2023年高考数学强基计划模拟试卷19（含答案）

2023年高考数学强基计划模拟题（十九）

（满分100分，测试时间：60分钟）

选择题（每题10分）

1.设有复数31=-：+号3O）2=COS，+isin（7T,令3=31“2，则复数3+小+

Zzn>

a）3+-+co2011=.（）

A.o）B.a）2C.a）3D.a）4

2.△力BC为等边三角形，边长为3,P为平面外一点,P满足|PA|=3,\PB\=4,|PC|=5,

则%-4BC为♦（）

A.VilB.VlOC.yD.y

3.一个盒子里装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个.

从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为P1，恰好有3个红色和1个白色的

概率为P2,恰好有2个红色、1个白色和1个蓝色的概率为P3,四种颜色各1个的概率为P4,

若恰好有Pl=P2=P3=P4,则这个盒子里玻璃球的个数的最小值等于.（）

A.17B.19C.21D.以上选项都不正确

4.已知多项式--2x3+（m+2）x2—（4m+2）x+4m+1>0恒成立，则m的取值范

围为.（）

A.[0,+8）B.（-8期C.[1,1]D.眩，+8）

5.如图所示，已知正方体ABCD-&B1GD1的棱长为4,点H在棱上，且=1.

在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGCi，P是侧面BCG为内一动点，且点P到平面

CDDiG的距离等于线段PF的长.当点P运动时，|"P|2的最小值是.（）

A.21B.22C.23D.25

6.已知抛物线y2=4x的焦点为尸，过点P（2,0）的直线交抛物线于4,B两点，直线4F,

BF分别与抛物线交于点C,D.设直线AB,CD的斜率分别为七，&，则各等于.（）

A.gB.；C.1D.2

二、解答题（每小题20分）

7、已知a是给定一正实数，考虑满足下列条件的数列：x0=0,xn=xn_x+a,或4=

-xn-i—a,n=1,2,­••,2008.试求表达式%+%24---FX2008I的最小值.

8、称自然数m覆盖2987;如果数字2,9,8,7依次序2,9,8,7出现在m的十进制表

示数码中，用版n）表示覆盖2987的由非零数码构成的n位数的个数.求k（n）除以8所得的

余数.

答案

LA【解析】根据题意有&)=COS(|TT4-|TT)+is\n(^n+|TT)=cosy|zi4-isin^n.

因此315=1,于是

+2j_i20113(1-0)2011)s(l-d)134xl5+l)

3十3/H-----FQ/3=—---------=———：------------=0)•

1一31-3

2.A【解析】ZkPBC为直角三角形，外心为PC的中点，取PC的中点为M,由于|4B|=|4C|=

\AP\=3,因此4点在平面PBC的射影就是点M,则4M就是高苧，所以体积为VTL

3.C【解析】不妨设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球个数分别为n2,n3>n4•由题意

2

可以得到C4nl=髭1九2=Cnin2n3=九述2九3九4，所以九1=2n4+1,九1=3n3+2,%=

4n2+3,故九i+电+&+n4=2S；i123.注意到场,九2，九3,几4均为整数，所以几1的最小值

为11,几]+九2+九3+九4=25：,23千2].

4.A【解析】配方得到—I)2+m(x-2)2+(%-I)2>0,取x=1代入，得到mN0,为

必要条件;反之，若m>0,则原式N0.

5.B【解析】在BBi上取点K,使得181Kl=1,则HK，面BCC/i,连接PK,则|HP/=\HK\2+

\PK\2=16+|PK『.

在平面BCCiB]上，以CCi所在直线为%轴，以GF所在直线为y轴,由题意可知，P点轨迹为抛

物线，其方程为/=2y—l,K点坐标为(0,4).设P(%y),则/=2y-1(其中xE[—3,1],

"[6；])♦

故|PK|2=X2+(y-4)2=2y-1+y2-8y+16=y2-6y+15.

当y=36[—另]时，|PK|3n=6.故|"P|3n=16+6=22.本题考查正方体和抛物线的综

合应用.

联立［；2一=2:2、得k4_4y_8kl=o.

6.B【解析】设直线AB的方程为丫=七。一2),

设4(xi，%),B(x2,y2),直线AC的方程为y=S、Q-l),联立|y=含得

1(y2=4x,

力2yi

—y—=o,

则yi"=-4,故Vc=1•同理XD-1•故

k4_4

k2-

~xD-xc-yD+yc-"，

32

可得知=/本题考查直线与抛物线相交问题•

7.【答案】设第n=yn•a(n=1,2,…,2008),则y。=案y^+i=yn+1.或yn-1(九=0,1,…，

2007),总有魔=9_1+2yn_i+1,所以2%1T=端一以t-1.于是2(yi+为+…+

y2008)=72009-y1-2008.

显见%iWZ，由仅20091=ly2008+1|，y；=1，可知丫2009为奇数，旦1%+…+丫20081=

||yioo9-20091.

因为最接近2009的奇数方数是452,所以M+…+%00812；|452-20091=8,故

|%i+-••+x2008|>8a.又当/=x3=­•­=x1963=a,x2=x4=—=x1964=-2a,x1965=a,

X1966=2a，…，*2009=45a时，％0----1■*2008l可取到8a，从而表达式的最小值为8a.

8.【答案】设的表示函数中2第一次出现的位数(从左至右数)，a2表示上面的2后面出现的第

一个9的位数，表示上面的9后面出现的第一个8的位数，表示上面的8后面出现的第一

个7的位数,则这样的一个覆盖数为(当n>4时)8%-1.8a2-即-1.8a.9"-。，，

于是所有的律位覆盖数(非零数码)为

21—丹诙68aLi-8a2f-l.8a3f-l.8人』-1・gn-a.

在上述求和符号中，仅当即—1=0=&2—%—1=-&2—1=。4—&3-1，即=1.

a2=2,a3