2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章第3讲-圆的方程

第3讲圆的方程

＞知识，白图回顾理教初­夯实必备知识.

1.圆的定义及方程

定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

圆心(a,b)

标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

半径为I

条件：Dz+E2_4F>0

圆心:(-2-^2)

一般方程X2+y2+Dx+Ey+F=0

半径r=^,D2+E2一木

2.点与圆的位置关系

点M(xo,y0)与圆(x-a)2+(y-点=鹿的位置关系:

⑴若M(x0,y°)在圆外，贝ij(x「a)2+(yo-b)2^r2.

⑵若M(x0,y0)在圆上，!JJiJ(xo-a)2+(yo-b)2^r2.

(3)若M(x°,y°)在圆内，WJ(xo-a)2+(yo-b)2_£P.

［疑误辨析］

判断正误(正确的打“V”，错误的打“x”)

⑴确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)已知点A(Xjy),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x)(x-X2)+(y-y)(y-

y2)=0.()

⑶方程Ax2+Bxy+Cyz+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=CXO,B=0,D2+E2

-4AF>0.()

@方程*2+22*+丫2=0一定表示圆.()

⑸若点M(x°,y°)在圆X2+y2+Dx+Ey+F=C^h则线+%+Dx°+Ey°+F>0.()

答案：⑴。⑵V(3)V(4)x(5)V

［教材衍化］

1.泌修2P132A组T3改编)以点(3,-1)为圆心，并且与直线3x+4y=0相切的圆的

方程是()

A.(x-3)2+(y+1)2=1

22

B.(x-3)2+(y-1)2=1

C.(X+3)2+(y-1)2=1

D.(x+3)2+(y+1)2=1

答案：A

2.(必修2P124A组T1改编)圆X2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为半径为

解析：X2+y2-4x+6y=0,得(x-2)2+(y+3)2=13.

所以圆心坐标为(2,-3),半径为限.

答案：(2,-3)屏

3.(必修2P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-l,1)和B(l,3),则

圆C的方程为.

解析：设圆心坐标为C(a,0),

因为点A(-l,1)和B(l,3)在圆C上，

所以|CA|=|CB|,

即，(a+1)2+1=y/(a-1)2+9,

解得a=2,

所以圆心为C(为0),

半径|CA|=7(2+1)2+1=瓜,

所以圆C的方程为(x-2)2+yz=10.

答案：(x-2)2+y2=10

［易错纠偏］

⑴忽视表示圆的充要条件D2+E2-4F>0；

(2)错用点与圆的位置关系；

(3)不能正确确定圆心坐标.

1.若方程X2+y?+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是.

_(mAm2

解析：将X2+yz+mx-2y+3=0化为圆的标准方程得心+力|+(丫-1)2=彳-2.

m2

由其表示圆可得彳-2>0,解得或m>2ji

答案：(-8,-2啦)U(2&,+8)

2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是.

解析：因为点(L1)在圆内，

所以(l-a)2+(a+D2<4,即

33

答案：(-1,1)

3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆

的标准方程是.

解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,l)(a>0),又圆与直线4x-

3y=0相切，

所以~~'=1,解得a=2或a=-5(舍去).

所以圆的标准方程为(x-2卜+(y-»=1.

答案:(x-2)2+(y-1)2=1

》0。考点，般伟剖析明考向,直击考例考法

考点。

求圆的方程(高频考点)

求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小.主

要命题角度有：

(1)由已知条件求圆的方程；

(2)由圆的方程确定参数的值(范围).

角度一由已知条件求圆的方程

例1,(1)圆心在曲线y=-(x>0)±,且与直线2x+y+l=0相切的面积最小的圆的方程

X

为()

A.(X-l)2+(y-2)2=5

B.(x-2)2+(y-l)2=5

C.(x-l)2+(y-2>=25

D.(x-2)2+(y-l)2=25

⑵(2020•浙江百校联盟联考)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0

上的圆的方程为.

【解析】⑴由圆心在曲线y=；(x>0)上，设圆心坐标为Q,春，a>0.又因为圆与直线

2

2a+a+14+1

2

2x+y+l=0相切，所以圆心到直线的距离d当且仅当2a=>

木d

即a=l时取等号.所以圆心坐标为(1,2),圆的半径的最小值为小，则所求圆的方程为(x

-l)2+(y-2)2=5.

44

⑵因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点，

所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上.

易知线段AB的垂直平分线方程为y=-|(x-4).

设所求圆的圆心为C(a,b),则有

产"3=0,”=2,

b=--(a-4),lb=l,

所以C(2,1),所以半径r=|CA|=」以-2)2+(2-1)2=①,所以所求圆的方程

为(X-2)2+(y-1)2=10.

【答案】(1)A(2)(x-2)2+(y-l)2=10

角度二由圆的方程确定参数的值(范围)

俯设圆的方程是x2+yz+2ax+2y+(a-l)2=0,若0<a<l,则原点与圆的位置关

系是()

A.原点在圆上B.原点在圆外

C.原点在圆内D.不确定

(2)已知a£R,方程a2X2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是

半径是.

【解析】(1)将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a,

因为0<avl,所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-l)2>0,即

7(0+a)2+(o+l)2>乖,所以原点在圆外.

(2)由二元二次方程表示圆的条件可得az=a+2,解得a=2或-1.当a=2时，方程为

5一rn5

4x2+4yz+4x+8y+10=0,即X2+y2+x+2y+]=0,配方得(x+万产(y+1)2=不

表示圆；

当a=-l时,方程为X2+/+4x+8y-5=0,配方得(x+2、+(y+4)2=25,则圆心坐

标为(-2,-4),半径是5.

【答案】(1)6(2)(-2,-4)5

网倒园国

求圆的方程的两种方法

(1)直接法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

(2)待定系数法

55

①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于

a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关

于D,E,F的方程组，进而求出D,E,F的值.

ms

1.(2020•宁波十校联考)若a£卜2,0,1|||,则方程X2+yz+ax+2ay+2a2+a-1

=0表示的圆的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B.方程X2+y2+ax+2ay+2a2+a-l=0表示圆的条件为a?+4a^-4(2a?+a-

l)>0,即3a2+4a-4<0,解得-2<a<|.又ae|-2,0,1,所以仅当a=0时，方程

X2+y2+ax+2ay+2a2+a-l=0表示圆.

2.圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为

2^/3,则圆C的标准方程为.

解析：设圆C的圆心为(a,b)(b>0),由题意得a=2b>0,且a2=(、/§)2+bz,解得a=

2,b=l,

所以所求圆的标准方程为(x-2)z+(y-l)2=4.

答案：(x-2)2+(y-l)2=4

3.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,、后)在圆C上，且圆心到直线2x-y

=0的距离为则圆C的方程为.

□

解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x

_y=0的距离d=|=^^,

解得a=2,所以圆C的半径r=|CM|="7^=3,

所以圆C的方程为(x-2A+yz=9.

答案:(x-2)2+yz=9

考点2

与圆有关的最值问题(高频考点)

与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度

为中等.主题命题角度有：

66

⑴借助几何性质求最值；

⑵建立函数关系求最值.

角度一借助几何性质求最值

顺I!3］已知实数x,y满足方程X2+yz-4x+l=0.

⑴求号的最大值和最小值；

⑵求y-x的最大值和最小值.

【解】原方程可化为（x-2）2+yz=3,表示以（2,0）为圆心，乖为半径的圆.

（1稔的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

V

所以设弓二k,即y二kx.

X

当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此畤消=小，解得k=

士，§（如图1）.

所以l的最大值为小，最小值为一，i

图I图2

（2）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距

12-0+bl厂

b取得最大值或最小值，此时」二小、

解得b=-2士m（如图2）.

所以y-x的最大值为-2+m，最小值为-2-m.

互动探究

（变问法）在本例条件下，求X2+yz的最大值和最小值.

解：X2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，

在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图）.

又圆心到原点的距离为d（2-0）2+（0-0）2=2,

所以X2+yz的最大值是（2+水卜=7+X2+yz的最小值是（2-

水）2=7-4/.

角度二建立函数关系求最值

77

例4](2020・义乌模拟)设点P(x,y)是圆：*2+&-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-

2,0),则丽的最大值为

【解析】由题意，知法=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y),所以屈=X2+y2-

4,由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程X2+(y-3)2=1,故xz=-(y-3)2+1,所

以证.丽=-(y-3)2+l+y2-4=6y-12易知2WyW4,所以，当y=4时，冰前的值最

大，最大值为6x4-12=12.

【答案】12

照陶防国

求解与圆有关的最值问题的方法

料串

形如

数形

结

合一一

思形如

想t=ax^-by

距离

形jp(z-a)2+(jr-i)2

函数L」根面正条件列出关于所求目标式子的

思想।西数关系式，再根据由数知识求最值

跟踪训练

1.由直线y=x+l上的一点向圆X2-6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为

解析：切线长的最小值在直线y=x+l上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到

直线的距离为d1,+H=2m圆的半径为1.故切线长的最小值为，讨=后1

="

答案：巾

2.(2020•杭州学军中学高三调研)已知M(m,n)为圆C:X2+ys-4x-14y+45=0上任

n—3

意一点，则的最大值为最小值为.

解析：因为X2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2，I记点Q(-2,

n—3

3).因为m三表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+

3=0,则7R=k.由直线MQ与圆C有公共点，所以J—~7=~^2啦.可得2-，5W

m+2Vl+k2Yv

kW2+，5,所以土|的最大值为2+小，最小值为

答案：2+出2-73

3.设圆X2+yz=2的切线I与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小

88

值时，切线I的方程为.

X

解析：设点A,B的坐标分别为A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线AB的方程为g

d

+^v=1,即bx+ay-ab=0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d=

即2(a2+bz)=(ab)2N4ab,所以ab，4,当且仅当a=b时取等号.又|AB|=

qaz+b2=®N2/,所以|AB|的最小值为2#,此时a=b,即a=b=2,切线I的方程为

Xy

-1即2O

2-+2=X+y=

考点

与圆有关的轨迹问题

湎【5：已知过原点的动直线|与圆J：X2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆Q的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.

【解】(1)由X2+y2_6x+5=0得(x-3)2+y2=4,

所以圆的圆心坐标为(3.0).

(2)设M(x,y),

因为点M为线段AB的中点，所以C|M，AB,

所以kCMk=-1,当x#3时可得三2=-1,整理得(x-|+yz=*又当直线I

与x轴重合时，M点坐标为(3,0),代入上式成立.

设直线I的方程为丫=1«,与xz+y2-6x+5=0联立，

消去y得：Q+k2)X2-6x+5=0.

49

令其判别式△=(-6)2-4(l+k2)x5=0,得kz=d此时方程为『2-6x+5=0,解上式

得x=|,因此|<XW3.所以线段AB的中点M的轨迹的方程为(x-|)+y2='(|<xw3)

奥陶防国

求与圆有关的轨迹方程的方法

99

慎接法H直接根据题设给露质条件列出方锹坦感解的方法I

|定义法H累据皿成直线)的定义列方程佛俅解的方法

匐I跟踪训练已知圆X2+y2=4上一定点A(2,0),B(l,1)为圆内一点，P,Q为圆

上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若乙PBQ=90。，求线段PQ中点的轨迹方程.

解：(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x-2,2y).

因为P点在圆X2+y2=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x-1>+yz=1.

⑵设PQ的中点为N(x,y),在RtAPBQ中，|PN|=|BN|,设O为坐标原点，连接

ON(图略)，贝IJ0N1PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,

所以X2+yz+(x-1)2+(y-1)2=4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-l=0.

演练▼①侍突破练好题•突破离分瓶颈.

［基础题组练］

1.圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()

A.X2+(y-2)2=1B.X2+(y+2)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1D.xa+(y-3)2=1

解析：选A.设圆心为(0,a),

则，(1-0)2+(2-a)2=1,

解得a=2,故圆的方程为X2+(y-2)2=l.故选A.

2.方程|x|-1=,1-(y-1)2所表示的曲线是()

A.一个圆B.两个圆

C.半个圆D.两个半圆

J(|x|-l)2+(y-1)2=1,J(x-1)2+(y-1)2=1,

解析：选D.由题意得_1c即S,或

l|x|-l>0,1x^1

(x+1)2+(y-1)2=1,

.xw-1.

故原方程表示两个半圆.

3.(2020・金华十校联考)已知圆(x-2g+(y+=16的一条直径通过直线x-2y+3=0

1010

被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()

A.3x+y-5=0B.x-2y=0

C.X-2y+4=0D.2x+y-3=0

解析：选D.直线x-2y+3=0的斜率为:，已知圆的圆心坐标为(2,-1),该直径所在

直线的斜率为-2,所以该直径所在的直线方程为y+l=-2(x-2),即2x+y-3=0.故选

D.

4.已知圆C的圆心是直线x-y+l=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相

切，则圆C的方程是()

A.(X+1)2+yz=2B.(x+1)2+yz=8

C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8

Jy=o,

解析：选A.直线x-y+l=0与x轴的交点为j,c即(T，0)-

lx-y+l=0,

根据题意，圆心为(-1,0).

因为圆与直线x+y+3=0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r=d=

1-1+0+31

也+12

则圆的方程为(x+1)2+yz=2.故选A.

5.圆xz+y2-2x-2y+l=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是()

A.1+啦B.2

C.1+"D.2+2也

解析：选A.将圆的方程化为(x-)+(y-邛=1,圆心坐标为(1.1),半径为1,则圆

心到直线x-y=2的距离d=艮二］乌=/，故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为

d+l=^/2+l,选A.

6.(2020•杭州八校联考)圆X2+y2+2x-6y+l=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)

对称，贝城+1的最小值是()

A.2小

C.4

解析：选D.由圆X2+y2+2x-6y+l=0知其标准方程为(x+l)2+(y-3)2=9,因为圆X?

+y2+2x-6y+l=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称，所以该直线经过圆心(-1,

1111

3),即_a_3b+3=0,所以a+3b=3(a>0,b>0).所以[+焉=如+3b)整+1=g

11+浮曰+9)4(10+2、停*j=¥，当且仅当当4,即a=b时取等号，故选D.

\Ud/\J\Ja/oa0

7.圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(-l,1),B(l,3),若M(m,在圆C内,

则m的取值范围为.

解析：设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|得

(a+1)2+12=(a-1)2+32,所以a=2.

半径r=|CA|=1(2+1)2+iz=716.

故圆C的方程为(x-2)2+yz=10.

由题意知(m-2)2+(弟)2<10,解得0cm<4.

答案：(0.4)

8.已知点P(-2,-3),圆C:(x-4)2+(y-2)2=9,过点P作圆C的两条切线，切点

为A,B,则过P、A、B三点的圆的方程为.

解析：易知圆C的圆心为C(4,2),连接AC、BC,

由题意知PA1AC,PB1BC,

所以P,A,B,C四点共圆，连接PC,则所求圆的圆心。'为PC的中点，所以

。(1.

所以所求圆的半径(1+2)2+[-^+3)=\，5

y+力W

一(n6i

答案：(x-l)2+^y+-J=y

9.已知点P(2,2),圆C：xz+y2-8y=0,过点P的动直线I与圆C交于A,B两点,

线段AB的中点为M,。为坐标原点，则点M的轨迹方程为.

解析：圆C的方程可化为X2+(y-4>=16,

所以圆心为C(0,4),半径为4.

设M(x,y),则的=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).

由题设知就I-而5=10,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0.

即(x-1)2+(y-3)2=2.

由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x-l)z+(y-3)2=2.

1212

答案：(x-l)2+(y-3)2=2

10.已知圆O：X2+y2=8,点A(2,0),动点M在圆上，则NOMA的最大值为

解析：设|MA|二a,因为|OM|=2/，|OA|=2,由余弦定理知cos4OMA=

|OM|2+|MA|2-|OA|2

2|OM|.|MA|

2时等号成立.

所以乙OMAW/即aOMA的最大值为今

答案：J

11.求适合下列条件的圆的方程.

⑴圆心在直线y=-4X上，且与直线I：x+y-l=o相切于点P(3,-2)；

(2)过三点A(l,12),B(7,10),C(-9,2).

解：⑴法一：设圆的标准方程为(x-ag+(y-鼓=n,则有

b=-4a,

<(3-a)2+(-2-b)2二亿

|a+b-l[

1啦,

解得a=l,b=-4,r=2啦.

所以圆的方程为(x-1)2+(y+4卜=8.

法二：过切点且与x+y-i=o垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆

心为Q,-4).

所以半径r=7(1-3)2+(-4+2)2=2/，

所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+令=8.

(2)设圆的一般方程为X2+/+Dx+Ey+F=0(D?+Ez-4F>0),

fl+144+D+12E+F=0,

贝Ijj49+100+7D+10E+F=0,

%l+4-9D+2E+F=0.

解得D=-2,E=-4,F=-95.

所以所求圆的方程为xz+yz-2x-4y-95=0.

12.已知以点P为圆心的圆经过点A(-l,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆

P于点C和D,且|CD|=4①.

(1)求直线CD的方程；

1313

(2)求圆P的方程.

解：(1)直线AB的斜率k=l,AB的中点坐标为(1,2).

则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.

(2)设圆心P(a,b),则由点P在CD上，

得a+b-3=041

又因为直径|CD|=4®,所以|PA|=2回,

所以(a+1)2+b2=40.②

(a=-3fa=5,

由①0)解得卜。或一。

lb=6lb=-2.

所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).

所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40

或(x-+(y+2)2=40.

[综合题组练]

1.(2020・台州市书生中学高三模拟)在aABC中，BC=6,AB-2AC,则4ABC面积的

最大值为()

A.10B.11

C.12D.14

解析：选C.以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，则C(6,

0).设A(x,y).由AB=2AC得X2+y2=4[(6-X)2+网,即(x-8)2+72=16.则A的轨迹是以

(8,0)为圆心，半径为4的圆(除去(12,0)和(4,0)),所以A到BC的距离的最大值为4.

所以AABC面积的最大值为S=：BCx4=12.故选C.

2.已知实数x,y满足X2+y2=4(y>0),则m=^J5x+y的取值范围是()

A.(-244)B.[-273,4]

C.[-4,4]D.[-4,2峋

解析：选B.由于y>0,所以X2+y2=4(y>0)为上半圆1/Ex+y-m=0是直线(如图)，

且斜率为-小,在y轴上截距为m,又当直线过点(-2,0)时，设圆心

1414

[mN-2yj3,

-I*,

。到直线出x+y-m=O的距离为d,所以tdwr,即

解得me[-2，5,4].

4x+3y-12N0,

k-x，0,(x,y,kCR且k>0);命题q:(x-3)2+yzW25(x,y

{x+3ywi2

eR).若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是

解析：如图所示：命题P表示的范围是图中4ABC的内部(含边界)，

命题q表示的范围是以点(3,0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，P是

q的充分不必要条件，实际上只需A,B,C三点都在圆内(或圆上)即可.

(、卜>0，

由题知B(k,4-罚,则｛16z..

入3J(k-3)2+K(3-k)2W25,

、y

解得0<kw6.

答案：(0,6]

4.(2020.宁波镇海中学高考模拟)已知圆C:X2+yz-2x-4y+l=0上存在两点关于直

线I:x+my+l=0对称，经过点M(m,m)作圆C的切线，切点为P,则m=；

|MP|=.

解析：因为圆C:*2+丫2-2*-4丫+1=0上存在两点关于直线1:x+my+l=0对称，

所以直线I：x+my+l=0过圆心C(l,2),

所以1+2m+1=0.解得m=-1.

圆C:xz+yz-2x