S△OFD，则，∴NH=，∵点N在直线AB上，∴当x=时，，∴点N坐标为（，）；设M（x，），则x+0=+4，解得：x=，，∴点M的坐标为（，）．4．在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()．(1)如图1，若点A坐标为(2，4)．①求m，k的值；②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．(2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．(3)如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．【答案】(1)①，；②6(2)1(3)D为线段GF的中点，理由见解析【详解】（1）解：①∵点A(2，4)在上，∴，；∵点A(2,4)在上，∴，②∵点D的横坐标为4，∴当时，，∴D(4,2)分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于点H、K，∵，，∴；（2）解：∵直线AC，BD经过原点且与反比例函数分别交于点A，C，B，D，反比例函数的图像关于原点中心对称，∴点A，C关于原点对称，点B、D关于原点对称，∴，，∴四边形ABCD为平行四边形．当时，四边形ABCD是矩形．∵点A，D的横坐标分别为s，t()，∴点A的坐标为(s,)，点D的坐标为(t,)，∴，∴，∴，∴∴，∴∴又∵A(s,)在上，∴，∴D(t，在上，∴，∴．（3）解：由(2)知，，，则设CD的表达式为，解得，∴CD的表达式为，∵轴交CD于点E，∴当时，∴E(s，)，∵四边形AEFG是矩形∴∴，∴∴D为线段GF的中点．5．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函数y=（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=k2x+b．(1)求反比例函数和直线EF的解析式；(2)求△OEF的面积；(3)请直接写出不等式k2x+b﹣＜0的解集．【答案】(1)直线EF的解析式为y=-x+5(2)(3)或x>6（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C点坐标为（6，4），∵点A为线段OC的中点，∴A点坐标为（3，2），∴k1=3×2=6，∴反比例函数解析式为y=；把x=6代入y=，得y=1，则F点的坐标为（6，1），把y=4代入y=，得x=，则E点坐标为（，4），把F、E的坐标代入y=k2x+b得，解得，∴直线EF的解析式为y=-x+5；（2）的面积=S矩形BCDO-S△ODE-S△OBF-S△CEF==．（3）结合函数图象，写出直线在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围，即可得到不等式k2x＋b－<0的解，因为E点坐标为（，4），F点的坐标为（6，1），则k2x＋b－<0解是：或x>6．6．定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该