华大新高考联盟2023届高三年级下册4月教学质量测评数学试题(新教材卷)真题卷（含答案与解析）

华大新高考联盟2023届高三4月教学质量测评

数学

本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题；本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1设集合A={x|3d_2x-8<0},B={x|y=ln(7x-4)},则4

B=)

B.心.4fIc4

C.x\—<x<2D."ix|—2<x<—

7-4i.2023

（）

2.已知Z=K~^+15—i,则在复平面内,复数z所对应点位于（)

(J)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.己知甲、乙、丙三人抢到的红

211

包金额超过1元的概率分别为一，一，一，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（）

324

4.已知函数/（x）的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）

B.cos4cos-x+cos4sin—x

22

C.sin[4cos-x|+sinf4sin1-xD.cos4coslx4

2224

5.过点A(2,5)的直线/与函数=的图象交于M,N两点，若O为坐标原点，5(5,1),则

X—2

cos(OM+ON,AB)-()

A14屈R7屈「14V29

l\.-------------------------15.--------------------

145145145

6.已知正三棱台ABC-44G的上、下底面面积分别为述、9JJ，若44,=回，则该正三棱台的外

4

接球的表面积为()

A.40兀B.80兀C.30兀D.60K

22

7.已知双曲线，一专■=l(a>01>0)左、右焦点分别为片，与，倾斜角为。的直线/经过点4(”,0)

和点B,其中%=280,5。丄片伝必=g忻闾，若COS9="L则双曲线C的渐近线方程为

()

5,4

A.y=±2xB.y=±xC.y=±-xD.y=±-x

33

8.若函数/(力=£+/+机85%在［°，+8)上单调递增，则实数，〃的取值范围为()

e1

A.(-oo,0]B.—00,—C.(fl]D.-00,

22

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子

一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老

鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为劣,每个月老鼠的总数量

为b”,数列{%},{d}的前"项和分别为S“,7；,可知q=12,4=14,%=84也=98,则下列说法正

确的是()

78-7

A.4=12x76B.%=2乂76C.$6=2x76-2D."=

3

10.已知函数“x)=x(x+l)(x—1),过点(1,0)的直线/与曲线y=/(x)相切，则与直线/垂直的直线

为()

A.4元-y+2=0B.x-2y+8=0C.x+y-5=0D.2x+4y—3=0

11.已知函数〃x）=2sin；cos；—2Gcos2；,则下列说法错误的是（）

A.函数/（x）的最小正周期为6兀

B.（兀,0）是函数/（x）图象一个对称中心

C.将函数/（x）的图象向右平移2个单位后得到一个偶函数

6

D.函数/（6在［0,10可上有7个零点

12.已知抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点到准线的距离为2，过点厶（。,。一5）作抛物线C的两条切线,

\PQ\

切点分别为P，Q，若焉=2,则点A到原点的距离为（）

PA\

5729

A.2729B.273C.V13

3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若圆G：无2+y2-4x+2y=0与圆C2：/+y2-8x+10y+16=0交于P,Q两点，则直线PQ的方

程为.

/24丫

14.已知2x^---展开式中各项的系数之和为256,记展开式中的系数为。，则冬=_______.

I/丿128

15.如图，已知四棱锥Q—A8CO的底面48CZ）为平行四边形，M是棱。。上靠近点。的三等分点，N

是BQ的中点，平面AMN交CR于点H,则，器=

16.已知a=ln3，方=log“3,现有如下说法：®a<2h；©a+b>3ah,③8一a<—a".则正确的说

法有.（横线上填写正确命题的序号）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.记数列｛%｝的前〃项和为S“，£?=〃，且与,心|$+3是等比数列出｝的前三项.

/=113

(1)求打的值；

1

(2)求数歹!|1-~—+a4n.3\的前n项和Tn.

.。3"+2%"+5J

18.某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经

过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.

(1)求。的值以及所有受灾居民的经济损失的平均值：

(2)以频率估计概率，若从所有受灾居民中随机抽取4人，记受灾居民的经济损失在［2000,4000)的人

数为X,求X的分布列以及数学期望七(X).

19.已知在一ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且

/?cosf—+^4+sin(n+B).-----------=0.

(2)'勺1—cos2c

⑴求csinA的值；

(2)若2SsinC-atanC)=ctanC.且求实数丸取值范围.

20.已知四棱锥S—A3co如图所示，其中58=6，A5=l,AD=30，

ZABC=ZABS=ZDAB=3ZADC=90°,平面S6A丄平面A3CD，点M在线段A£＞上，

AM=立，点N在线段SC上.

6

(1)求证：AC丄SM；

(2)若平面AON与平面A8CO所成角的余弦值为圆，求SN的值.

7

22

21.已知椭圆。：3+%=1(。>/?>0)的右焦点为F,点尸,Q在椭圆C上运动，且|P冃的最小值为

Ji；当点尸不在x轴上时点尸与椭圆C的左、右顶点连线的斜率之积为

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线/：x-2y=0与椭圆C在第一象限交于点A,若NPAQ的内角平分线的斜率不存在.探究:

直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.

22.已知函数/(xJu/nMlnx-l)-%2

(1)若函数/(x)在［3,9］上有两个零点，求实数，"的取值范围.

(2)若关于x的不等式+M4/，(力+1在］,+8)上恒成立，求实数机的取值范围.

参考答案

一、选择题；本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1设集合厶={幻3宀2*-8<0},B={x[y=ln(7x-4)},则4B=()

A.^-x|——<-X<y!B.卜C.<X<2j-D.—2<x<yj-

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求解集合A,B，进而可求AcB.

【详解】由题意可得：

A=1x|3x2-2x-8<0}=卜|-；<x<2),8={x[y=ln(7x_4)}={x|7x-4>0}={x|x'g},

所以A8={X[T<X<2).

故选：C.

7—4i.2023

2.已知z=7不+1则在复平面内，复数所对应的点位于()

(J)Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z,进而判断复数z所对应的点所在象限.

2O23

［详解］vz=-^-^-+i-（5-i）=^-^-+（-i）-（5-i）=1i+2-5i-l=l-|i）

一，1LL

复数Z所对应的点为（1,-位于第四象限.

\2丿

故选：D.

3.某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红

包金额超过1元的概率分别为2,丄，丄，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（）

324

【答案】A

【解析】

【分析】根据互斥事件的概率加法公式结合独立事件的概率除法公式分析运算.

2111

【详解】三人抢到的红包都超过1元的概率为彳x—x—=一,

32412

21（2x1l1-2x1ll13

三人中仅有两人抢到的红包超过1元的概率为鼻x^x1--+-x1--+x

424

1311

所以三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为一+—=一.

12824

故选：A.

4.已知函数/（力的部分图象如下图所示，则/（x）的解析式可能为（）

A.cos(4cosx)+cos(4sinx)B.cosI4cos—xl+cosl4sin—x

C.sin[4cos—xj+sinf4sin-1xD.cos4cos1lx4

2224

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象可得出/(x)为偶函数，且/(0)>0,然后逐项求解判断，即可得出答

案.

【详解】由图象可得，"X)为偶函数，且〃0)>0,且/仁卜一上

A项,若.f(x)=cos(4cosx)+cos(4sinx),贝ij/(一x)=cos(4cos(-x))+cos(4sin(r))

=cos(4cosx)+cos(4sinx)=f(x),

所以/(X)为偶函数.

71

而了cos4cos-+cos4sin—=l+cos4〉0,不满足题意，故A项错误;

22

cos(4cos1-x|+cos(4sinL1、

B项，若〃x)=,则/(-X)=cos4cos+cos4sin——X

2227

cos4cos1lxcos4sinl

+=〃x)，

22

所以/(x)为偶函数.

/(())=cos(4cos0)+cos(4sin0)=cos4+1>0,

4sin^]=2cos2夜,

cos4cos—H-COS

I4丿I4J

°

因为」<2\/2<7i,所以cos2挺<cos型=—丄，所以-l满足题意，故B项正确;

332(2丿

(；I(1、

C项，若/(x)=sin4cos%|+sin|4sing%J,则/(一x)=sin4cos——X+sin|4sin|--x

2I2丿II2.

1

=sin(4cos-x|-sin|4sin—x|“X)，

22

所以“可不是偶函数，故C项错误;

cos4cos1lx2

D项，若/(%)=+,则

24

\

cos4coslx3

〃x)=+-=/（X），

II2丿丿4I2

74

所以/（X）为偶函数.

[—|=cos|4cos—|+—=cos25/2+—>-1故D项错误.

12丿I4丿44

故选:B.

5.过点A（2,5）的直线/与函数/（x）=—^的图象交于例，N两点，若。为坐标原点，8（5,1）,则

1—2

cos0M+ON,AB^=()

人14758D7屈147297729

145145145145

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的对称性分析可得A为线段MN的中点，结合向量的坐标运算求解.

【详解】•••〃力=旦m=5-一二,

x-2x-2

可知/（X）是由y=-丄向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到

X

故A(2,5)函数/(x)的对称中心，则A为线段的中点，

UUL1UUU1UliULU

可得OM+ON=2OA=(4,10),AB=(3,T),

/uuiruum、uun

/uuuruunuun、IOM+ONj-AB_2g14yb

所以cos(OM+ON,AB)=-Wr-uuig，|UUfl-=-T=—=---

\/OM+ON\UB2V29X5145

故选：C.

6.已知正三棱台ABC-44G的上、下底面面积分别为为3、9百，若例=而，则该正三棱台的外

4

接球的表面积为（）

A.40兀B.80兀C.3（hrD.60兀

【答案】D

【解析】

【分析】先求上、下底面正三角形的边长，根据外接球的性质结合勾股定理求半径，即可得结果.

【详解】若正三角形的边长为。，则其面积为丄a状且=立〃

224

由题意可得：AB=3,44=6,

取"sc2ABe的外接圆的圆心为正三棱台AB。-A4G的外接球的球心a，连接

OA,OO2,O,A,O^,O2A,,过A作底面的投影M，

可得CM=QM=G,O24=26，则M4t=6,

由A4,=而，可得。Q=他4=屈"■诟=36，

设外接球的半径为R,则«A=。A=R,

&=。庁+0。：=3+oo：

R=y/i5

可得《,2，Ir\2,解得，

R-=QA?+0a=12+06-00,)00,=2G'

所以该正三棱台的外接球的表面积5=4兀«2=60K.

故选：D.

22

7.已知双曲线,一点=1（。＞01＞0）的左、右焦点分别为片，与，倾斜角为。的直线/经过点A（a,0）

和点B,其中%=28D,乙。丄耳8，伝。|=＜忻用，若cos8=A且，则双曲线C的渐近线方程为

262

)

4

A.y=±2xB.y=+xC.y=±-xD.y=±-x

33

【答案】D

【解析】

【分析】由条件分析得：。是的中点，且△片与8是底角为30的等腰三角形，作出简图，根据正弦定

理可得a、匕的关系，得出结果.

【详解】

由明=2BD,F2D丄耳8可得。是的中点，且△片尸/是以F2为顶点的等腰三角形,

又因为伝。上〈恒闾，所以/硏工=30,

BF?AF)2cc—a

在"AF/中,由正弦定理可得就二石岡询,即為Tsin(60叫，

2c_c-a_c-a

HPsin0sin60cos夕一cos60sing6八1.八，

——cos。——sin。

22

代入上式化简可得：3c=5。，则9c2=25/,则9（巒+〃）=256,解得，=：

4

故渐近线为：y=+—%.

3

故选：D.

8.若函数/（x）=l+e三+,〃cosx在[°，+8）上单调递增，则实数机的取值范围为（）

A.（-oo,0]B.^-oo,.|C.（-oo,l]D.卜0°,；

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得了'（X）NO在[。,+8）上恒成立，构建g（x）=r（x）,结合定点g（o）=o分析运算.

_\

2£

，则/'(x)*e2

【详解】因为/(x)=e±+e5+〃2cosx-e-msinx,

X

由题意可得了'（x）=5e，—e5—msinxNO在［0,+a?)上恒成立,

1(_x

构建g(x)=/'(x),则F(x)="e2+e2-mcosx

注意到g(o)=o,则g'(o)=]-mNO,解得相A,,

1

若加〈,，则g〈x)=w-mcosx>—xxez-7?zcosx=——mcosx,

4

当且仅当£_°弓，即x=0时，等号成立,

V-V

若0〈根W一,因为COSX<1,则T篦COSX之TW,

若加<0,因为cosx2-l,则一mcosxN-m,

综上所述：当万时，g'(x)20在［0,+巧上恒成立,

则g(x)在［(),+e)上单调递增，可得g(x)2g⑼=0,符合题意；

故实数小的取值范围为.

故选：D.

【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围.

(2)函数思想法

第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子

一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老

鼠各生12只小老鼠，一共98只......以此类推•记每个月新生的老鼠数量为4,每个月老鼠的总数量

为勿，数列｛《,｝，｛〃｝的前"项和分别为S“,7；,可知囚=12,4=14,4=84,&=98,则下列说法正

确的是（）

78一7

A.4=12x76B.%=2X76C.$6=2x76—2D.Tb=-^-

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意分析可得数列｛凡｝,｛〃｝均为等比数列，结合等比数列分析运算.

【详解】由题意可得：«„+1=12x1^,=6^,^1+1=«„+1+bn=7bn,

即2+i=72，且仇=14,

所以数列也｝是以首项伉=14,公比q=7的等比数列，则以=14X7"T=2X7",

可得丁:上叱二L

"1-73

当〃》2时，a“=6b,i=12X7"T,且4=12满足上式，

故a“=12x7"T,

可得%1=“言=7,即数列｛q｝是以首项4=12,公比（7=7的等比数列，

Cl“1NX/

可得S=12（1-7）=2x7“—2'

"1-7

6

综上可得：4=12x76,4=2x7,，S6=2X7-2,7；=^L

故A、C正确，B、D错误.

故选：AC

10.已知函数/（x）=x（x+l）（x-l）,过点（1,0）的直线/与曲线y=/（x）相切，则与直线/垂直的直线

为（）

A.4x-y+2=0B.x-2y+8=0C.x+y-5=0D.2x+4y-3=0

【答案】AD

【解析】

【分析】首先求出函数的导函数，设切点坐标为（花，其一%），即可表示出切线方程，再将。,0）代入方程,

即可得到关于X。的方程，解得X。，从而求出切线的斜率，再一一判断即可.

［详解］/（xbMx+iXx—ihMxJibx3-》，则/（%）=3%2—1,

设切点坐标为（毛芯-x0）,则/'（不）=3片-1,所以切线方程为丁一（片一%）=（3x；-1）（工一又0）,

又切线过点（1,0）,所以0_（X_与）=（3片_1）（1_X。），

1

即2年一3片+1=0,故（2%+1）（玉）—1）~=0,解得%=1或x0=—万，

r］、21

所以直线/的斜率为=3-1_1=—丄或r（l）=3x『-i=2,

、2）44

对于A：直线4x—y+2=0的斜率为4,符合题意，故A正确；

对于B：直线x-2y+8=0的斜率为不符合题意，故B错误;

对于C：直线x+y—5=0的斜率为T,不符合题意，故C错误；

对于D：直线2x+4y-3=。的斜率为—丄，符合题意，故D正确;

2

故选：AD

11.已知函数/（x）=2sin《cos；-2百cos?］，则下列说法错误的是（）

A.函数/（x）的最小正周期为6兀

B.（九,0）是函数/（x）图象的一个对称中心

C.将函数/（x）的图象向右平移g个单位后得到一个偶函数

6

D.函数/（X）在［0,10可上有7个零点

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质一一判断即可.

【详解】f（x）=2sin'cost-2Gcos2土

.、丿333

=sin--\/3cos--\/3

33

J1.2x62无）R

=2-sin-----------cos——73

（2323）

=2则（当一｛|一有，

即f（x）=2sin（与一方）—百，故最小正周期，=爹=3兀，故A错误;

又/（0）=-2厶，〃2兀）=2sin［与-g）-6=-6，

即/（0）+〃2兀）=—38。0,所以（兀,0）不是函数f（x）图象的的一个对称中心,故B错误;

将函数/（X）的图象向右平移£个单位得到y=2sin（学-f］-百，显然该函数不是偶函数，故C错

6I39丿

误；

令f（x）=0,即2sin传闻一布=0,即sin停苫）邛,

所以生—四=工+2航或生一二=a+2也，keZ,

333333

所以工=兀+3E或工=—+3E,ZeZ,

2

47rQjr157r

因为X«0,l（）可，所以函数/（x）在［0』（玩］上有7个零点分别为兀，y,4兀，y,771,手，

IChr,故D正确；

故选：ABC

12.已知抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点到准线的距离为2，过点A（a,a—5）作抛物线C的两条切线,

\PQ\

切点分别为P，Q，若7—7=2,则点A到原点的距离为（）

PA

A.2729B.2G。当

【答案】CD

【解析】

【分析】根据〃的几何意义得到〃=2,即可得到抛物线方程，设尸（石,%），。（％，三），利用导数的几何

意义求出切线方程，将点厶（。,。一5）代入方程，即可得到毛，々是方程f-2"+4（。-5）=0的两个解,

\PQ\.

列出韦达定理，由3=2求出。的值，即可得到A点坐标，从而求出距离.

PA\

【详解】因为抛物线。：/=2勿（/?>0）的焦点到准线的距离为2,所以p=2,

则抛物线C:f=4y,即y=丄/,所以/=丄腔

42

设P（与，X），则必=］%’

所以>'lxF=gxi，丁'1尸迎=；々，

所以点P处的切线方程为y-y=；玉（x—%）,将A（。,。—5）代入方程得。一5-y=g%（a-玉）,

即%|~—2<zXI+4（a—5）=0,同理可得若一Ztzx?+4（a—5）=0,

所以X],々是方程f-2以+4（。-5）=0的两个解，所以玉+工2=2”，①玉w=4（。一5）,②

,y.-yx,+x.1

所以直线尸。的斜率上=二一^2=丄「=彳4,

xy-x242

由尚=2得加+公|西一々|=2小1+%；\xt-a\

又,_司=2,一同，所以,整理得X；="2,

因为占Ha,所以％=-。③，

由①②③得3a?+4a—20=0，解得。=2或。=—与,

所以点A的坐标为（2,-3）或（一-1■）

所以|AO|=j2?+（_3）2=J13或|AO|=

故选：CD

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数表示出切线方程，设而不求得到直线尸。的斜率，再利用弦长

公式及已知条件求出”的值.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若圆£:x2+y2—4x+2y=0与圆。2：/+、2-8x+10y+16=0交于P,Q两点，则直线PQ的方

程为.

【答案】x-2y-4=Q

【解析】

【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线P。的方程，运算求解即可.

【详解】：圆G与圆。2相交，则两圆方程之差即为直线产。的方程，

将Y+/一4%+2y=0与/+/-8x+10y+16=0作差得4x-8y-16=0,

整理得x-2y-4=0,

即直线P。的方程为尤-2y-4=0.

故答案为：x-2y—4=0.

-4।ci

14.已知2x5一二的展开式中各项的系数之和为256,记展开式中犷1°的系数为。，则——=______.

I/丿128

【答案】-896

【解析】

【分析】令X=1得到展开式中各项的系数之和求出〃，再写出展开式的通项，令出铲1=一1(),求得

即可求出。，从而得解.

【详解】对于2炉一二r令x=l可得展开式中各项的系数之和为(2-4)=256,解得〃=8,

[x)

(I4V(2丫一「’4Y

所以2炉一三展开式的通项为7；+1=C；2炉•一三=C；28-r.(-4)r«x5，

kx)[丿I]丿

令W±=_]0,解得r=3,所以a=C；-25.(T)3,所以，=《"•(—4)=.896.

5128128

故答案为：-896

15.如图，己知四棱锥ABC。的底面A8C。为平行四边形，M是棱。2上靠近点。的三等分点，N

D、H

是的中点，平面AMN交CR于点H,贝IJ,~D^C

a

【答案】1##0.4

【解析】

【分析】将四棱锥补为三棱柱由D}MHCE”求解.

【详解】解:如图所示:

/•

补全四棱锥为三棱柱，作2E//AB,且=

因为A8CO为平行四边形，所以AB//CD,

则D.E//AB//CD,且0E=AB=CD,

所以四边形ABED1和四边形DQCE都是平行四边形,

因为N为中点，则延长AN必过点E,

所以A,N,E,H,M在同一平面内，

因为OA//CE,所以.CEH,

又因为M是棱上靠近点D的三等分点，

故答案为：—

16.已知a=ln3,b=log“3,现有如下说法：@a<2b；®a+b>3abi③8一a<—a".则正确的说

法有.（横线上填写正确命题的序号）

【答案】②③

【解析】

【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可.

【详解】因为a=ln3>0,b-log,,3>0,

所以a=ln3=loge3,2/?=2log,13=log,n3<loge3=a,所以。>却，故①错误；

—+7=loge+log11=log,(1le)>log27=3,所以a+厶>3"，故②正确；

ab333

1i1

------=loge-logll=log—e<log-=-l,所以匕一。〈一出?，故③正确.

ab3'33'113'3

故答案为：②③

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.记数列｛4｝的前〃项和为S“，之"=n,且言,《用$+3是等比数列｛2｝的前三项.

i=\I3

(1)求打的值；

(2)求数列----1-+%"一31的前八项和Tn-

、°3"+2%"+5J

【答案】⑴1296

n

(2)+2n2-n

15〃+25

【解析】

【分析】(1)依题意可得色+生+幺++%=〃，利用作差法求出。“=〃，再根据等比中项的性质得到

123n

方程求出々，即可求出｛2｝的通项公式，再计算可得；

11,C

(2)由(1)可得---------+包“-3=厶丄咋八丄二+4〃-3,利用裂项相消法和分组求和法计算可得.

。3"+2。3.+5(3/1+2)(3/7+5)

【小问1详解】

依题意幺+&+&■++—=«,当〃=1时4=1,

123n

当〃22时幺+玆+%++也=〃—1,

123n-\

所以2=1,则4=〃，所以

n2

又寺，如宀S«,3是等比数列也｝的前三项，

所以aj二区xS"3,即仏+])2=住+3)仏+4),解得厶=5或4=一2(舍去),

32

而4=寺=1,%=4=6,所以2=6"T,所以4=64=1296.

【小问2详解】

11,

由(1)可得--------+«4„-3=TTJk=+4〃—3a

。3.+2%.+5(3〃+2)(3〃+5)

ir_>__

=+4〃-3,

又3〃+23〃+5

〃〃

所以（,=訳-1--1-----1-P11](1+4-3)

88113/2+23〃+5丿2

n

+2n2-n-+2n2-n.

3〃+5丿15〃+25

18.某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经

过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.

一频率/组距

0.00020..........-I—

0.00015----------

0.00003----------------------------------------------------

____,

O200040006000800010000经济损失/元

（1）求。的值以及所有受灾居民的经济损失的平均值：

（2）以频率估计概率，若从所有受灾居民中随机抽取4人，记受灾居民的经济损失在［2000,4000）的人

数为X,求X的分布列以及数学期望E（X）.

【答案】（1）«=0.00009；所有受灾居民的经济损失的平均值为3360元；

（2）分布列见解析，£（X）=1.6

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可得a的值；由频率分布直方图的平均值

的求法可得所有受灾居民的经济损失的平均值；

（2）求出受灾居民的经济损失在［2000,4000）的概率，根据X3（4,0.4）可得X的分布列以及数学期

望.

【小问1详解】

由（2x0.00003+a+0.00015+0.00020）x2000=1得a=0.00009；

0.00015x2000x1000+0.00020x2000x3000

-K）.（XXX）9x2000x5000+0.00003x2000x7000+0.00003x2000x9000=3360,

所有受灾居民的经济损失的平均值为3360元；

【小问2详解】

受灾居民的经济损失在［2000,4000）的概率为0.00020x2000=0.4,

由题意X5（4,0.4）,

P（X=0）=《0.4°x0.64=0.1296,

P（X=1）=C^O.41x0.63=0.3456,

P（X=2）=C^0.42x0.62=0.3456,

P（X=3）=《0.43x0.6=0.1536,

P（X=4）=C4O.44x0.6°=0.0256,

所以X的分布列为

X0I234

P0.12960.34560.34560.15360.0256

数学期望£(X)=4x0.4=1.6.

19.已知在..ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且

bcos[—+A+sin(7t+B)J-----------=0.

(2J'勺1-cos2c

(1)求csinA的值；

(2)若2SsinC-atanC)=ctanC.且S^BCN几•求实数的取值范围.

【答案】(1)石

(2)(—co,3-^3J

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换整理得厶sinCsinA_6sin3=0,根据正弦定理角化边即可得结果；

2兀

(2)根据题意结合余弦定理可得8=——，进而可得改=必，结合基本不等式和面积公式可求得

3

S/\ABCN30，即可得结果.

【小问1详解】

因为儿。s仁+厶"（兀+8）J1T^=0,则加inNn8^g^=0,

整理得bsinCsinA-Gsin8=0，

由正弦定理可得Z;sinA.....-=0，故csinA=G.

c

【小问2详解】

因为2（Z?sinC-atanC）=ctanC,

由tanC存在，贝UcosCwO,

两边同乘以cosC可得：2（Z?sinCcosC-«sinC）=csinC,

又因为。£（0,兀），则sinCwO,可得乃cos。一为=c,

〃2.^2_2

由余弦定理可得2bx巴亠一---2a=c,整理得巒+/一6=_讹,

2ab

—r/F1r*a~+c?—b21

可得cos8=--------------=一一，

2ac2

0jr

且Bw（0,兀），则3=彳，

由（1）可知：/?sinCsinA-gsin6=0，可得8sinCsinA=2sin2B，

由正弦定理可得abc=2b\即ac=2b,

由余弦定理可得b1=a2+c2-2accosB=a~+c1+ac>3ac，

当且仅当。=c时，等号成立，

可得％226b，可得626,即w=2Z»N12,

故S厶ABC~ocsin5—x12x—^―3>/3>

由题意可得：243百，

故