《直线、射线、线段（2）》名师教案

1/14.2直线、射线、线段（张祖全）第二课时线段的比较与运算一、教学目标（一）学习目标1.了解尺规作图的概念，会用尺规作图作一条线段等于已知线段；2.了解度量线段的两种方法，对线段进行大小比较；3.理解线段中点的概念，利用和、差、倍、分关系计算线段的长度.（二）学习重点线段大小比较，利用和、差、倍、分关系计算线段的长度.（三）学习难点线段的等分点表示方法及运用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，叫做尺规作图.（2）线段的比较：①度量法：用刻度尺分别测量出它们的长度来比较；②叠合法：把其中的一条线段移到另一条线段上，看落点的位置作比较．（3）线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点.类似地，线段有三等分点，四等分点，…等.预习自测（1)下面给出的四条线段中，最长的是()A．B．C．D．【知识点】线段的比较与运算.【解题过程】解：通过度量四条线段的长度，可比较得出线段最长.【思路点拨】利用“度量法”或“叠合法”比较.【答案】D.如图所示，点C是线段AB的中点，点D是线段AB的三等分点，那么AC=BC=_____或AB=2AC=____，AD=_____或AB=______．【知识点】线段的比较与运算.【解题过程】解：.【思路点拨】由线段的中点、三等分点的表示方法解答.【答案】.（3）如图所示，已知直线上四点A、B、C、D，看图填空，AD=+CD=AB－，AD+CB-AB=．【知识点】线段的比较与运算.【解题过程】解：AC，BD，CD.【思路点拨】根据图形，对线段进行和差运算填空.【答案】AC，BD，CD.（4）如图所示，点C是线段AB的中点，点D是BC上任意一点，下列说法错误的是()A. B.C. D.【知识点】线段的比较与运算.【解题过程】解：因为点C是线段AB的中点，所以，故C是错误的.【思路点拨】由线段中点进行等量代换，再进行线段和差运算.【答案】C.（二）课堂设计 1.知识回顾（1）线段的表示方法：①用两个大写字母表示；②用一个小写字母表示.（2）线段的和差的意义：如图，AC=AB+BC；AC=AD—CD.2.问题探究探究一尺规作图●活动①学生自主学习第126、127页.师问：如何作一条线段等于已知线段？你有哪些方法？学生举手抢答.（1）度量法；（2）尺规作图法.师问：什么是尺规作图？学生举手抢答.教学活动：教师在黑板上演示，用尺规作图作一条线段等于已知线段，学生在练习本上模仿完成.总结：作一条线段等于已知线段的方法：（1）度量法：先量出已知线段长度acm，再画一条线段等于acm即可；（2）尺规作图：要求学生在课本126页勾划出来.【设计意图】让学生了解尺规作图的概念，对于“作一条线段等于已知线段”这一基本作图，让学生亲自操作，为后面用尺规作图完成线段的和差画法打基础.探究二探索线段大小的比较方法★●活动①师问：你能比较两名同学的身高吗？学生活动：教师抽3名同学到讲台上来，一名同学为示范，比较另两人的身高，让学生观察、思考，从中寻找比较线段大小的方法.师问：从刚才同学们比较身高的方法中，你能想到比较线段的方法吗？生答：叠合法.师问：叠合法的注意事项有哪些？学生举手抢答.总结：（1）一个端点对齐；（2）另一个端点落在同一侧；（3）比较另一个端点的位置即可.指导学生看书127页图4.2—9所示的三种结论.【设计意图】让学生在活动中观察、思考、体会、提炼，通过类比思想，找到解决问题的思路与方法，提升学生思维能力与思维品质.●活动②线段的和差运算师问：如何用图示法表示线段的和差运算？

学生举手抢答.总结：指导学生阅读教材127页图4.2-10所示的两种情况，体会线段的和差运算在线段图中的表示，为后面尺规作图作准备.【设计意图】指导学生阅读教材，让学生充分理解线段的和差运算，体会线段的和差运算在线段图中的表示，为后面尺规作图作准备.●活动=3\*GB3③探究线段的中点及表示★▲师问：什么叫线段的中点？如何表示？学生举手抢答.师问：什么叫线段的三等分点、四等分点呢？又如何表示？学生举手抢答.总结：把一条线段分成相等的两条线段的点叫线段的中点，把一条线段分成相等的三条线段的点叫线段的三等分点，类似地还有四等分点等.【设计意图】指导学生阅读教材，让学生充分理解并掌握用符号表示线段等分点的方法，为以后线段的计算、证明推理打基础.探究三运用知识解决问题★▲●活动①例1.如图，已知线段a、b、c（a＞b），用圆规和直尺画线段，使它等于a﹣b+2c．【知识点】线段的比较与运算.【解题过程】解：如图所示：线段AE=a﹣b+2c．【思路点拨】首先画射线，在射线上依次截取线段，，再在AD上截取即可得到．【答案】．练习：已知线段a和b，且a>b，用直尺和圆规作一条线段，使它等于2a-b，并写出作图过程．【知识点】线段的比较与运算.【解题过程】解：首先画射线AP，再在射线上依次截取，然后截取，则．【思路点拨】利用基本作图，作一条线段等于已知线段即可作出．【答案】．【设计意图】例1和练习设计基本尺规作图“作一条线段等于已知线段”的实际应用，目的让学生掌握尺规作图的步骤、方法与要求，同时体会线段和差运算用图示法表示的过程.●活动2例2.A、B、C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么线段AC的长度是（）A.1cm B.9cm C.1cm或9cm D.以上答案都不对【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解：第一种情况：C点在AB之间上，故AC=AB﹣BC=1cm；第二种情况：当C点在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm．故选C．【思路点拨】指导审题，由已知条件知A、B、C三点在同一直线上，做本题时应考虑到A、B、C三点之间的位置，分情况可以求出A、C的长度．【答案】C.练习：已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使BC=5cm，则线段AC的长度为（）A.3cm或13cm B.3cm C.13cm D.18cm【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解：∵在直线AB上画线段BC，∴CB的长度有两种可能：①当C在AB之间，此时AC=AB﹣BC=8﹣5=3cm；②当C在线段AB的延长线上，此时AC=AB+BC=8+5=13cm．故选A．【思路点拨】由于在直线AB上画线段BC，那么CB的长度有两种可能：①当C在AB之间，此时AC=AB﹣BC；②当C在线段AB的延长线上，此时AC=AB+BC．然后代入已知数据即可求出线段AC的长度．【答案】A．【设计意图】此题主要考查了线段的和差的计算．在未画图类问题中，正确理解题意很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．●活动3例3.（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；若我们将（1）题中的条件“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”．（1）题的结果会变化吗？如果不会，请说明理由；如果会，请求出结果．【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）∵AC=6cm，且M是AC的中点，∴，同理：CN=2cm，∴，∴线段MN的长度是5cm.（2）分两种情况：当点C在线段AB上，由（1）得MN=5cm，当C在线段AB的延长线上时，∵AC=6cm，且M是AC的中点∴，同理：CN=2cm，∴，∴当C在直线AB上时，线段MN的长度是5cm或1cm．【思路点拨】（1）由已知条件可知，MN=MC+NC，又因为点M、N分别是AC、BC的中点，则，，故，由此即可得出结果；（2）本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上时和当点C在线段AB的延长线上时．【答案】（1）线段MN的长度是，（2）当C在直线AB上时，线段MN的长度是或．练习：如图，点C在线段AB上，，，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足，M、N分别是线段AC、BC的中点，请画出图形，并用的式子表示MN的长度．【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：（1）∵M是AC的中点，∴，∴，又∵N为BC的中点，∴，∴；（2）如图：∵M是AC的中点，∴，∵N是BC的中点，∴，∴．【思路点拨】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用BC=MB﹣MC，MN=CM+CN即可求出线段BC、MN的长度即可．（2）先画图，再根据线段中点的定义得，，然后利用得到．【答案】（1），；(2)．【设计意图】本题考查了线段长度的计算，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．3.课堂总结知识梳理（1）尺规作图的概念，会用尺规作图作一条线段等于已知线段；（2）度量线段的两种方法，会对线段进行大小比较；（3）理解线段中点的概念，利用和、差、倍、分关系计算线段的长度.重难点归纳（1）度量线段的两种方法，对线段进行大小比较；（2）理解线段中点的概念，利用和、差、倍、分关系计算线段的长度.（三）课后作业基础型自主突破1．A、B、C不可能在同一条直线上的是()A.AB=4，BC=6，AC=2；B.AB=8，BC=5，AC=13；C.AB=17，BC=7，AC=12；D.AB=3，BC=9，AC=6.【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：通过画图、计算验证，C是不可能在同一直线上.【思路点拨】画图分析，通过计算判断.【答案】C.2．如图所示，C、D是线段AB上两点，若CB=4，DB＝7，且D是AC的中点，则AC的长等于()A.3B.6C.11D.14【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：由CB=4，DB＝7，可得CD=3，再根据D是AC的中点，则AC=2DC即可求得AC的长为6.【思路点拨】由线段中点及和差进行计算.【答案】B.3．如图，同一直线上有三点A、B、C，下列条件不能使B为AC中点的是（）A. B. C. D.【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：当B为线段AC中点时，，所以A、B、D选项正确．当点B在线段AC之间的任何位置时，都成立，但不能确定点B是AC的中点，故选C．【思路点拨】当点B为线段AC中点时，，由此条件即可得出四个选项中哪一个不符合要求．【答案】C．4．已知A、B是数轴上的两点，AB=3，点B表示-2，那么点A表示()A．lB．-5C．1或-5D．5或1【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解：当A在B的左侧时，A表示-5；当A在B的右侧时，A表示1；故选C.【思路点拨】分A在B的左侧和右侧两种情况进行讨论.【答案】C.5.如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，已知线段AB=8，则线段MN的长度是（）A.6 B.4 C.3 D.2【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】整体思想.【解题过程】解：∵点M是AC中点，∴，∵点N是BC中点，∴，．故选：B．【思路点拨】由于点M是AC中点，所以，由于点N是BC中点，则，而，从而可以求出MN的长度．【答案】B．6.线段，点C在线段AB上，M是BC的中点，且，则AM的长为（）A．4.5 B．6.5 C．7.5 D．8【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】方程思想.【解题过程】解：设，∴，∵M是BC的中点，∴，∴，∴，∴.故选C.【思路点拨】根据题意画出图形分析，设，然后根据图中的等量关系列出方程解出的值．【答案】C.能力型师生共研1.如图，在直线AB上找出一点C，使AC=2CB，则C点应在（）A.点A，B之间 ；B.点A的左边；C.点B的左边；D.点A、B之间或点B的右边.【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解：如图所示，当C在AC之间时，C为AB的一个三等分点；当C在AB的延长线上时，此时AB=BC.故选D．【思路点拨】结合图形，发现：要使AC=2CB，则点C是线段的一个三等分点或使点B是线段AC的中点即可．【答案】D．2.C、D是线段AB上任意两点，M、N分别是AC、BD的中点，若，则AB的长为（）A．B． C． D．以上均不对【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】分类讨论.【解题过程】解：如图所知，可分两种情况：若C在D的左边，则AB的长为；若C在D的右边，则AB的长为．故选D．【思路点拨】因不知道A、B、C、D四点之间的关系，只能分情况处理：若C在D的左边，则AB的长为；反之则AB的长为．【答案】D.探究型多维突破1.如图所示，已知线段AB=12，点O是AB上一点，C为AO的中点，点D在线段OB上，且AO：OD：DB=3：2：1，求线段AC的长．【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】方程思想.【解题过程】解：设，，，由线段的和差，得AB=AO+OD+DB，，即．解得，．由C为AO的中点，得．【思路点拨】根据线段间的比例，可设出未知数，根据线段的和差，可得方程，根据线段中点的性质，可得答案．【答案】3.2.已知线段AB，反向延长线段AB到D，使AD=AB；再延长AB到C，使AC=3AB．（1）根据题意画出图形；（2）若DC的长为8，AB的中点为E，BC的中点为F，求EF的长．【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】解：（1）如图，；（2）如图，设，∵，，∴，，而，∴，解得，∴AB=2，BC=AC﹣AB=6﹣2=4，∵AB的中点为E，BC的中点为F，∴BE=1，BF=2，∴EF=BE+BF=1+2=3．【思路点拨】（1）根据题意画图；（2）设，则，，利用AD+AC=CD得到，解得，所以AB=2，BC=4，再根据线段中点的定义得到BE=1，BF=2，然后利用EF=BE+BF进行计算．【答案】（1）如图，；（2）EF=3.自助餐1.线段AB被分成2：3：4三部分，第一部分和第三部分的中点所得线段的长为42cm，则最长部分为（）cm.A.21B.14C.10.5D.28【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】数形结合.【解题过程】解：如图，设，，，则MN=，所以=42，故【思路点拨】画出图形，由比例设未知数求解.【答案】D.2.A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（）A.30 B.30或10 C.50 D.50或10【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】分类讨论、数形结合思想.【解题过程】解：如图所示，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM==30，BN==20．在图1中，MN=BM﹣BN=10；在图2中，MN=BM+BN=50．故选D．【思路点拨】首先要考虑A、B、C三点在直线上的不同位置：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．【答案】D．3.下列说法：①若，则点C是AB中点；②若AB=2BC，则点C是AB中点；③若AC=BC，点C在线段AB上，则点C是AB中点；④若AC+BC=AB，点C在线段AB上，则点C是AB中点.其中说法正确的有（填序号）【知识点】线段的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：①②缺条件点C