2023届新高考开学数学摸底考试卷16

2023届新高考开学数学摸底考试卷16

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.己知集合A={-l,0,l,2},B={X|X2<1},则AI8=(上)

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.命题“\/xe[0,+co).x3+x20”的否定是(▲)

A.VXG(0,+OO).X3+x<0B,VxW(YO,0)J?+xi()

C.3xG[0,-K»).x3+x<0D.3xG[0,+oo).x3+x>0

1-i

3.设z=--+2i,则|z|=(A)

l+i

A.0B.-C.1D.V2

2

4.已知等差数列{6}前.9项的和为27,q()=8,则4Go=(▲)

A.100B.98C.99D.97

5.若非零向量“、b满足W=M且(2+8)，力，则”与b的夹角为(▲)

n兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

6.函数/(x)=cosx/n(Jl+x2-x)(-2<x<2)的图象大致为(▲)

11

A.4J:B.'G匕彳

T-1

lyV

11

C.八/：D.V

-i-i

7.己知函数/(x)=er—e*(e为自然对数的底数)，若a=0.7《5,b=log050.7,c=log()75,

则(▲)

A.f(b)<f(a)<f(c)B./(c)</(/?)</(«)△

c./(c)<f(a)</(Z?)D,/(«)</(/?)</(c)

8.2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山''模式

的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度.随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建

设临时医院，其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的

图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(▲)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.给出下列命题，其中正确命题为(▲)

A.若样本数据X1,x2,为0的方差为2,则数据2%-1,2x2-l,2玉0-1的方差为4；

B.回归方程为9=0.6—0.45x时，变量x与y具有负的线性相关关系；

C.随机变量X服从正态分布N©,/),P(X<4)=0.64,则P(2<X<3)=0.07；

D.相关指数露来刻画回归的效果，代值越大，说明模型的拟合效果越好

10.下面的命题正确的有(▲)

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B单位向量都相等

c.若满足且a与b同向，则

D.“若A、B、C、。是不共线的四点，则屈=比”="四边形428是平行四边形”.

11.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是(▲)

v-v

A.>=2/+4%B.y=x+sin(-x)C.y=log2|x|D.y-2+2

12.已知/(力=28525+石5m25—1(g>0)的最小正周期为万，则下列说法正确的有

/xTC

A.at=2B.函数/(x)在0,—上为增函数

6

C.直线x要是函数y=/(x)图象的一条对称轴

D.点(2万,0］是函数y=/(x)图象的一个对称中心.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第1空2分，第2空3分，共20分.

13.（1-犬）（］+X）1。的展开式中，丫5的系数是▲

14.设曲线丁=产在点（0,1）处的切线与曲线y=L（x>0）上的点P处的切线垂直,

则点〃的坐标为▲.

15.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经

和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如

图，在矩形ABC。中，A/WC满足“勾3股4弦5"，且?1B=3,E为AO上一

点，3£，4。.若8启=/1氏4+〃5。，则〃的值为▲.

16.已知长方体ABC。-AGGA的顶点都在球。的表面上，且4c=然=2,则球。的表面积为

若4G与5。所成的角为60°,则A。与BC所成角的余弦值为▲

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在平面四边形ABC。中，ZADC=90.NA=45，4?=2，BD=5.

⑴求cos/AOB；（2）若。。=2夜，求BC.

▲▲▲

18.（本小题满分10分）

已知等差数列｛4｝满足4=3,%=5.

求数列｛%｝的通项公式；设数列出｝满足2=%々"I求数列也｝的前〃项和S.；

IAJ

▲▲▲

19.（本小题满分10分）

第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假,

寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得

到如下频数分布表：

收看时间（单位：小时）[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)

收看人数143016282012

（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育

达人”，请根据频数分布表补全2x2列联表:

女合计

体育达人40

非体育达人30

合计

并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；

（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥

会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率。

附表及公式：

PgNk。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

▲▲▲

20.（本小题满分12分）

77

如图1,在直角梯形/BCD中，AD//BC，NBAD=—,AB=BC=1，AD=2,E是/。的

2

中点，。是AC与座的交点.将A48E沿班折起到的位置，如图2.

（1）证明：C0_L平面A0C；

（2）若平面平面8C0E,求平面48c与平面4c。夹角的余弦值.

▲▲▲

21.（本小题满分14分）

为评估设备例生产某种零件的性能，从设备”生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本,

测量其直径后，整理得到下表:

直径/mm5859616263646566676869707173合计

个数11356193318442121100

经计算，样本直径的平均值“=65,标准差。=2.2,以频率值作为概率的估计值.

(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根据以下

不等式进行评判(P表示相应事件的概率)：①+<7)>0.6826；②尸(//-20<XW"+

2a)>0.9544;③P(/L3<7<XW〃+3o)20.9974.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级

为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等

级为丁，试判断设备M的性能等级.

(2)将直径小于等于〃一2。或直径大于〃+2。的零件认为是次品.

①从设备M的生产流水线上随机抽取2件零件，计算其中次品件数F的数学期望E(V)；

②从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数Z的概率分布列和数学期望£(Z).

▲▲▲

22.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=\nx-^x2+(a-l)x,a>0S.f(x)的导函数为/''(x).

(1)求函数/(x)的极大值；

(2)若函数/(x)有两个零点玉,马，求。的取值范围。

▲▲▲

2023届新高考开学数学摸底考试卷16

答案

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={-1,0,1,2},B={X|X2<1},则AB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】因为A={-1,0,1,2},B={x|V融}={x|_i8?1},

所以AB={-1,0,1).故选A.

2.命题“Vxe[O,Xo).x3+xNO”的否定是()

A.VXG(0,+OO).X3+x<0B.Vxe(^»,0).x3+x>0

C,玉©[0,+QO).%3+x<0D,3xG[0,+OO).X3+x>0

【答案】C

【解析】把量词"V"改为“m”，把结论否定，故选C.

1-i

3.设z=——+2i,贝U|z|=()

1+i

A.0B.—C.1D..^2

【答案】C

【解析】z="^+2i=整+2i=i，所以目=1,故选C.

4.(原)已知等差数列{4}前9项的和为27,0,0=8,则/0=()

A.100B.98C.99D.97

【答案】B

【解析】解：设型力的公差为d,

•.•等差数列{aj前9项的和为27,

丛=『=啜=9as.

•.9与=27，a5-3»

又=8=西+(10—5)d=3+5d，

•**d=1，

**•DIQQ=+95d=98.

故选B.

5.若非零向量a、/,满足=M且（2a+@U,则。与〃的夹角为（）

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D・—

6336

【答案】C

【解析】设“与/，的夹角为。，

由已知得:（2«+b）_L。，（2a+b^b=0,则2〉.力+力;。，

Q“=W，...2cose+l=0,cos6=-g,解得6=g.

故选：C

6.函数/（x）=cosx/n（Jl+x2-x）（-2<x<2）的图象大致为（）

【答案】B

【解析】因为/(一x)=cos(-x)」n(Jl+x?+x)=cosx/n，-/---------=一/(1)，所以/(x)是

''VVl+x2-X)

奇函数，故排除A、C；

因为/(x)=cosxln(Jl+x2-x)=cosxln-?==lT—,所以当0<x<四时，cosx>0,

')Jl+V+x2

心方」?—<0,所以f(x)<0,故排除D.

Vl+x-+x

故选：B.

7.已知函数一"(e为自然对数的底数)，若a=0.7&,b=log()50.7,c=log075,

则()

A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)

C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(a)<f(b)<f(c)

【答案】D

【解析】因为a=0.7~°s>1,0<〃<l,c<0>a>b>c

又/(x)在R上是单调递减函数，故于(a)</(/?)</(c).

故选:D

8.2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式

的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度.随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建

设临时医院，其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的

图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为()

【答案】D

【解析】：设底角为a,由三角形的面积公式可得4个等腰三角形的面积和为

4x工x800cosax400sina=320000sin2a，

2

由余弦定理可得正方形边长为800cosa,

故正方形面积为(800cosa)2=640000cos2a=320000(1+cos2a),

所以所求占地面积为320000(1+cos2a+sin2a)=320000]立sin(2a+-)+1],

4

所以当2二+7上T=上7T，即。=上TT时，占地面积最大，此时底角为T一T,

4288

故选D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.给出下列命题，其中正确命题为()

A.若样本数据X1,x2,的方差为2，则数据为一1,2X2-1....2/-1的方差为4；

B.回归方程为m=0.6-0.45x时，变量x与y具有负的线性相关关系；

C.随机变量X服从正态分布NG,4),P(X<4)=0.64,则P(2<X<3)=007；

D.相关指数R2来刻画回归的效果，心值越大，说明模型的拟合效果越好

【答案】BD

【解析】A.若样本数据否，x2,/的方差为2,则数据2玉—1,2X2-1,2斗0-1的方

差为2?x2=8,故A错误；

B.回归方程为9=0.6-0.45x,可知刃=-0.45<()，则变量x与y具有负的线性相关关系，B正

确；

C.随机变量X服从正态分布N(3,(T2),P(X<4)=0.64,

根据正态分布的对称性P(3<X《4)=0.64-0.5=0.14,所以P(2«XW3)=0.14,，C错误；

D.相关指数配来刻画回归的效果，心值越大，

说明模型的拟合效果越好，因此D正确.

故选：BD

10.(原)下面的命题正确的有()

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B单位向量都相等

C.若ab满足Ial>Ib|且a与b同向，则a»;

D.“若A、B、C、力是不共线的四点，则露=求"="四边形ABCD是平行四边形”.

【答案】AD

【解析】A因为方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故A是

对的；

B.单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B是错的，

C.向量是有方向的量,不能比较大小，故C错误，

D.B=成，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等.故D正确.

11.下列函数中，既是奇函数又在区间（0,1）上单调递增的是（）

3XX

A.y=2x+4xB.y=x+sin（-x）C.y=log2|x|D.y=2+2~

【答案】AB

【解析】由奇函数定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；

对于选项A,y=6/+4>0,所以y=2d+4x在（0,1）上单调递增；

对于选项B,>■=1-cosx>0,所以y=x+sin（-x）在（0,1）上单调递增；

对于选项D,y=2"+2T是偶函数，所以错误。

故选：AB

12.已知/（x）=2cos2w+Gsin25_l®>0）的最小正周期为万，则下列说法正确的有

A.co=2B.函数/（x）在0,^上为增函数

C.直线尤=?要是函数y=/（x）图象的一条对称轴

D.点万,0）是函数y=/（x）图象的一个对称中心.

【答案】BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第1空2分，第2空3分，共

20分.

13.（1一/）（］+幻|。的展开式中，的系数是.

【答案】207

【解析】由题可知：常数1和(1+"°的五次项可以构成五次项，-/和。+“。的2次项

52

构成5次项，故C,>=252/,C：Qx=45,所以/的系数是252-45=207

14.(原)设曲线y=e*在点(0,1)处的切线与曲线y=L(x〉O)上的点P处的切线垂直，则点P

X

的坐标为.

【答案】(1,1)

1

【解析】：y'=e\曲线y=e”在点(0,1)处的切线的斜率ki=e°=l.设P(m,n),y=I(x>0)的导

111

数为y'=-?(x>0),曲线y=《(x>0)在点P处的切线斜率kz=—濯(m>0),因为两切线垂直，所以

kik2=—1,所以m=l,n=l,则点P的坐标为(1,1).

15.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾

3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABC。中，AA6C满足

“勾3股4弦5"，且AB=3,E为AD上一点,BE工AC.若BE=2BA+〃BC,则丸+〃的值

为.

【答案】三

16

【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系,

因为45=3,BC=4,则4(0,3),3(0,0),C(4,0).

设E(a,3),则AC=(4,—3),BE=(a,3),

因为3ELAC，所以AC-BE=4a_9=0,

解得。=；9

4

由8E=/13A+〃3C,得仁,3）=4（0,3）+〃（4,0）,

9

44--Z=1,

所

得

以425

49>所以2+〃=—

3=3u.--16

16

16.己知长方体ABC。-44aA的顶点都在球。的表面上，且4：=例=2,则球。的表面积为

.若4G与8。所成的角为60。,则4。与BC1所成角的余弦值为.

31

【答案】8兀二或上

57

【解析】空1：如图，在长方体ABCO—4片GA中，因为AC=AA=2,所以AC=20.因为AC

为球。的一条直径，所以球。的半径7?=亚，所以球。的表面积为4兀火2=8".

空2：

因为AG与8。所成的角为60°,AG〃AC,所以ZBEC=60。或4EC=120。，

若NBEC=60。，则BC=1.因为CG=A41=2，所以="TT=6.

又B.CHA.D,所以NBFC为AQ与BQ所成的角（或补角）.在ABFC中，BF=FC=^=叵,

22

BC=1.

BF2+CF2-BC23

由余弦定理可得cosNBFC=

2BFCF2、35

若NBEC=120。，所以有

BC=VBE2+CE2-2BECE-cos120°=^l2+12-2-1-1-（-1）=G,

则BF=FC.[BC?+CC：g，

131

同理可求得cosZBFC=-,所以4。与BG所成的余弦角为一或,.

31

故答案为：8兀；—或一

57

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题10分）在平面四边形ABCZ）中，NADC=90，NA=45，AB=2,BD=5.

(l)^<cosZADB；(2)若DC=2V2，求BC.

BDAB

【解析】（1）在△A8D中，由正弦定理得

sinNAsinZADB

52

由题设知,，所以sin/AO8=J3分

sin45°sinZADB5

由题设知，ZADB<90°,所以COSNADB=Q1—*=W~

•5分

(2)由题设及(1)知，cosZBDC=sinZADB=—•7分

5

在△BCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BDDCcos4BDC

jy

25+8-2x5x272x^=-=25.9分

所以8C=5.-----------------------10分

18.原（本题10分）已知等差数列｛4｝满足q=3,4=5.

求数列｛”“｝的通项公式;

设数列也｝满足勿=。屋3"一|,求数列也｝的前几项和S.；

14]

fa=3[4=3

【解析】：(1)依题得《，「，解得《「------------2分

[a2=+a=51d=2

.二an=q+(〃-l)d=3+(〃-1)x2=2〃+1-----------------4分

(2)bn=an-3"-'=(2“+l).3"T,

.-.S„=3+5-3+7-32++(2〃+l>3"T①

3S„=3-3+5-32+7-33++(2n-l)-3n-1+(2«+l)-3"②

2,,_|z,

两式相减得：-25,,=3+2-3+2-3++2-3-(2w+l)-3-------------6分

=3+2,_（2n+1）.3"=3+3（3"T—D-（2n+l）.3"

=-2n-3"------------------------------------------------9

分

51t=n♦3".-----------------------------------------------10

分

19.（本题10分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间

正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转

播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：

收看时间（单位：小时）[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)

收看人数143016282012

（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育

达人”，请根据频数分布表补全2x2列联表：

3女合计

体育达人40

非体育达人30

合计

并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关;

（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥

会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率。

附表及公式：

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

仁2_n(ad-bc)2

(a+份(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】(1)由题意得下表：

男女合计

体育达人402060

非体育达人303060

合计7050120

..................................................2分

，，明而渐跳出120-（1200—600『

k2的观测值为--------------->—=—>2706---------------------------4分

70x50x60x607

所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.-------------5分

（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，-------------7分

记“抽取的这两人恰好是一男一女”为时间A

r'C'8

尸⑷F=------------------------------------------------------------9分

答：抽取的这两人恰好是一男一女的概率为百.-----------------10分

TT

20.（本题12分）如图1，在直角梯形Z8C。中，AD//BC,NBAD=—,AB=BC=\，AD=2,

2

E是/。的中点，。是AC与BE的交点.将△，座沿折起到AABE的位置，如图2.

EA1(A)

D

图1图2

(i)证明：。。_1平面4。。：

(2)若平面48E，平面8CDE,求平面48c与平面4。。夹角的余弦值.

【解析】

(1)在图1的直角梯形/BCD中，ADHBC中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AO的中点,

所以AE'JBC,

连接C,E,则四边形A8CE是菱形，

7T

又因为/"£>=—,所以四边形A8CE是正方形。--------------2分

2

所以BE_LAC.即在图2中，BE1OA,,BELOC.............3分

又因为4D〃8c且3C=1,49=2，E是AD的中点

所以BC^ED

所以四边形BCDE是平行四边形。

从而CD//BE---------------------------------------5分

所以CO^OA，CDLOC.

又因为啰u面Aoc,ocu面Aoc,OACoc=o

所以CDJ.平面A0C.----------------------6分

(2)由已知，平面ABEL平面BCOE,又由(I)知，BE10At,BE1OC.

jr

所以N40C为二面角4-BE-C的平面角，所以NAOC='.---------7分

如图，以。为原点，建立空间直角坐标系,

PQi-2o<X0i+2c）=P（60.6<XW69.4）=0.94<0.9544,----------------------2分

尸仪一3o<XW〃+3cr)=P(58.4<XW71.6)=0.98<0.9974,---------------------3分

因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.-------4分

(2)易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.

3

①由题意可知y〜仇2,50),6分

3