同济线性代数第五版第一章第一节共七节

同济线性代数第五版第一章第一节共七节绪论行列式矩阵向量线性方程组特征值与特征向量二次型目录CONTENT绪论01线性代数的研究对象线性代数以向量为主要研究对象，向量是既有大小又有方向的量，可以表示空间中的点、线、面等几何元素，也可以表示物理量如力、速度等。线性空间线性空间是向量所构成的空间，满足一定的运算性质，如加法、数乘等。线性空间中的元素可以是实数、复数或更一般的数学对象。线性变换线性变换是线性空间之间的映射，保持向量加法和数乘的运算性质不变。常见的线性变换包括矩阵变换、微分变换等。向量矩阵方法01矩阵是线性代数的基本工具之一，可以表示线性变换、解线性方程组等。矩阵的运算性质如加法、乘法、转置等在线性代数中起着重要作用。行列式方法02行列式是矩阵的一个重要性质，可以判断线性方程组是否有解、求解矩阵的特征值等。行列式的计算方法和性质也是线性代数的重要内容。向量方法03向量方法以向量为研究对象，通过向量的运算性质如加法、数乘、内积等研究线性代数中的问题，如求解向量组的极大无关组、判断向量组的线性相关性等。线性代数的研究方法早期发展线性代数的起源可以追溯到古代中国和古代希腊的数学研究。在中国，《九章算术》中就有关于方程组的解法研究；在希腊，欧几里得等数学家对几何问题进行了深入研究，其中涉及到了向量的概念。近代发展17世纪以后，随着微积分学的发展，线性代数开始与解析几何紧密结合，逐渐形成了一门独立的数学分支。高斯、柯西等数学家在行列式理论、矩阵理论等方面做出了重要贡献。现代发展20世纪以来，随着计算机技术的飞速发展，线性代数在各个领域的应用越来越广泛。同时，线性代数的理论也在不断完善和发展，如抽象代数、泛函分析等数学分支与线性代数的交叉研究为现代数学的发展注入了新的活力。线性代数的发展历史行列式02行列式的定义排列与逆序由1,2,...,n组成的一个有序数组称为一个n级排列，一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。n阶行列式由n^2个数aij(i,j=1,2,...,n)排成的n行n列的数表称为n阶行列式，它代表一个数值，这个数值由n^2个数按一定规则计算得出。行列式的性质01行列式与它的转置行列式相等。02互换行列式的两行（列），行列式变号。如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。03行列式的性质01行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。02行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。03行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。04把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。ABCD行列式的计算直接计算法按照行列式的定义直接进行计算，适用于低阶行列式。降阶法根据行列式的性质，将高阶行列式降为低阶行列式进行计算。三角形行列式将行列式化为上三角形或下三角形，然后计算对角线上的元素之积。递推法根据行列式的特点，找出相邻阶数行列式之间的关系，从而用递推的方法进行计算。矩阵03由$mtimesn$个数按一定次序排成的$m$行$n$列的矩形数表称为$mtimesn$矩阵。矩阵的概念通常用大写字母表示矩阵，如$A,B,C,ldots$。矩阵的行数称为矩阵的阶数，列数称为矩阵的维数。矩阵的表示如零矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。特殊矩阵矩阵的定义矩阵的加法两个$mtimesn$矩阵相加，对应元素相加。矩阵的数乘数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元素。矩阵的乘法设$A=(a_{ij})$是一个$mtimess$矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$stimesn$矩阵，那么规定矩阵$C=(c_{ij})$，其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ldots+a_{is}b_{sj}$。矩阵的转置把矩阵$A$的行和列互换所得到的矩阵称为$A$的转置矩阵。01020304矩阵的运算可逆矩阵的性质若矩阵$A$可逆，则其逆矩阵唯一；若矩阵$A,B$都可逆，则$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。求逆矩阵的方法如伴随矩阵法、初等变换法等。逆矩阵的概念对于$n$阶矩阵$A$，如果存在一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=I$（其中$I$是单位矩阵），则称$B$是$A$的逆矩阵。矩阵的逆向量04向量的表示方法向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量的模向量的模是一个标量，表示向量的大小，记作||v||。向量是既有大小又有方向的量向量是数学、物理学和工程科学等多个学科中的基本概念，指具有大小（magnitude）和方向的量。向量的定义向量的运算两个向量的点积是一个标量，等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的余弦的乘积。点积可以判断两个向量的夹角以及一个向量在另一个向量上的投影长度。向量的点积向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加等于以这两个向量为邻边作平行四边形，这个平行四边形的对角线就是这两个向量的和。向量的加法一个向量与一个标量相乘，得到的结果是一个与原向量方向相同或相反，大小等于原向量大小与标量绝对值的乘积的向量。向量的数乘线性组合若干个向量按照一定系数相加所得到的向量称为这些向量的线性组合。线性相关与线性无关如果一组向量中至少有一个向量可以由其他向量线性组合得到，则这组向量称为线性相关；否则称为线性无关。极大线性无关组在一个向量组中，如果存在一个部分组，它本身线性无关，且包含向量组中任意一个向量后都变为线性相关，则称该部分组为原向量组的一个极大线性无关组。010203向量的线性相关性线性方程组05定义线性方程组是由一个或几个包含未知数的一次方程所组成的一组整式方程，主要探讨未知数（包括一个或多个）的取值范围及解的个数性质等问题。一般形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。线性方程组的定义123通过对方程组的增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，进而求解未知数的值。高斯消元法利用行列式的性质，直接求解线性方程组的解。克拉默法则通过矩阵的逆或广义逆来求解线性方程组。矩阵方法线性方程组的解法在电路分析、力学分析等领域，经常需要建立线性方程组来求解未知量。工程问题在经济学中，线性方程组被广泛应用于投入产出分析、最优化问题等。经济问题在计算机图形学中，线性方程组用于描述三维变换、光照模型等。计算机图形学线性方程组的应用特征值与特征向量06设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向量。对应于特征值λ的特征向量x满足Ax=λx，即(A-λE)x=0，其中E是单位矩阵。特征值与特征向量的定义特征向量特征值设A是n阶方阵，则|A-λE|称为A的特征多项式，记为f(λ)。特征多项式|A-λE|=0称为A的特征方程，其根称为A的特征值。特征方程首先求出特征多项式f(λ)，然后解特征方程求出特征值λ，最后代入(A-λE)x=0求出对应的特征向量x。求解步骤010203特征值与特征向量的求解矩阵的相似对角化如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP为对角矩阵。矩阵的幂运算对于某些矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来快速计算矩阵的幂。求解微分方程对于某些线性微分方程，可以通过求解其特征值和特征向量来得到方程的通解。判断矩阵是否可对角化如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。特征值与特征向量的应用二次型0703变量与矩阵的对应关系二次型中的变量$x_1,x_2,...,x_n$与对称矩阵A中的元素有一一对应的关系。01二次齐次多项式二次型是n个变量的二次齐次多项式，其一般形式为$f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$。02对称矩阵二次型的系数$a_{ij}$可以组成一个n阶对称矩阵A，即$A=(a_{ij})$。二次型的定义标准形规范形化为标准形的方法二次型的标准形与规范形通过正交变换，二次型可以化为标准形$f=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+...+lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$是矩阵A的特征值。当标准形中的系数$lambda_i$只取1，-1，0三种值时，称该标准形为规范形。规范形是