2024届新高考数学一轮复习配套练习 数列求和

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.4数列求和

练基础

I

1.（2021.全国高三其他模拟）设数列｛四｝的前八项和为S”，若/=-/=q尸，则599=（）

y/n+1+5/〃

A.7B.8C.9D.10

2.（2017•全国高考真题（理））（2017新课标全国//理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了

381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏B.3盏

C.5盏D.9盏

3.（2019•全国高考真题（文））己知各项均为正数的等比数列｛q｝的前4项和为15,且％=3%+4q,

则%=（）

A.16B.8C.4D.2

4.（2020•山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：”三百七十八

里关，初行健步不为难：次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）

A.此人第二天走了九十六里路B.此人第三天走的路程站全程的丄

8

C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了42里路

3

5.（2019•全国高考真题（文））记S,为等比数列｛4｝的前〃项和.若“=1,S3则$=.

6.（2021•四川成都市•石室中学高三三模）记S“为递增等比数列｛%｝的前〃项和，若％。2a3=8,%=%+4

则So的值为.

7.（2021•甘肃白银市•高三其他模拟（理））已知正项等比数列｛%｝的前“项和为S"，S2=2q+2,%=4%，

则数列｛凡｝中不超过2021的所有项的和为.

8.（2021♦福建高三其他模拟）记S“为等比数列｛4｝的前〃项和，已知q=l,Sn=an+i+t.

（1）求f；

（2）求数列｛（cos"兀＞。"｝的前”项和.

9.（2021・辽宁高三其他模拟）已知｛%｝为等差数列，｛2｝为等比数列，且满足

q=1,e=2,%=4（%-。2）也=4（%—白）.

（1）求｛4｝和也｝的通项公式；

（2）对任意的正整数"，设%=a/”,求数列｛%｝的前"项和S”.

10.（2021.广东实验中学高三其他模拟）已知数列｛小｝中，n=1,其前"项和S”满足％+i=S“+l（“GN*）.

（1）求S,；

S-s

（2）记瓦=鲁”，求数列仍“｝的前”项和6.

练提升

1.【多选题】（2021•吉林松原市.高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学

生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第〃（“eN*）项与第〃+1项之间插入首项为2,

公比为2,的等比数列的前〃项，从而形成新的数列｛4｝,数列｛q｝的前〃项和为S“，则（）

A.。2021=2'B.“2021=26

M

C.52021=3x263+59D.S202l=2-3

2.【多选题】（2021•河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一

类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷''或"缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的

各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形ABCO中，作

它的内接正方形EFG"，且使得N8M=15。；再作正方形EFG"的内接正方形MNPQ,且使得

NFMN=15。；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第〃个正方形的边长为巴

（其中第1个正方形ABC。的边长为q=A3,第2个正方形EFGH的边长为々=EF，…），第«个直角

三角形（阴影部分）的面积为S.（其中第1个直角三角形AE"的面积为,第2个直角三角形EQM的面积

为S2,…），则（)

D

H

A

A.数列｛4｝是公比为|■的等比数列B.&=《

C.数列｛S“｝是公比为*的等比数列D.数列｛S“｝的前〃项和

3.（2022•河南高三月考（文））己知数列｛%｝满足q=1,。,川―2a“+2=0.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若以=〃%,求数列也｝的前〃项和S”.

4.（2021•全国高三其他模拟（理））已知等差数列｛4｝满足旳=2,4=4,正项等比数列物,）满足首项为

1,前3项和为7.

（1）求｛《,｝与｛2｝的通项公式：

（2）求｛为"｝的前”项和S”.

5.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈九中高三其他模拟（理））己知数列｛q｝满足：an+l-2an=0,a3=8.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设a=一，数列也,｝的前〃项和为1,求，最小值.

6.（2021•四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知S”是等比数列｛4｝的前〃项和，S4,邑，S3成

等差数列,且4+%+%=T8.

（1）求数列｛《,｝的通项公式；

（2）若存在正整数〃，使得S.22021,求"的最小值.

7.（2021•全国高三其他模拟）已知数列｛2%｝是以2为首项，4为公比的等比数列.

（1）求数列｛”“｝的通项公式；

⑵在数列｛4｝中，去掉第3项，第6项，…，第弘项（A为正整数）得到的数列记为也｝,求数列也｝

的前“项和

8.（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设S,是等差数列｛4｝的前〃项和，其中4=1,且

2=也+1（〃"）

凡

（I）求义的值，并求出数列｛2｝的通项公式；

（II）设d=号>求证：4+仇+…+

9.（2019•浙江高考模拟）己知数列｛4｝中，4=0,a.+|=2a“+〃（〃wN*）,

⑴令〃=an+l-a„+l,求证：数列也｝是等比数歹（I；

（2）令％=墨,当％取得最大值时，求〃的值•

10.（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①生=5，a2+a5=6b2；②仇=2,a3+aA=3b3；

③S3=9,%+〃5=8由，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知等差数列｛%｝的公差为d（d>l）,前〃项和为s“，等比数列｛2｝的公比为q,且%=4,d=q,

（1）求数列｛%｝,｛2｝的通项公式.

（2）记C“=忤，求数列｛%｝,的前〃项和7；.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

练真题

1.（2020•全国高考真题（理））数列｛叫中，4=2,若%++%,+2++4+io=2i5_25,

贝麟=（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2021•浙江高考真题）己知数列｛aj满足卬=L%+i=匕#[（"€?4）记数列｛。,｝的前〃项和为s”,

则（）

399

A.—<S）00<3B.3<Sl00<4C.4<Sl00<-D.—<5]00<5

3.（2020•全国高考真题（理））设｛。“｝是公比不为1的等比数列，q为的，%的等差中项•

（1）求｛%｝的公比；

（2）若4=1,求数列｛〃&“｝的前”项和.

4.（2020•全国高考真题（文））设等比数列｛4｝满足4+旳=4,a3-a,=8.

（1）求｛a｝的通项公式;

（2）记SH为数歹ij｛log3当｝的前"项和.若S„,+Sm+]=Sm+3,求m.

5.（2020•山东省高考真题）已知公比大于1的等比数列｛为｝满足4+%=20吗=8.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）记"为｛4｝在区间（0,，〃]（〃?eN"）中的项的个数，求数列｛鬆｝的前100项和，°。.

6.（2020•天津高考真题）已知｛4｝为等差数列，｛2｝为等比数列，

%=4=1吗=5（%-%）也=4（仇一仇）.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式；

（II）记｛4｝的前〃项和为S,,求证：S„Sn+2<（neN*）;

（3—2应,〃为奇数，

g=a，，a"+2

尹，〃为偶数.1।

（III）对任意的正整数〃，设也出求数列1%）的前2〃项和.专题7.4数

列求和

练基础

1

1.(2021•全国高三其他模拟)设数列｛&｝的前"项和为S”若%=一/=『~尸，则599=()

yjn+l+，〃

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

采用裂项相消法求数列的和

【详解】

因为a"=『…7=>]n+\—>j'n,

yjn+l+，〃

所以S99=(0_l)+(G—3)++(x/99-^)+(7100-5/99)

=7ioo-i

=10-1

-9

故选c.

2.(2017•全国高考真题(理))(2017新课标全国〃理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了

381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()

A.1盏B.3盏

C.5盏D.9盏

【答案】B

【解析】

设塔顶的出盏灯，

由题意｛aj是公比为2的等比数列，

.•.S-=ai(1~27)=381,

1-2

解得aj=3.

故选：B.

3.(2019•全国高考真题(文))已知各项均为正数的等比数列｛%｝的前4项和为15,且%=3%+4q,

贝lj%=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】

231

%++%q+aq=15,

设正数的等比数列｛a｝的公比为夕,则＜}

。必“=3〃闻2+4〃]

ci,=1,)

解得《，a3=a、q=4,故选C.

14=2

4.（2020•山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：”三百七十八

里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）

A.此人第二天走了九十六里路B.此人第三天走的路程站全程的丄

8

C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了42里路

【答案】ACD

【解析】

设此人第〃天走。“里路，则数列｛%｝是首项为4,公比为q=g的等比数列，

因为56=378,所以Se=-------+—=378,解得“=192,

1-丄

2

对于A,由于a,=192x丄=96,所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；

-2

对于B,由于q=192x丄=48，网〉丄，所以B不正确；

43788

对于C,由于378-192=186,192-186=6,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C

正确;

111

对于D,由于+Cl5+£l6=192X—4---------1--=42,所以D正确,

81632

故选：ACD

3

5.（2019•全国高考真题（文））记S为等比数列的前〃项和.若4=1，53=-,则S=

【答案】

O

【解析】

设等比数列的公比为4,由已知

)9371

S3=q+qg+a^c]~=1+g+q-=—,即q-4-—0

解得Q=~—

所以s，（屮）」"）15

所以邑一下厂一不，盛

6.（2021・四川成都市•石室中学高三三模）记S“为递增等比数列｛«„）的前n项和，若4a24=8,4=%+4

则So的值为

【答案】1023

【解析】

首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前“项和公式求出510即可.

【详解】

因为数列｛%｝为等比数列,

所以4a2a3=生,=8，解得见=2,

设等比数列｛q｝的公比为9,

因为%=。3+4，

所以442=44+4即/q+2,

解得q=2或q=T,

因为等比数列｛%｝是递增数列，

所以q=2,q=1,

I_?10

所以‘0=---------=210-1=1023.

101-2

故答案为：1023

7.（2021•甘肃白银市•高三其他模拟（理））已知正项等比数列｛4｝的前“项和为S,，S2=24+2,%=4a3，

则数列｛4｝中不超过2021的所有项的和为,

【答案】2046

【解析】

先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数

列的前"项和公式求和即可.

【详解】

设正项等比数列｛。“｝的公比为4，q>0，G>0,

因为S2=2al+2,a5=4%,

+qq=2q+2q=2

所以《,解得:

4所以％=2".

a}q=4qq3g=2

令442021,解得：n<10.

所以数列｛4｝中不超过2021的所有项的和为:

1010

g,(l-7)2(1-2)

2046.

1—q-1-2

故答案为：2046.

8.（2021♦福建高三其他模拟）记S“为等比数列｛4｝的前“项和，已知q=l,S,,=an+l+t.

（1）求f；

（2）求数列｛（cos〃兀）•4,｝的前〃项和.

【答案】（1）r=—1；（2）—（—2）"—.

3、'3

【解析】

（1）由已知5„=an+l+f,令〃=1,求出,，再令〃22,%=S“一S,i，求出等比数列的公比，由a=4,

a\

即可求解;

（2）由（1）求出｛《,｝通项公式，可得数列｛（cos〃7i>a“｝为等比数列，根据等比数列的前〃项和公式，即

可得出结论.

【详解】

(1)令〃=1,则由s“=。“+]+f可得Sj=%+f，。2=1—，，

当〃22时，由S“=a“+i+f可得S,i=%+/,

两式相减,可得a”=an+l-an,即an+i=2an,

依题意，｛4｝为等比数列，故g=2=l—f,，=T；

(2)由(1)可知｛4｝为首项等于1,公比等于2的等比数列，故a"=2"T；

故｛(cos〃兀)•a,J为首项等于—1，公比等于-2的等比数歹U，

故％=(-1)(-叶.

「1+(-2)”=11

"1-(-2)-3(丿3'

9.(2021•辽宁高三其他模拟)已知｛%｝为等差数列，｛2｝为等比数列，且满足

4=1,伪=2,%=4(/-。2)，“=4(2—4).

(1)求｛4｝和也｝的通项公式；

(2)对任意的正整数〃，设c〃=a»“，求数列｛%｝的前〃项和S“.

【答案】(1)an=n,bn=2"；(2)S,=(“-1)x2向+2.

【解析】

(1)设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；

(2)求出cn=n-2",结合错位相减法求和可得数列｛%｝的前n项和Sn.

【详解】

(1)设等差数列｛q｝的公差为“，等比数列也｝的公比为4，

由4=1,包=4(4—%)，则l+3d=4d,可得d=l,所以a“=l+〃T=〃,

因为伪=2也=4低一幻，所以2/=4(2/—2乡)，整理得(”2)2=0,解得g=2,

所以“=2X2"T=2"；

(2)c„=n-2",

S„=1X2+2X22+3X23+L+«-2H,2S„=lx22+2X23+3X24+L+n-2',+i,

两式相减，得

20-2")

-5„=1X2+22+23+24+L+2"-n-2"+l-n-2,,+l=(l-n)-2n+I-2

1-2

所以S,=（〃-1）X2"T+2.

10.（2021广东实验中学高三其他模拟）已知数列｛““｝中，ai=l,其前〃项和S”满足的+i=S“+l（/WN*）.

（1）求S“：

Si-S

（2）记儿=，"，求数列｛为｝的前〃项和7k

七，+i

【答案】（1）S„=2--l;（2）（=1一荘7

【解析】

（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；

（2）求得a=1--------』一，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.

2-12-1

【详解】

(1)当〃N2时，=+1,又=S.+1,

所以an+\~an=S"—S"-I=%,

即4+1=2a“5>2）,

在。"+1=S“+1中，令〃=1,可得。2=《+1

因为6=1,所以%=2%=2

故｛4｝是首项为1，公比为2的等比数列，

其通项公式为4=2"',

所以S"=，「l=2"-1.

,SII+.-S„1111

（2）因为"=S£M=丁%=戸一2_7

所以片（1-»（2）++（厶-斎）

故刀，=1一一

练提升

1.【多选题】(2021•吉林松原市•高三月考)在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学

生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第〃("GN*)项与第〃+1项之间插入首项为2,

公比为2,的等比数列的前〃项，从而形成新的数列｛%,｝,数列｛q｝的前及项和为S“，则()

A.。2021=2'B.%021=2

64

C.S2021=3x2"'+59D.S202,=2—3

【答案】AD

【解析】

根据题意求出〃，然后即可求岀。2021=2、再利用错位相减法求出新数列的和.

【详解】

设。2021介于第〃个1与第"+1个1之间或者为这两个1当中的一个，

则从新数列的第1个1到第〃个1一共有——L项，

2

从新数列的第1个1到第〃+1个1一共有(〃+2)(〃+1)项,

2

,(n+\\n(〃+2)(〃+1)/

所以^----^-<2021<^------△----2,解得〃=63,

22

而(63；)63=20]6,所以4o21=25,故A正确，B错误；

236212345

S2O21=1x63+62x2'+61X2+60X2++lx2+2+2+2+2+2

=125+62x2'+61X22+60X23++1X262，

令T=62*2i+61x22+60x23++lx262.

则2T=62*2?+61x23+60x24+.+lx263,

2T-T=-62X2'+22+23+24+,+262+1X26\T=2“一128,

所以§2⑼=2"-3,故。正确，C错误，

故选：AD.

2.【多选题】（2021•河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一

类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷''或"缠卷小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的

各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形A8C。中，作

它的内接正方形，且使得NBER=15。；再作正方形EEG”的内接正方形MNPQ,且使得

NFMN=15。；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第〃个正方形的边长为巴

（其中第1个正方形A8Q9的边长为q=AB,第2个正方形EFG”的边长为"2=£/，…），第〃个直角

三角形（阴影部分）的面积为S,,（其中第1个直角三角形AE”的面积为，，第2个直角三角形EQA/的面积

为邑，…），则（）

A.数列｛凡｝是公比为|■的等比数列

B.S]=—

'12

C.数列｛S,｝是公比为3的等比数列D.数列｛S,,｝的前〃项和

【答案】BD

【解析】

=—aH+l，即驮=逅可判断A,再求岀S“=：x《）"，可判断B与C,最后求出

2cin383

1-(1)2,可判断D.

【详解】

如图：

x&sin(15°+45°)=曰a,-]

由图知an=an+i(sin5+cos15')=a,7/+1

对于A：。”=告4=见,数列｛为｝是公比为必

。"+1

%+1，的等比数列，故A不正确;

’433

221

（|严一章1

对于BC：因为%二lx,所以S“=」[%+i=1—X

8

12

所以数列｛S.｝是首项为五，公比为1的等比数列，故B正确，C不正确;

1

1-

12

对于D：因为q=上-1-<-,故D正确,

44

-3

故选：BD.

3.（2022•河南高三月考（文））已知数列｛““卜满足q=1,。,用一2a“+2=0.

（1）求数列｛“的通项公式:

⑵若〃=nan,求数列也｝的前〃项和S„.

【答案】(1)。“=2-2"T；(2)S"="+〃—l+2"—〃x2".

【解析】

Q—2

⑴由％-2勺+2=。，化简得至”1=2,结合等比数列的通项公式，即可求解;

（2）由（1）知=2-2"T,单调勿=〃a“=2〃-〃-2"T,结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减法,

即可求解.

【详解】

(1)由题意，数列｛可｝满足%+|-2%+2=0,

Q—2

可得%-2=2(4—2),即比丁二？，

U

n乙

又因为4=1,可得4-2=-1,

所以4—2=(“一2>2漢=一2"，所以勺=2—2"T,

即数列｛%｝的通项公式4=2-2"，

(2)由(1)知%=2-2”|,可得a=w“=2〃_n-2'T,

则S“=乙+a+4+…+%

=(2xl-lx2G)+(2x2-2x2l)+(2x3-3x22)+---+(27j_n-2n-1)

=(2xl+2x2+2x34----+2n)-(lx20+2x21+3x22+---+H-2,,_|)

=7/(n+l)-(lx204-2x21+3x22+---+nx2n-1).

令f=1x20+2x21+3x2?+…+〃x2"T,

则2/=lx2i+2x22+3x23+-T〃x2"，

所以T=1x2°+1x211x22+…+1X2"T一〃x2"，

所以，=1-2"+〃x2".

所以S“=/+〃一l+2"-〃x2”.

4.(2021•全国高三其他模拟(理))已知等差数列｛a,J满足4=2,4=4,正项等比数列也｝满足首项为

I,前3项和为7.

(1)求｛4｝与也｝的通项公式；

(2)求｛。/“｝的前n项和Sn.

【答案】(1)a“=n,bn=2'-'：(2)S“=1+(〃—1)2.

【解析】

（1）设等差数列｛4｝的公差为4,运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得设正项等比数列

｛"｝的公比为%q>0,由等比数列的通项公式，解方程可得q,进而得到么；

（2）由（1）可得利用错位相减法求和，即可得答案.

【详解】

解：（1）设等差数列｛/｝的公差为“，

由。2=2,%=4,可得4+d=2,6+3d=4,

解得4=4=1,则。〃=1+〃-1=〃；

设正项等比数列也｝的公比为4,q>0,

由首项为1，前3项和为7,可得1+4+/=7,解得行2,

则0=2"，

（2）由（1）可得a/,=〃-2"T,

所以5“=，2°+2・21+3・22+~+〃­2"7,

则2s“=1・2+2・22+3・23+….+〃.2",

1

两式相减可得-s“=1+2'+22+....+2n-1-n-2"=--一«-2"=（l-n）-2n-1,

1-2

所以S“=l+（〃-l>2".

5.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈九中高三其他模拟（理））已知数列｛风｝满足：a“+1-2%=0,o3=8.

（1）求数列｛对｝的通项公式；

（2）设2=一,数列也｝的前〃项和为厶,，求丁最小值.

【答案】⑴«„=2"；（2）最小值为，

【解析】

（1）由己知条件得到｛《｝为等比数列，即可得到｛a“｝通项；（2）错位相减求出7；=1-5r-台，根据

单调性求出力,最小值.

【详解】

解：（1）由。用-2%=0,得用=2%,.•.｛4｝是以2为公比的等比数列，记公比为心

又旳=8,4=q=2,an=a/T=2"；

T123n1_123n

•口="+十+戸，•.•/=齐+井冴++西'

1

两式相减，得丄7=丄111»_2nIn

+于+/++爱-萍~-------11-------------

2"2JI2”+i2”2〃+i

即1=2-8^，又=。穽■＞（）,.•.｛7；｝单调递增，

八=1时，了“最小,最小值为7]=g.

6.（2021•四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知S”是等比数列｛《,｝的前”项和，S&,S2,S3成

等差数列，且4+4+4=T8.

（1）求数列｛对｝的通项公式；

（2）若存在正整数〃，使得S.22021,求〃的最小值.

【答案】⑴a,,=3x（—2）1；⑵11.

【解析】

（S-S=S-S

⑴设数列｛为｝的公比为q,根据条件列出243:求得首项和公比，从而求得通项公式;

Q）+。3+。4=-18

（2）由⑴求得S“=1—（—2）”,分奇偶求解1—（一2）"22021即可求得满足条件的最小〃值.

【详解】

（1）设数列｛%｝的公比为夕，则。尸0,#0.由题意得

”232，

S2-S4=S3-S2—aw%q^=3

«c，即〈/，解得<c

。2+。3+。4=-184夕(1+4+(/')=_]8[q=-2

故数歹U｛a,｝的通项公式为%=3X（-2），，_|.

3，[]一(_2)1

(2)由(1)有s

n=1-(-2)。

1-(-2)

由S“》2021得，1一(一2)“，2021,即(—2)"W—2020.

当〃为偶数时，（一2）”>0,上式不成立：-

当“为奇数时，（一2）"=-2"W—2020,即2"32020，则〃211.

综上，〃的最小值为11.

7.（2021•全国高三其他模拟）已知数列｛24｝是以2为首项，4为公比的等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式：

⑵在数列｛4｝中，去掉第3项，第6项，…，第女项"为正整数）得到的数列记为也｝,求数列也｝

的前几项和5.

2一〃，〃为偶数

2

【答案】(1)an=2n-\.(2)Tn=<

—n2-〃+丄，〃为奇数

122

【解析】

（1）由等比数列通项公式可求得2%，进而得到%；

⑵设%=%,，数列｛《,｝的前〃项和为S"，数列｛q,｝的前"项和为根据S“,匕,北三者之间的关系

可整理得到当〃为偶数时，1=5网-々，当“为奇数时，1=S也-%，利用等差数列求和公式可整

2222

理求得结果.

【详解】

I

(1)由题意得：2T=2♦4"T=2•221=22«-,an=2n-l；

（2）设%=%〃，数列｛q｝的前〃项和为S“，数列｛g｝的前〃项和为匕;

---S3A=<厶+々，S3j=《&+P"1T?k=S3k-Pk=S3I一6一1…①,

^3k+]=G+l+4,，心4+1=S3A[—Pk…②,

•:S3H2=丁2k+2+匕,S3A_3=T2k+2+鼻+1,二G+2=S3A?一%=^3k+3~4+]…③，

由①知：当〃=24时，T“=SyP/由③知：当〃=2仅+1）时，Z，=S与一冬

.•・当〃为偶数时，T/S処-Pj

22

2

由②知：当〃=2A+1时，＜=S也-%，即当”为奇数时，4=S也一餐;

2222

Q3n—1，An—\1（\

丁9+写丿TH+厚丿（3〃一1）2（〃一1）（3〃+1）

■'T"-22一「4

22

-〃，〃为偶数

2

综上所述：

J-〃+"为奇数

—n

[2

8.（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设S“是等差数列｛4｝的前"项和，其中6=1,且

U=W+"〃eN*）.

（I）求4的值，并求岀数列｛4｝的通项公式；

（II）设或=/，求证：乙+仇+…+〃之、

【答案】（I）2=g,。“=〃；（H）证明见解析.

【解析】

S..1

（I）解：令〃=1,则一Ln%%，则凡=一,

62

S,.1

令〃=2,则=4a3，得q3=]H—，

a2A

2ii

***{〃〃}为等差数列>***2%=4+%，***—=1+1H—，*,*/1=—

AA2

・，・。2=2,。3=3,d=1,

/.an=4+（〃一V）d-n,

=数列｛an｝的通项公式为a“=”；

n

（II）证：由题意得a=木,

3

1„12_n-\n

:.-T”=——H—r+…C-I--------1------,

3"32333"3,,+l

.21111n

•・/方+三+下

n

F

32"+3

~4~4-3"

32n+532〃+3]n+1-

VT„l~Tn——r>0,

+44-3）,+l4-4-3"J3"+i

.•.｛7；｝为递增数列，即7；27；=：,

/.b,+a+…+b〃N丄成立.

9.（2019•浙江高考模拟）已知数列｛4｝中，4=0,。用=2%+〃（〃eN*）,

（1）令2=an+l-a„+l,求证：数列｛a｝是等比数列;

（2）令*=*，当c,取得最大值时，求〃的值.

【答案】（I）见解析（2）〃=3,c“最大，即厶=3

【解析】

⑴Qan+i=2a“+n,an+2=2%+〃+1

a

两式相减,得。”+2-n+\=2a“+1-2an+1

an+2-an+l+1=2(a/1+l-a„+1)

即：bn+l=2bn

又Qg=1，4=2w0

数列｛2｝是以2为首项，2为公比的等比数列

(2)由⑴可知,2=2"即a,/-a〃=2"-1

%—q=2-1

%一4=一1

=2"-1-l(n>2)

册一%=2+2?H----F2"‘-(〃-1)=2〃-1

〃22,a“—2”—〃—1

〃=l,q=0也满足上式

:.an^2"-n-\

2n-n-l2,,+'-n-2

c„=......-%=...-；-----

2n+'-n-2T-n-\2〃+l-2"

令〃〃)=2〃+1—2",则/(〃+1)=2〃+3—2向，

••・4+1)-/(〃)=2-2"

../(I)=/(2),/(2)>/(3)>"4)>…>/(〃)

Q/(l)=/(2)=l>0,/(3)=-l<0,..n>3,/(n)<0

,•〈。3'…

，〃=3,c”最大，即左=3

10.(2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)在①旳=5，4+%=64；②仇=2,%+&=3伪;

③S3=9,4+%=8%，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

己知等差数列｛%｝的公差为d(d>l),前〃项和为S“，等比数列也｝的公比为q,且<=4，d=q,

(1)求数列｛4｝,｛2｝的通项公式.

(2)记£,=去，求数列｛%｝,的前〃项和，.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

方案一：选条件①

(1),/a3=5,a2-\-a5=6Z72,d=q,d>1

%+2d=5

24+5d=6ci[d

,25

“i=l6

解得｛c或C(舍去)

d=2,5

ia=—

12

.4*=1

an=%+(〃—l)d

=2n-l

ni

bn=b^=2

a

(2)n

bn

・•.C,,=E=(2"l)x(戸

..Z=l+3x：+5x(£|++(2n-3)xW/1

+(2〃-l)x—

(2丿

字=*({|+5x@)++(2n-3)x|jJ"+(2n-i)xB'

亭=1+2》出+呜J-(2n-l):<11

丄邛门

42且1丿」"1叫"

1-2

(1Y

=3—(2/1+3)x—

12丿

.•Z=6-(2〃+3)x(g)

方案二：选条件②

(1),/b2=2,a3+a4=3b3,a1=bvd=q.d>1

%d=2

2

2a1+5d=3a1d

[axd=2

2%+5d=6d

a,=\[a,=-1

解得&=2哨7（舍去）

->=1

q=2

an-ax+(〃-l)d

=2n-l

2=如〃」=2""

a

(2),n

bt.

%=齐=（2〃-1）x（；产

+(2〃-3)x(g)+(2〃—l)x图

《+34)+5x出+...+(2〃-3鸣+(2”I)x出

+0卜（2”1也

-1

2

l+2x丄-(2n-l)x

=3—(2〃+3)x

（\Y-1

.•.7；=6-（2〃+3叫

方案三：选条件③

S3=9,2+/=8b2，4=b[,d=q,d>1

4+d=3

2q+7d=8。]

21

解得q=cl或?8(舍去)

a=2d,=—3

6=1

屣2

an=q+(〃-1)J

=2n-l

b.=M

Y=2"T=(2〃叫2丿

1门丫门、、〃-2z］、〃-1

/.=14-3x—+5x—+••+(2〃-3)x—+(2H-1)X—

2丿丿\厶)

—4)