2024年山东省泰安市中考数学模拟试卷附答案解析

2024年山东省泰安市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求.）

1.|-5］的倒数是（）

11

-C5-5

A.5B.-5-D.

2.计算（/）2./的结果是（）

A.不B.济C.a10D.a11

3.某种零件模型如图，该几何体（空心圆柱）的俯视图是（)

4.如图，△/BC的外角N/CD的平分线CP与内角的平分线交于点P,若/BPC

=40°,则/CAP=()

C.50°D.60°

则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中

C.15,15.5D.15,15

6.某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单

独做，则超过规定日期3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规

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定日期完成，求规定日期.如果设规定日期为X天，下面所列方程中错误的是（）

2%23

A.一+---=1B.-二---

x久+3x久+3

1x

ce+击）小曷mD.一+---=1

x%+3

7.如图，函数》二"2-2%+1和-4（4是常数，且aWO）在同一平面直角坐标系的图

围是（）

A.2C6W3B.3C6W4C.2Mb<3D.3W6<4

9.如图，点/为△/BC的内心，连接4并延长，交△N5C的外接圆于点。，点E为弦/C

的中点，连接CD,EI,IC,当4=2CD,IC=6,〃）=5时，龙的长为（）

A.5B.4.5C.4D.3.5

10.一元二次方程一#2+2/12=-邙+15根的情况是（）

4D

A.有一个正根，一个负根B.有两个正根，且有一根大于9小于12

C.有两个正根，且都小于12D.有两个正根，且有一根大于12

H.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1,AABC

经过平移后得到△/由1。1,若/C上一点P（1.2,1.4）平移后对应点为Pi,点尸1绕原

点顺时针旋转180°,对应点为P2,则点尸2的坐标为（）

第2页（共36页）

A.(2.8,3.6)B.(-2.8,-3.6)

C.(3.8,2.6)D.(-3.8,-2.6)

12.如图，N/O2=30°,点M、N分别在边。4、03上，且（W=3,0N=5,点P、Q

分别在边08、OA±,则VP+PQ+QN的最小值是（）

A.V34B.V35C.V34-2D.V35-2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上.）

13.地球的体积约为IO1？立方千米，太阳的体积约为1.4X1018立方千米，地球的体积约是

太阳体积的倍数是（用科学记数法表示，保留2位有效数字）

14.△48C中，/A4c=90°,48=3,/C=4,点。是3c的中点，将△/AD沿4D翻折

得到连CE,则线段CE的长等于.

15.如图，将半径为2,圆心角为120°的扇形042绕点/逆时针旋转60°,点。，3的

对应点分别为。'，B',连接AB',则图中阴影部分的面积是.

16.观察下列图形规律，当图形中的“O”的个数和“.”个数差为2022时，n的值为

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AA/oc\

/bod

QOQO

M=1M=2M=3w=4

17.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔43的高度，他

从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达

最佳测量点。处，在点。处测得塔顶/的仰角为30°,已知斜坡的斜面坡度i=l：V3,

且点/,B,C,D,£在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是.

18.如图，在正方形48C。外取一点£,连接4及BE、DE.过点4作的垂线父。E于

点尸.若4E=4尸=1,PB=V5.下列结论:

①△/尸。之△力防；②点B到直线4E的距离为四;③EB1ED；@S^APD+S^APB=\+V6；

⑤s正方形438=4+V6.

其中正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）

19.（10分）⑴若单项式X"厂"4与单项式一营3严1-8"是一多项式中的同类项，求加、n

的值；

X1-1

（2）先化简’再求值：（―+—）+目,其中、=近一L

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20.（9分）如图，反比例函数＞=£的图象与一次函数的图象交于4,2两点，点

4的坐标为（2,6）,点3的坐标为（〃，1）.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）点石为歹轴上一个动点，若S“EB=5,求点E的坐标.

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21.（11分）某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分

100分）.为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测

试成绩，进行统计、分析，过程如下：

收集数据：

七年级：8688959010095959993100

八年级：100989889879895909089

整理数据：

成绩％（分）85<xW9090<xW9595<xW100

年级

七年级343

八年级5ab

分析数据:

统计量平均数中位数众数

年级

七年级94.195d

八年级93.4C98

应用数据：

（1）：u~~,b_,c~~,<7~；

（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；

（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七

年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员.请用画树状图

或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率.

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22.（11分）某电子商品经销店欲购进/、3两种平板电脑，若用9000元购进/种平板电脑

12台，5种平板电脑3台；也可以用9000元购进/种平板电脑6台，8种平板电脑6台.

（1）求/、3两种平板电脑的进价分别为多少元？

（2）考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板

电脑，已知/型平板电脑售价为700元/台，3型平板电脑售价为1300元/台.根据销售

经验，/型平板电脑不少于8型平板电脑的2倍，但不超过3型平板电脑的2.8倍.假

设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

23.（12分）正方形/BCD中，P为48边上任一点于£,点尸在£＞尸的延长线上,

旦DE=EF,连接/尸、BF,/A4下的平分线交。尸于G,连接GC.

（1）求证：A/EG是等腰直角三角形；

（2）求证：/G+CG=&DG；

（3）若/3=2,P为的中点，求3尸的长.

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24.（12分）如图，抛物线_y=m/+3wx-2加+1的图象经过点C,交x轴于点N（xi,0）,B

（X2,0）（点/在点5左侧），且X2-XI=5,连接BC,。是4c上方的抛物线一点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接8C,CD,SacE：S^BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点

。的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）第二象限内抛物线上是否存在一点。，。尸垂直ZC于点尸，使得中有一个

锐角等于/A4C的两倍？若存在，求点。的横坐标，若不存在，请说明理由.

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25.(13分)如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD,以为直径的。。经过点C,连接

AC,QD交于点£.

(1)证明：ODIIBC；

(2)若tan//8C=2,证明：D4与。。相切；

(3)在(2)条件下，连接AD交。。于点R连接跖，若3c=1,求斯的长.

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2024年山东省泰安市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求.）

1.|-5|的倒数是（）

11

A.-B.一qC.5D.-5

53

解：；|-5|=5,5的倒数是：，

二|-5|的倒数是，

故选：A.

2.计算（窟）2./的结果是（）

A.a®B.a。C.J。D.a11

解：原式=q3X2・q3=q6+3=q9；故选反

3.某种零件模型如图，该几何体（空心圆柱）的俯视图是（

解：由上向下看空心圆柱，看到的是一个圆环，中间的圆要画成实线.

故选：D.

4.如图，△N8C的外角NNCD的平分线CP与内角//8C的平分线3尸交于点尸，若/BPC

=40°,则（）

解：延长A4,作尸N_L3。，PFLBA,PM±AC,

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设/尸CD=x°,

尸平分N/CD,

；./4CP=/PCD=x°,PM=PN,

•:BP平分N4BC,

:./ABP=/PBC,PF=PN,

：.PF=PM,

•：NBPC=4Q°,

：.ZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=(x-40)°,

：.NBAC=N4CD-N4BC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,

：.ZCAF=100°,

在RtAPE4和RtAPM4中，

(PA=PA

IPM=PF'

，RtZ\P7弘安RtZV%〃(HL),

：.ZFAP=ZPAC^50°.

故选：C.

5.某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中

位数分别是（）

第11页（共36页）

解：根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：

13x2+14x6+15x8+16x3+17x2+18x1

=15（岁）,

2+6+8+3+2+1

该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22（人）,

则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁,

故选：D

6.某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单

独做，则超过规定日期3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规

定日期完成，求规定日期.如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（）

2x2___3_

A.一+---=1

x%+3x%+3

X2+=11x

gG+击）£lD.—+-----=1

x%+3

解：设规定日期为x天,

117

由题意可得'（；+—）义2+市=1,

2x223

整理得1+^=1'或1=1—,r或1=嬴

则4、B、C选项均正确，错误的为选项D

故选：D.

7.如图，函数-2]+1和-Q（a是常数，且QWO）在同一平面直角坐标系的图

该开口向下，故选项错误；

B、由一次函数歹=QX-4的图象可得：40,此时二次函数^=办2-2x+l的图象应该开

口向上，对称轴x=—>0,故选项正确；

C>由一次函数y=QX-Q的图象可得：40,此时二次函数>_2x+l的图象应该开

口向上，对称轴和x轴的正半轴相交，故选项错误；

D、由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0,此时二次函数>=办2-2x+l的图象应该开

第12页（共36页）

口向上，故选项错误.

故选：B.

3—a1

8.已知方程一;-。=心，且关于x的不等式aVxWb只有4个整数解，那么b的取值范

a—4

围是（）

A.2<bW3B.3V6W4C.2Wb<3D.3W/）V4

解：分式方程去分母得：3-Q-Q2+4Q=-1,即-3“_4=0,

分解因式得：（a-4）（〃+1）=0,

解得：a=-1或a=4,

经检验Q=4是增根，分式方程的解为。=-1,

当。=-1时，由只有4个整数解，得至U3W6V4.

故选：D.

9.如图，点/为△ABC的内心，连接4并延长，交△45。的外接圆于点。，点£为弦4c

的中点，连接CQ,EI,IC,当AI=2CD,IC=6,0=5时，=的长为（）

A.5B.4.5C.4D.3.5

解：延长/。到使连接CA1.

・・・/是△45。的内心，

/.ZIAC=ZIAB,ZICA=ZICB,

VZDIC=ZIAC+ZICA,ZDCI=ZBCD+ZICB,

：.ZDIC=ZDCL

:・DI=DC=DM,

：.ZICM=90°,

：.CM=y/IM2-IC2=8,

•・・//=2CQ=10,

第13页（共36页）

•：AE=EC,

・・・厄是△4CM的中位线,

：.IE=与CM=4,

故选：C.

10.一元二次方程-/2+2x+12=-孕+15根的情况是（）

A.有一个正根，一个负根

B.有两个正根，且有一根大于9小于12

C.有两个正根，且都小于12

D.有两个正根，且有一根大于12

解:

1

由题意函数尸一32+2/12,与y交于点（0,12）与x轴交于（-4,0）（12,0）

函数＞=—$+15,与了交于点（0,15）与x轴交于（12,0）

因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0,且有一根

大于12

故选：D.

II.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1,^ABC

第14页（共36页）

经过平移后得到△/18C1,若NC上一点尸（1.2,1.4）平移后对应点为P,点为绕原

点顺时针旋转180°,对应点为P2,则点P2的坐标为（

A.(2.8,3.6)B.(-2.8,-3.6)

C.(3.8,2.6)D.(-3.8,-2.6)

解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到尸1,

,:P(1.2,1.4),

：.P\（-2.8,-3.6）,

与尸2关于原点对称,

.•.尸2（2.8,3.6）,

故选：A.

12.如图，ZAOB^30°,点"、N分别在边。4、03上，且（W=3,ON=5,点P、Q

分别在边OB、04上，则VP+PQ+QN的最小值是（）

A.V34B.V35C.V34-2D.V35-2

解：作M关于的对称点,作N关于。/的对称点N',如图所示：

第15页（共36页）

A

连接"V,即为MP+PQ+QV的最小值.

根据轴对称的定义可知：ZN'OQ=ZM'05=30°,ZONN'=60°,

:.△ONW为等边三角形，△（WAT为等边三角形，

/.ZN'OM'=90°,OM'=OM=?>,ON'=ON=5,

在RtZXM'ON'中，

M'N'=V52+32=V34.

故选：A.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上.）

13.地球的体积约为IOI？立方千米，太阳的体积约为1.4X1018立方千米，地球的体积约是

太阳体积的倍数是7.1义10一7（用科学记数法表示，保留2位有效数字）

解：•.•地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4X1018立方千米，

地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012+（1.4X1018）=7.1X10-7.

故答案是：7.1X10-7.

14.△48C中，/BAC=9Q°,AB=3,AC=4,点。是3c的中点，将沿4D翻折

7

得到连CE,则线段CE的长等于g.

解：如图连接3E交4D于。，作4W_L2C1于

在RtZX/BC中，"：AC=4,AB=3,

:.BC=V32+42=5,

,:CD=DB,

：.AD=DC=DB=I，

11

■:一•BC・AH=^AB-AC,

22

12

：.AH=节,

■:AE=AB,DE=DB=DC,

・・・/。垂直平分线段5E,△5CE是直角三角形，

第16页（共36页）

11

■:一・AD・BO=3・BD・AH,

22

12

：.OB=^,

24

：.BE=2OB=-^,

在Rt/XBCE中，EC=7BC2-BE?=

7

故答案为：--

15.如图，将半径为2,圆心角为120°的扇形042绕点/逆时针旋转60°,点。，3的

对应点分别为。'，B',连接，则图中阴影部分的面积是，必-竽

解：连接。。'，BO',

:将半径为2,圆心角为120°的扇形048绕点/逆时针旋转60°,

：.ZOAO'=60°,

:.△OAO,是等边三角形，

AZAOO'=60°,OO'=OA,

・・・当。/中。。上,

VZAOB=nO°,

：.ZOr05=60°,

△OO,8是等边三角形，

/.ZAO'5=120°,

VZAOrB1=120°,

/.AB'O'5=120°,

：.ZOrB'B=ZO'BB'=30°,

第17页（共36页）

图中阴影部分的面积=$△"，OB-S^O'OB=3x2X2百—贝罂经=2百—警,

乙。UU。

16.观察下列图形规律，当图形中的“O”的个数和个数差为2022时，"的值为不

存在.

«=1n=2n=3n=4

解：；"=1时，的个数是3=3X1；

n=2时，的个数是6=3X2；

〃=3时，的个数是9=3X3；

〃=4时，的个数是12=3X4；

，第〃个图形中的个数是3”；

又•••”=1时，的个数是1=1x(')；

〃=2时，“O”的个数是3=凶尹，

〃=3时，“O”的个数是6=3x('),

〃=4时，“O”的个数是10=4x(j+l),

.......,

.♦.第〃个“O”的个数是里罗，

由图形中的“O”的个数和个数差为2022,

=2022(1),=2022②,

解①得：无解,

第18页(共36页)

府小汨5+V162015-V16201

斛⑵得：%=----2----，n2----2----

故答案为：不存在.

17.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔N3的高度，他

从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20机到达

最佳测量点。处，在点。处测得塔顶/的仰角为30°,已知斜坡的斜面坡度i=l：V3,

且点/,B,C,D,£在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是(20+10V3)m.

解：过。作。b_L5c于RDHL4B于H,

:,DH=BF,BH=DF,

•・•斜坡的斜面坡度，.=1：V3,

DF「

=1：V3,

CF

设DF=xm,CF=\[3xm,

：.CD=VDF2+CF2=2x=20(m),

...x=10,

BH=DF=10m,CF=\,

：.DH=BF=(10V3+30)m,

VZADH=30°,

：.AH=^DH=x(10V3+30)=(10+10V3)m,

:.AB=AH+BH=(20+10V3)m,

答：古塔4s的高度是(20+10旧)m,

故答案为:(20+10V3)m.

第19页(共36页)

18.如图，在正方形48CD外取一点E,连接4E1、BE、DE.过点/作/E的垂线交。E于

点尸.若4E=4P=1,PB=V5.下列结论：

①AAPD咨AAEB；②点B到直线AE的距离为夜;③EBLED；④5.四+雇4依=1+V6；

⑤S正方形NBCD=4+V6.

其中正确结论的序号是①⑶⑤.

解：（1）VZEAB+ZBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

：.ZEAB=ZPAD,

又；AE=AP,AB=AD,

:在和△/班中,

AE=AP

4EAB=/.PAD,

AB=AD

：./\APD^/\AEB⑶S）；

故此选项成立；

③：AAPD冬4AEB,

：./APD=/AEB,

"：ZAEB=ZAEP+ZBEP,/APD=ZAEP+ZPAE,

；./BEP=/PAE=90°,

:.EBLED；

故此选项成立；

②过8作9U/E,交/£的延长线于尸，

第20页（共36页）

"：AE=AP,ZEAP=90°,

/.ZAEP=ZAPE=45°,

又,③中BFLAF,

：.ZFEB=ZFBE=45°,

又,：BE=yJBP2-PE2=75^2=V3,

：.BF=EF=^-,

故此选项不正确；

④如图，连接AD,在RtZUEP中，

"：AE=AP=\,

：.EP=V2,

又,：PB=V5,

：.BE=V3,

,//\APD^/\AEB,

：.PD=BE=V3,

11]1

:・SAABP+S丛ADP=S^ABD-S^BDP=]S正方形ABCD—]XDPXBE=1x(4+V6)-xV3x

V3=1+^.

故此选项不正确.

⑤<EF=BF=^,AE=\,

.•.在中，(AE+EF)2+SF2=4+V6,

•'•5正方形么_8<7。=/炉=4+V6,

故此选项正确.

故答案为：①③⑤.

第21页（共36页）

三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）

19.（10分）⑴若单项式X"广"4与单项式一#产「8鼠是一多项式中的同类项，求归〃

的值;

X11

⑵先化简，再求值：（工+E）+/，其中工=鱼一1.

m—n=3①

解:（1）由题意可得

3m-8n=14(5)

②-(1)X3,可得：-5〃=5,

解得：n=-L

把〃=-1代入①，可得：m-（-1）=3,

解得：m=2,

.••冽的值为2,〃的值为-1；

%(%—1)+(%+1)

(2)原式=[(x+1)(x-1)

(%+1)(%—1)

%2—x+x+1

•(x+1)(X-1)

(%+1)(%—1)

=/+1,

当x=V2-1时，

原式=(V2-1)2+1=2-2V2+1+1=4-2V2.

20.（9分）如图，反比例函数》=£的图象与一次函数y=fcr+6的图象交于4,3两点，点

/的坐标为（2,6）,点3的坐标为（〃，1）.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）点£为y轴上一个动点，若S&4EB=5,求点£的坐标.

第22页（共36页）

解：（1）把点4（2,6）代入产争得冽=12,

则产*

19

把点3（”，1）代入＞=茎，得”=12,

则点3的坐标为（12,1）.

由直线了=履+6过点/（2,6）,点、B（12,1）得

解得k=一4,

3=7

则所求一次函数的表达式为y=-%+7.

（2）如图，直线与y轴的交点为尸，设点E的坐标为（0,仅），连接NE,BE,

则点P的坐标为（0,7）.

：.PE=\m-7|.

VS/\AEB=SABEP-S^AEP=5,

1

X\m-7|X（12-2）=5.

/.\m-7|=1.

••冽1=6,加2=8.

・・・点£的坐标为（0,6）或（0,8）.

21.（11分）某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分

第23页（共36页）

100分）.为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测

试成绩，进行统计、分析，过程如下：

收集数据：

七年级：8688959010095959993100

八年级：100989889879895909089

整理数据：

成绩X（分）85VxW9090<xW9595<x^l00

年级

七年级343

八年级5ab

分析数据:

统计量平均数中位数众数

年级

七年级94.195d

八年级93.4C98

应用数据：

（1）填空：a=1>b=4,c=92.5,d=95；

（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；

（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七

年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员.请用画树状图

或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率.

解：（1）。=1,b=4,

八年级成绩按由小到大排列为：87,89,89,90,90,95,98,98,98,100,

所以八年级成绩的中位数c=笑变=925，

七年级成绩中95出现的次数最多，则d=95；

故答案为1,4,92.5,95；

4

（2）200x^=80,

估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；

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（3）画树状图为:

开始

八八八七七

八八七七八八七七八八七七八八八七八八八七

共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8,

所以抽到同年级学生的概率=导=|.

22.（11分）某电了商品经销店欲购进/、3两种平板电脑，若用9000元购进4种平板电脑

12台，5种平板电脑3台；也可以用9000元购进N种平板电脑6台，8种平板电脑6台.

（1）求/、8两种平板电脑的进价分别为多少元？

（2）考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板

电脑，已知/型平板电脑售价为700元/台，8型平板电脑售价为1300元/台.根据销售

经验，N型平板电脑不少于3型平板电脑的2倍，但不超过8型平板电脑的2.8倍.假

设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

解：（1）设N、3两种平板电脑的进价分别为x元、y元.由题意得，

{6x+6y=9000'解信fy=1000'

答：/、8两种平板电脑的进价分别为500元、1000元；

（2）设商店准备购进5种平板电脑q台，则购进4种平板电脑300°；；：°0°"台,

（30000—1000。

由题音得1a—500

出必悬‘传）30000—1000。,

I50042.8a

解得12.5WaW15,

为整数，...a=13或14或15.

设总利润为w,贝!］：w=（700-500）x30000-1000a+（B00-1000）。=-|00«+12000,

V-100<0,Aw随a的增大而减小，

•••为使利润最大，该商城应购进3种平板电脑13台,1种平板电脑“。。。二）。。*/=34

台.

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23,（12分）正方形45C。中，尸为48边上任一点，4EJ_Z）P于E,点尸在。尸的延长线上,

_&DE=EF,连接4?BF,NA4厂的平分线交。产于G,连接GC.

（1）求证：△4EG是等腰直角三角形；

（2）求证：AG+CG=V2DG；

（3）若45=2,尸为45的中点，求5尸的长.

(1)证明：如图1,・：DE=EF,AELDP,

：.AF=AD,

：./AFD=/ADF,

VZADF+ZDAE=ZPAE+ZDAE=90°,

：.ZAFD=ZPAEf

,・ZG平分NA4R

・•・ZE4G=ZGAP.

VZAFD+ZFAE=90°,

・•・ZAFD+ZPAE+ZFAP=90°

：.2ZGAP+2ZPAE=90°,

即NG/£=45°,

•••△ZGE为等腰直角三角形；

(2)证明：如图2,作C7/_LQ尸，交DP于H点,

：.ZDHC=90°.

U：AELDP,

：.ZAED=90°,

・・・ZAED=ZDHC.

VZADE+ZCDH=90°,/CDH+/DCH=90°,

・・・ZADE=ZDCH.

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:在△4DE和中，

Z.AED=7.DHC

/.ADE=/.DCH,

.AD=DC

，△NOW△OCT/(AAS),

：.CH=DE,DH=AE=EG.

：.EH+EG=EH+HD,

即GH=ED,

：.GH=CH.

，CG=yflGH.

'：AG=\[2EG,

，/G=y/2DH,

：.CG+AG=V2GH+V2HD,

：.CG+AG^V2(GH+HD),

即CG+AG=y[2DG-,

(3)如图3,延长DF,与CB交于点、K,

；P是4B的中点，

：.AP=BP=].

:四边形48CD是正方形，

：.AD=AB=BC=CD,ZDAB=ZABC=ZABK=90°.

:在和△2KP中

NDAB=Z.KBP

AP=BP,

、乙4PD=4BPK

:AADP出八BKP(ASA),

：.AD=KB=BC=2.

在中由勾股定理，得

PD=V5,

：.45AE=PA'AD,

.2Vs„„4A/5

..AE=—g—,DE=­g—,

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:.EG=W，小=等

:.FG=答

在Rt^KCD中，由勾股定理，得

KD=2瓜

.“2底

*=丁，

：.KF=FG,

,:KB=BC,

1

：.FB//CG,BF=^CG,

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24.(12分)如图，抛物线>=加，+3〃比-2加+1的图象经过点C,交x轴于点/(xi,0),B

(X2,0)(点/在点8左侧)，且X2-XI=5,连接3C,。是/C上方的抛物线一点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接BC,CD,S&DCE：S^BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点

。的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)第二象限内抛物线上是否存在一点。，。歹垂直/C于点尸，使得△£>(7/中有一个

锐角等于NA4c的两倍？若存在，求点。的横坐标，若不存在，请说明理由.

.".Xi,X2是方程mx^+hmx-2m+\=0的两根,

...X|+X2=-3,

m

***X2-xi=5,

(%2—%1)2=25.

即：(%2+%1)2—4xi*X2=25,

•CA—2171+1

..9-4x-----m-----=25.

解得：m=-^.

・・・抛物线的解析式为尸一疗-|x+2.

4

(2)S^DCEZSaSCE存在最大值F，此时点。的坐标为(-2,3),理由:

10

令y=0,则一a%?—2%+2=0,

解得：x=-4或1,

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：.A(-4,0),B(1,0),

令x=0,则y=2,

：.C(0,2).

设直线AC的解析式为

,4/c+b=0

**th=2

解得：卜=2,

3=2

，直线AC的解析式为y=1%+2.

过点。作轴于点交4C于点过点5作轴于点5,交直线4C于点

工丛EDMs丛EBN,

.空DM

・'BE~BN'

1

设。(Q,--^-a2—牙+2),则M(。，—«+2),

11

:.DM=(—5次—--tz+2)=一方层—2cl.

2222

1q

当x=1时，y—2X1+2=

5

:.N(1,-).

，BN=|.

:等高的三角形的面积比等于底的比，

.cc_DE_DM

・・S^DCE：OA5CE=现=pyy.

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一/乙一2a141?4

S/j)CE：5A5CE=------5------=--g-a—耳。=一耳(。+2)+引

2

1

••・一尸，

4

...当。=-2时，S&DCE：S^BCE有最大值为g，此时点。(-2,3)；

(3)第二象限内抛物线上存在一点。，。下垂直/C于点K使得△DC尸中有一个锐角

等于/加C的两倍，点。的横坐标为-2或-理由：

•：A(-4,0),B(1,0),C(0,2),

，CM=4,OB=1,OC=2,

：.AC=VOX2+OC2=2V5,BC=y/OB2+OC2=V5,AB=OA+OB=5.

,：AC2+BC2=25=AB2,

.♦.△48C为直角三角形，ZACB=9Q°.

取48的中点尸，连接。P,

贝尸（一彳0）,

3

；.OP=^.

：.PA=PB=PC=^,

：./BAC=/PCA.

■:NCPB=/BAC+NPCA,

：.ZCPB=2ZBAC.

过点。作。轴于点凡延长交4C于点G,如图，

①当/DCF=2/BAC时，

设。(冽，-2血2_/+2),则。氏=-加，07?=-27n2-1机+2,

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13

：.CR=OR-OC=-^mo2-1m.

・.・QK_Ly轴，CM_Ly轴，

:・DR〃AB,

：.ZG=ZBAC.

VZDCF=ZG+ZCDG,ZDCF