甘肃2024届高三年级一模考试数学试题（附答案）

甘肃省一月份高考诊断考试-数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式:锥体的体积公式：V=^sH其中s为锥体的底面积小为锥体的高）.

0

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.已知集合A=｛工|,B=｛川/—2工-3V0｝,则AnB=（）

量

A.[q,3）B.C.（3,+℃,）D.（-1,+cx5）

如

㈱2.若复数z满足（3—i）z=l-2i,其中i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在等差数列（2,｝中，。2凶8是方程/十优工-8=0的两根，若4+。6=成+1，则相的值为（）

■£

A.-6B.-2C.2D.6

然4.众数、平均数、中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图

露所示的分布形态中，平均数、众数和中位数的大小关系是（由小到大排列）（

A.众数〈中位数（平均数B.平均数（众数V中位数

能

C.中位数〈平均数〈众数D.众数（平均数＜中位数

/+2N,«Z&0,

5.已知函数/（已=«jnx若函数g（i）=f（2）一加有3个零点，则根的取值范围为

-----,z＞0,

x

：，+8

A.[。，多B-（T《C.D.(—8,—1)

6.已知平行四边形ABCD,若点P是边AD的中点，A0=3QB，直线AC与PQ相交于点M.

则整=()

C3D

A.|B.当C-To

b>-f

7,已知sin^a+y)—sina="|■，则sin(2a-f)=)

D•-H

A.击B.一强c24

25

）=」•，若才＞0,则，（工）)

B,有极小值，无极大值

A.有极大值，无极小值

D.既无极大值也无极小值

C.既有极大值又有极小值

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二：多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目#

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知函数“工）=A5由（23工+火）“>0,£0>0,0〈夕〈式）在一个周期内的图象如图所示，图象与》轴

的交点为（0,点），则下列结论正确的是（）

A.f（工）的最小正周期为7ry,

B./（z）的最大值为2啡、

C.直线工=卷是/⑺图象的一个对称轴必、品

D./⑺在区间［一5,0］上单调递增\\J

10.已知a>0,，>0,若。+2〃=1,则（）

A.ab的最大值为卷B.a2+房的最小值为1

21

C.1+石的最小值为8D.2。+4”的最小值为2声

11.已知直线/过抛物线C：y2=4］的焦点F,且与抛物线C交于人（可，yl）,B（lZ2，y2）两点，点M为C

的准线与7轴的交点，则下列结论正确的是（）

A.若—十工2=5,则|AB|=7

B.过C的焦点的最短弦长为4

C.当过户=2而切寸，直线I的倾斜角为名

D.存在2条直线Z,使得|AF|•|BM|=|BF|•|AM|成立

12.已知直三棱柱ABGAiBiQ内接于球O,AAi=8,AB，AC,AB=AC=4,点D,E为AB,AC的

中点，点Q为侧面BCGB1上一动点，且4Q=4,则下列结论正确的是（）

O

A.点A到平面AiBC的距离为下

B.存在点Q,使得CQ_L平面AiDE

C.过点D作球的截面，截面的面积最小为4n

D.点Q的轨迹长为2方

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知=+加（。>1）是奇函数，则愕=.

Q/-1

14.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆

柱的高相等圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现,在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为4右小

则该模型中圆柱的表面积为______.

15.如图，点Fi*2是双曲线Ci：\一,=1（。>0,4>0）的左、右焦点，同时也是双\\好

曲线C?：磊一条=i的左、右顶点，过点B的直线交双曲线a的左、右两支fAzfUL一j

分别于A,B两点，交双曲线C2的右支于点M（与点&不重合），且△BF1F2r\\

与AABF2的周长之差为6,则双曲线Ci的方程为__________•〃\

］6.某学校有A,B两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐’如果甲当天，手择

了某个餐厅，他第二天会有60%的可能性换另一个餐厅就餐，假如笫］天甲选择］A餐厅•如小"

天选择A餐厅的概率P，，为•

甘肃省一月份高考诊断考试.数学•第2页（共4页）

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步腺）

17.（10分）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,dc,且ccosB+6cosC=~2aCOSB

（D求角B的大小；

（2）若A的角平分线交边BC于点D,且A0=6;c=&,求边〃.

18.（12分）如图.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形，侧棱PA_L底面ABCD,且PA=AJ3,

点E,F分别为PB,PD的中点.

（1）若平面PBCCI平面PAD=Z,证明：2_]_平面PAB；

（2）求平面AEF与平面PAB夹角的余弦值.

19.（12分）第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了

了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了10。名学生进行

统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的十,男生有10人表示不喜欢看足球比赛.

（1）完成下面2X2列联表，试根据小概率值a=0.001的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比

赛与性别有关联？

男女合计

喜爱看足球比赛

不喜爱看足球比赛

合计60

（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人,再从这8人中随机抽

取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X,求X的分布列和期望.

n{ad-be)2

附：/=其中〃=a+〃+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(0+d)'

a0.10.050.010.0050.001

42.7063.8416.6357.87910.828

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20.（12分）已知数列｛与｝的前“项和为S”，且S”=2a”-2,｛斯•。”｝是首项为1,公差为2的等差数列

⑴求｛a„｝,｛1）„）的通项公式j

（2）若数列｛/>“）的前〃项和为了”，且不等式；1》"（3—方）对一切恒成立，求实数入的取值范围.

21.（12分）已知函数/（x）=（x+a）ln（x+l）.

⑴当a=2时，求曲线/（外在点（0,f（0））处的切线方程;

（2）若函数八工）一①在（0,+8）单调递增，求a的取值范围.

22.（12分）已知椭圆C：q+〈=l（a>6>0）的离心率。=坐，短轴长为2.

a6lr乙

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（4,2）且斜率不为［的动直线/与椭圆C交于M,N两点，点P是直线）=丁2•上一定点，

设直线PM,PN的斜率分别为M#2,若ME为定值，求点P的坐标.

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甘肃省一月份高考诊断考试•数学参考答案

1.选AA==，4?一]}=[“7小:}，由才2—2卫因为AM=AP+PM=Q+油一3=（1一〃）”十砂,

“义=1一i

—3V0,解得一1<尤<3,即B=(—1,3),所以Ap|B=所以《4_解得/=诏，

m<3>=[十,3).故选A.曰=/，

所以瓯=］>'即登=£t二条故选C

1—9；

2.选D因为(3—i)2=l—2i,所以n=.=

(1—2i)(3+i)_3+i—6i—2i2_1一；i,则复数z在7.选B因为sin(。+年)一sina

(3-i)(3+i)102

复平面内对应的点为（;，—占），位于第四象限.cos(a+-^~)=-^-，所以sin(2a一t

故选D.——cos12(a+看)]=1-2COS2

3.选B因为。2，〃8是方程/+mx—8=0的两根，所以

。2+。8'一相，。2。8=—8,△=/+32〉0.在等差数列8.选D令g(z)=9,则g'(z)小

{CLn}中，々2+〃8=“4+”6=2a5，又。4+“6=^5+1，所以

2a5=堵+1,所以。5=1，所以一根=2。5=2,所以

加=—2.故选B.

4.选A众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二e

列的中点处.因为直方图在右边拖尾，所以平均数大于中由/(%)=1g(l),得f(R)=g(I)+Ng'(N)=g(£)+lnX,

位数，在第三、四列的位置，因此有众数〈中位数〈平均/'(z)=g'(z)+；=ln：+l.

数.故选A.

当上e（0,；）时，/'（工）〈0,/（工）单调递减；当

5.选B当iW。时，/（i）=/+2］,

当丁£（一8,—1）时，"l）单调递减；

（/，+8）时,/（力>o,/（z）单调递增.所以/（x）mn=

当久£（—1,0）时，/（1）单调递增.

所以当1W。时"（X）min=/（—1）=一Ld）=g（十）+丘：=0,所以f（z）>0,所以/（z）在

rz、In1、1Inoc

当x>0时，/（%）=——，贝rIf（力）=——一，

其芷（0,+8）上单调递增，所以/（了）既无极大值也无极小值.

当（0,e）时，-（］）〉0,函数/（无）单调递增；9.选ABD设/（1）=Asin（2公r+0（A〉0,3>0,0<yC7r）的

当iG（e,+8）时，（］）V0,函数/（］）单调递减.最小正周期为T,

所以当文>0时"（i）max="e）由图象可知些一金二白,解得T=n,A正确；

ee

画出函数/'（%）的图象如图所示：因为s>0,所以23=爷=2,解得s=l,

故f（1）=Asin（2j：+a）.

将（自㈤代入解析式得小山（看+乡）=人，

因为0〈卬〈兀,所以（p=-^-.

因为函数/（%）经过点（0,石），所以Asin1~=VJ,故A=2,

"x）的最大值为2,B正确；

由上述分析知/（I）=2sin（2］十个），当久=，时，21+

由图可知一l<Cm<C—.

e年=2",点偿,0）是函数小）的对称中心，

所以利的取值范围为(一1,一~).故选B.

直线z=萼不是对称轴，C错误；

-->--►--►A---

6.选C设AP=a,AQ=b,则AC=2a+至b,尸Q=b—a.

当"：e］一?。］时，2.工+^e］—等,号］,

i^AM=XAC,PM=lLlPQ,

,,4因为，=sinz在］—告，件］上单调递增，故”工〉在区间

贝IAM=2Ati+后—/b,

一年,o］上单调递增，D正确.故选ABD.

PM=fjb—a.

1

以A为原点，AB,AC,AAj所在直线为轴建系

10.选ACD对于A,由2ab=a-，即

(图略)，则C(0,4,0),D(2,0,0),E(0,2,0),Ai(0,0,

—

,当且仅当a=2b,且CL+2b=1,即a=,b—8)，设Q(/,4一入，〃)，则CQ=(A,A,平面AiDE的

oN4

时，取等号，所以A正确；法向量为〃=(4,4,1),CQ与法向量冷不平行，所以不存

对于B,因为滔+"=(1—26)2+52=5*—妨+1=在点Q,使得CQ,平面&DE,B错误；

56-4+小，当且仅当6==时，。2+*取到最小三棱柱的外接球。即为以AB,AC,AAi为邻边的长方

体的外接球，当0。与过点D的截面垂直时，截面的面

值自，所以B错误；积最小，

5

球心。后,同,则过点。作球的

对于C,由2+]=(a+26)f—+=4+致+()0(2,2,4),0=240=2

截面，截面半径的最小值为，(2而2—(2&=2,所以

4+271=8,当且仅当妆=R，且。+26=1,即a=W",

截面的面积最小为4n,C正确；

ab2

6=；时，取等号，所以C正确；过点Ai作A1H±B1C1于H(图略)，则AxH=2#,

HQ=，AiQ2—AiH?=716-8=272,

对于D,于+心》2,2a-46=2,2°+26=2，§■，当且仅当

则点Q的轨迹是以点H为圆心，2四为半径的一段圆

a=26,且a+26=1,即。=；,6=；时，取等号，所以D

弧，其圆心角为"，点Q的轨迹长即为2-Jin,D正确.

正确.故选ACD.13.解析：由函数/(%)=与二+相，可得/(一»=:1

11.选AB由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=alQ"-1

,1,

心+12+夕=5+2=7,故A正确；~rm=-------rm.

当过抛物线C的焦点且与n轴垂直时弦长最短，此时弦ax-l

长为4,故B正确；因为/(])是奇函数，所以/(£)+/(—1)=0,即上一；

设直线I的方程为i=my+l,ax—1

,fjc—my^r1,

由24得yo2—4my—4=0,于是得+)2=~\~m——--+加=0,解得m——

[*=4%,

4加，^22=-4,答案：一;

当AF=2FB时,yi=-2丁2，而丁1+丁2=4利，

14.解析：设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,母线长为2R.

?1)2=—4,解得y

2则球的体积为*TTR3=4倡"，所以R=4^.

倾斜角不是件，故C错误;

所以圆柱表面积为27rR2+2"RX2R=6xR2=18K.

由F(l,0),M(—1,0),则|AF|=1(4—I"+黄=答案：18元

d(加了]+11]"+贵=，(]+苏)贤,15.解析：因为△BF/z与/1ABF2的周长之差为6,所以

\BF\+\FF\-\AB\-\AF\=\FF\-C\AF\

|BF|=1(乃一l1+j/g二[(加及+-1)2+受1122122

一|AFi|)=2c—2a=6.

(1+m2)3^2,

又点Fi，F?是双曲线C?：、一[=1的左、右顶点，所

|AM|=J(i]+])2+*4a"4〃

2

(1+m)3；i+4mj/1+4,以c=2a,所以a=3,c=6,6=39，

IBMI=J(攵2+1)2+>所以双曲线G的方程为卷一务=1.

=[(1+序)yg+4利丁2+4，

答案•上一式=1

由1阴•IM=|BF)•\AM\，则(周『=(篇)1

16.解析：若甲在第(〃一1)天选择了A餐厅，那么在第71天

yl(1+m2)江+4加s+4

可得号化简可得(根切？2+有40%的可能性选择A餐厅，

(1+m2+4a?2+4

若甲在第"一1)天选择了B餐厅，那么在第"天有

V1+)2)(V1—、2)=°，

60%的可能性选择A餐厅.

由yiWy2,则根)1及+)1+)2=0,将丁1+)2=4利，

yi?2=-4代入，则一4m+4m=0恒成立，故D错误.所以第〃天选择A餐厅的概率

故选AB.Pn=0.4PLi+。.6(1—Pn—1)(n^2N*),

12.选ACD设点A到平面ABC的距离为人因为Pn=~0.2PLi+0.6,所以P„-0.5=-0.2(P„_1-0.5).

VA-A]BC=VA]-ABC，所以｝SaA]BC*=^/\ABC,又由题意得，Pi=1,所以｛P〃一0.5｝是以0.5为首项，

-0.2为公比的等比数列，

AAi,S△钿c=8,AAi8,SAA1BC=24,所以九=,即所以P〃一0.5=0.5X(—0.2)〃T,

所以P*=0.5+0.5X(-0.2)”T.

点A到平面A/C的距离为5，A正确；

答案：0.5+0.5X(—0.2)"T

2

17.解：(1)因为AE(0,兀)，所以sinA>0.19.解：（1）由题意得2X2列联表:

由正弦定理可得一2cosBsinA=sinCeosB+sinBcosC男女合计

=sin(B+C)=sinA,

喜爱看足球比赛501060

（2分）

所以cosB=一：.2分

不喜爱看足球比赛103040

又BC(0,及)，故B=-^.4分合计6040100

4n零假设为Ho：喜爱观看足球比赛与性别无关联.

(2)在△ABD中根据列联表中的数据计算得

100X(50X30—10X10)2_1225

所以sin/ADB=*^=§,心34.028>

6分60X40M60X4036

/\LyZ

10.828=20.0()1.4分

根据小概率值Q=0.001的独立性检验，推断Ho不成

立，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.5分

4（2）按照分层随机抽样的方式抽取8人，其中男生2人,

结合B=^，所以/ADB=于,女生6人，......-........6分

则X的可能取值为0,1,2,7分

所以NBAD=/DAC=考,(x=i)=譬T

91

所以/ACB=/BAC=*'8分C11

P（X=2）=|=羽,10分

所以△ABC是等腰三角形，且a=c

所以X的分布列为

所以b=2acos==氓.10分

6X012

18.解：（1）证明：因为平面平面153111分

7

PBC,所以AD〃平面PBC...................--…:2分2828

又因为平面平面平面

PBCCIPA_D=/,ADUPAD,E(X)=OX11+1X~|~+2XX12分

Zo/ZoN

所以AD//1.---------------------------------：3分

20.解：(1)当1时，即=2<2]—2,解得即=2.1分

因为PA_L底面ABCD,ADU平面ABCD,所以AD±PA.

当时,Sn=2an—2,Sn_i=1<2„-i—2,

又因为AD±AB,ABAFA=A,

两式相减得=2a〃一2a,-----------2分

所以AD_L平面PAB.---------5分

即工=2（"，2）,所以｛为｝是首项、公比均为2的等

所以Z_L平面PAB.------------6分a乳一1

（2）由（1）知,AB,AD,AP两两相互垂直，如图，以点A比数列，故。〃=2".4分

2n—12n—1

为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为X轴、了轴、又•与=2〃-1,故与=6分

a.2n.

n轴，建立空间直角坐标系.设AB=2,则A（0,0,0）,

/r>\I_2Tl1«r-ry_1I3I5

(2)幻=-^―,则T=y+^-+^-，①

B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,l),F(0,l,l),n+…2n

AE=(1,O,1),AF=(O,1,1).7分11Q5?w—1

习+尹+…+1'②7分

设平面AEF的一个法向量为,

AE•町=0,①一②，得=：+2/2-1

X~\-Z—Q9

即・则./+…+S2"1

y+z=O.

[AF•町=0,272-1_32〃+3

令尤=1,贝可y=1,T+"2"T2〃+i22〃+]9

町一2〃+3

=(1,1,1),9分所以T〃=3一9分

2〃

又平面PAB的一个法向量为

不等式;—TQ对一切xGN*恒成立，

=（。，1，。），10分B

2/+3%

4即转化为A>对一切〃GN*恒成立.

所以平面AEF与平面PAB2〃

2炉+3%

夹角的余弦值等于ICOS〈町,«2>|=令f(n)("CN*)，则Wl，10分

III«2I2〃

12n2+7/z+52n2-\-3n_-2n2+7?+5

叵12分又/(w+l)—f(n)=

73X13'2"+i2"2"+i

3

当几=1时)—/(k)>0；

3^2--2-^o)2(1—210)+22(―^o+4)-4+

当九》2时，f(??+1)—/(zz)<CO,

12—々)？2(16—4io)+12(-2々)+1)-8+9死

所以/(1)</(2)>/(3»/(4»-,

1

7

贝可入》/(〃)max=/(2)=

所以实数a的取值范围为［卷，+8).…-……--12分若为定值，则根据约分可得

」91

21.解：(1)当a=2时"(z)=(z+2)ln(z+l),_与+4—_4+5劭口1_一5死

n-且TP4-oIA

，(z)=ln(z+l)+41,-----------------------------------1分1-JCQ16—41()-8+9为'

力十1

解得XQ=~^~----------------------------------------------------10分

/(0)=0,/(0)=2,-------------------------------------------3分

所以〃£)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2z.--4分

(2)令g(£)=/(£)—^=(x+a)ln(x+l)—x,

因为g(z)在(O,+s)单调递增，771