应用随机过程课件第04章平稳随机过程

CH3平稳随机过程

3/29/20241平稳随机过程各态历经过程复随机过程高斯随机过程提纲3/29/20242平稳随机过程严平稳随机过程定义：一个随机过程X(t)，如果它的n维概率密度〔或n维分布函数〕不随时间起点选择的不同而改变，即对任何的n和，X(t)的n维概率密度满足严平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关，整个过程的统计特性不随时间的推移而变化3/29/20243平稳随机过程严平稳随机过程性质1：假设X(t)为平稳过程，那么它的一维概率密度与时间无关

令，有3/29/20244平稳随机过程严平稳随机过程性质1：X(t)的均值，均方值和方差也都是常数，不再是时间的函数3/29/20245平稳随机过程两个平稳过程的典型例子〔相同的均值与方差〕3/29/20246平稳随机过程严平稳随机过程性质2：平稳过程X(t)的二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关 令，且，那么3/29/20247平稳随机过程严平稳随机过程性质2：X(t)的自相关函数和自协方差函数都仅是时间间隔的函数

当时，3/29/20248平稳随机过程宽平稳随机过程/广义平稳过程〔只在相关理论范围内考虑的平稳随机过程〕定义：假设随机过程满足X(t)和Y(t)联合宽平稳3/29/20249平稳随机过程宽平稳随机过程一个严平稳过程只要均方值有界，就是广义平稳的，反之那么不一定一个广义平稳的高斯过程必定是严平稳的本书以后的内容中，但凡提到平稳过程时，除特别指明外，通常都指宽平稳过程3/29/202410平稳随机过程例：设有两个随机过程 式中Y是随机变量，试分别讨论两个随机过程的平稳性解：对于随机过程 常数常数3/29/202411平稳随机过程为宽平稳过程对于随机过程的均值与时间有关，自相关函数与时间t1,t2均有关，所以不是平稳过程3/29/202412平稳随机过程例：设有状态连续，时间离散的随机过程 式中t只能取整数值，即t=1,2,…,式中A是在(0,1)上均匀分布的随机变量，试讨论X(t)的平稳性解：(1)可以证明X(t)是宽平稳的3/29/202413平稳随机过程 所以，X(t)是宽平稳的(2)讨论X(t)是否是严平稳的 令过程的状态为3/29/202414平稳随机过程 这说明，过程的一维变量x与a是双值关系，于是求得过程的一维概率密度为 可见，X(t)的一维概率密度与时间t有关，因此X(t)只是宽平稳的，不是严平稳过程3/29/202415平稳随机过程平稳过程的自相关函数性质1.平稳过程的均方值就是自相关函数在时的非负值2.自相关函数是偶函数 证：3/29/202416平稳随机过程平稳过程的自相关函数性质3.自相关函数在具有最大值物理意义：同一时刻随机过程自身的相关性最强注意：不排除时，也有可能出现同样的最大值，如周期平稳过程

证：任何正函数的数学期望恒为非负值，即3/29/202417平稳随机过程平稳过程的自相关函数性质对于平稳过程，有代入前式得所以3/29/202418平稳随机过程平稳过程的自相关函数性质4.假设平稳过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，那么称它为周期平稳过程周期平稳过程的自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同证：3/29/202419平稳随机过程例：设随机过程为 式中，为常数，Φ为上均匀分布的随机变量，N(t)为一般平稳过程，对于所有t而言，Φ与N(t)皆统计独立，求得其相关函数为 结论：相关函数也含有与随机过程X(t)的周期分量相同周期的周期分量3/29/202420平稳随机过程平稳过程的自相关函数性质5.不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足证：对于此类非周期平稳过程，当τ增大时，随机变量X(t)与X(t+τ)之间相关性会减弱，在的极限情况下，两者相互独立，故有3/29/202421平稳随机过程平稳过程的自相关函数性质6.假设平稳过程含有平均分量〔均值〕为，那么自相关函数将含有固定分量，即 而且，假设在满足上一性质的条件下，那么有 证： 因此3/29/202422平稳随机过程平稳过程的自相关函数性质对于非周期平稳过程有当，有3/29/202423平稳随机过程例：平稳过程X(t)的自相关函数为 求X(t)的均值，均方值和方差解： 式中，是X(t)的周期分量的自相关函数，此分量的均值为零，是X(t)的非周期分量的自相关函数，由性质5可得3/29/202424平稳随机过程

所以，有3/29/202425平稳随机过程例：平稳过程X(t)的相关函数为

求X(t)的均值解：利用性质5得利用性质6得3/29/202426平稳随机过程平稳过程的自相关函数性质7.自相关函数必须满足 并对所有的w都成立平稳过程的自相关函数不含有阶跃函数因子，也即自相关函数曲线图形不会出现平顶，垂直边或在幅度上的任何不连续3/29/202427平稳随机过程X(t)和Y(t)联合宽平稳考虑两个宽平稳随机过程X(t)和Y(t)，如果它们的互相关函数仅是单变量τ的函数，即 称X(t)和Y(t)为联合宽平稳或宽平稳相依3/29/202428平稳随机过程联合平稳随机过程的互相关函数的性质1. 注：一般而言，互相关函数不是偶函数，也不是奇函数 证：3/29/202429平稳随机过程联合平稳随机过程的互相关函数的性质2.

证：由上式成立，必须满足判别式即得证3/29/202430平稳随机过程联合平稳随机过程的互相关函数的性质3. 证：由性质2得 因任意正数的几何平均值小于等于它的算术平均值，故3/29/202431各态历经过程各态历经过程的提出研究随机过程的统计特性，需要对一个过程进行大量重复的实验或观察，能否以一个时间范围内观察到的一个样本函数作为提取整个过程数字特征的充分依据？辛钦证明：有一种〔在具备一定的补充条件下〕平稳随机过程，对其任一个样本函数所作的各种时间平均，从概率意义上趋近于此过程的各种统计平均，称之为各态历经过程3/29/202432各态历经过程各态历经过程的提出对各态历经过程的理解：这类过程的各个样本函数都同样地经历了整个过程的所有可能状态，因此，从这类随机过程的任何一个样本函数中就能得到随机过程的全部统计信息，即可以用任何一个样本函数的时间平均来替代对过程的大量样本的统计平均3/29/202433各态历经过程例：在较长时间T内观测一个已工作在稳定状态下的一个噪声二极管的输出电压。对其进行采样，对在T时间内采得的k个电压值进行算术平均，求得其时间平均为3/29/202434各态历经过程对一个工作在稳定状态下的噪声二极管，在工作条件不变的情况下，对它进行k次独立重复的试验，取出它的k个条件样本函数，并对任一时刻的状态的所有取值进行统计平均当时，从概率意义上看噪声电压在时间上的平均值与它的统计平均值相等3/29/202435各态历经过程3/29/202436各态历经过程各态历经过程的定义严各态历经过程的定义 如果一个随机过程X(t)，它的各种时间平均〔时间足够长〕以概率1收敛于相应的统计平均，即工程上只在相关理论的范围内考虑各态历经过程，故引入宽各态历经过程

3/29/202437各态历经过程各态历经过程的定义时间平均 1.随机过程的时间均值 对每个样本函数都有一个确定的时间均值，所以随机过程的时间均值是个随机变量3/29/202438各态历经过程各态历经过程的定义时间平均 2.随机过程的时间相关 对每个样本函数都有一个确定的时间函数，所以随机过程的时间自相关函数是个随机过程3/29/202439各态历经过程各态历经过程的定义宽各态历经过程的定义 设X(t)是一个平稳随机过程 1.如果 以概率1成立，那么称过程X(t)的均值具有各态历经性 2.如果 以概率1成立，那么称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性

3/29/202440各态历经过程各态历经过程的定义宽各态历经过程的定义 3.如果过程X(t)的均值和自相关函数具有各态历经性，那么称X(t)为宽各态历经过程 注：“以概率1成立”是对过程X(t)的所有样本函数来说的3/29/202441各态历经过程各态历经性的实际意义对一般随机过程，其时间平均是个随机变量各态历经过程各样本函数的时间平均趋于一个非随机确实定量对各态历经过程可以直接用它的任一个样本函数的时间平均来代替对整个过程统计平均的研究3/29/202442各态历经过程例：讨论随机过程X(t)=Y的各态历经性，式中Y是方差不为零的随机变量3/29/202443各态历经过程解：常数常数 故随机过程X(t)为宽平稳的 但 可见，是个随机变量，时间均值随Y的取值不同而变化，于是3/29/202444各态历经过程

所以X(t)不是宽各态历经过程 此例说明：平稳过程不一定具有各态历经性3/29/202445复随机过程复随机变量定义 其中X和Y均为实随机变量复随机变量Z是实随机变量X,Y组成的二维随机变量，Z的统计特性可以用X和Y的联合概率分布完整的描述3/29/202446复随机过程复随机变量Z的数学期望复随机变量Z的方差其中Dz与Dx,Dy的关系3/29/202447复随机过程两个复随机变量的相关矩定义 其中 表示复共轭，即当时，3/29/202448复随机过程两个复随机变量的关系假设两个复随机变量满足 那么称Z1,Z2统计独立假设两个复随机变量满足

或 那么称Z1,Z2不相关3/29/202449复随机过程两个复随机变量的关系假设两个复随机变量满足 那么称Z1,Z2正交3/29/202450复随机过程复随机过程定义 其中X(t),Y(t)均为实随机过程复随机过程Z(t)的统计特性可以由X(t),Y(t)得2n维联合概率密度函数完整的描述，其概率密度为3/29/202451复随机过程复随机过程的数学期望复随机过程的方差其中与Dx(t),Dy(t)的关系3/29/202452复随机过程复随机过程的自相关函数复随机过程的自协方差函数当时，自协方差函数就是方差，即3/29/202453复随机过程假设Z(t)是平稳随机过程3/29/202454复随机过程两个复随机过程的互相关函数两个复随机过程的互协方差函数假设两个复随机过程联合平稳，那么3/29/202455复随机过程两个复随机过程的关系如果对任意有 那么称两个复随机过程互不相关如果对任意有 那么称两个复随机过程正交3/29/202456复随机过程例：随机过程X(t)由N个复数信号之和构成，即 式中，为角频率〔常数〕，为第k个信号的幅度，是随机变量，是在上均匀分布的随机相位，现假设对所有变量 都是统计独立的，求X(t)的自相关函数3/29/202457复随机过程解： 因为统计独立，所以3/29/202458复随机过程

由于 于是有3/29/202459高斯随机过程高斯随机过程的概念如果随机过程X(t)的任意n维概率分布都是高斯分布，那么称它为高斯随机过程高斯随机过程X(t)的n维概率密度函数 其中是n维矢量，是协方差矩阵3/29/202460高斯随机过程高斯随机过程的概念其中3/29/202461高斯随机过程高斯随机过程的概念高斯随机过程的n维概率分布完全由均值矢量和协方差矩阵确定，且有关时间的因素，全部包含在均值矢量和协方差矩阵中3/29/202462高斯随机过程高斯随机过程的性质1.高斯过程严平稳和宽平稳是等价的 分析：宽平稳高斯随机过程的所有均值及方差为常数，而协方差函数仅与时间差有关，因此宽平稳高斯随机过程的n维概率密度可表示成时间差的函数 当所有点沿时间轴移动一个时间常量，由于时间差