数学-浙江省四校联盟联考2023-2024学年高三上学期试题和答案+

第1页/共33页2023年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省杭州第二中学3.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知m，n为异面直线，m」平面a，n」平面β,若直线l满足l」m，l」n，l“a，l“β.则下列说法正确的是()A.a//β,l//aB.a」β,l」βC.a与β相交，且交线平行于lD.a与β相交，且交线垂直于l5.标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，A表示事件“第一次取出的数字是3”，B表示事件“第二次取出的数字是2”，C表示事件“两次取出的数字之和是6”，D表示事件“两次取出的数字之和是7”，则()(A)D.P(BC)=P(B)P(C)]，使得f(x0)=2，则Φ的取值范围是()第2页/共33页>0）的左，右焦点分别为F1，F2，点F2与抛物线C2：y2=2px（p>0）的焦点重合，点P为C1与C2的一个交点，若△PF1F2的内切圆圆心在直线x=4上，C2的准线与C1交于A，B两点，且AB=，则C1的离心率为()A.B.C.D.8.已知a>0，若点P为曲线C1：y=+ax与曲线C2：y=2a2lnx+m的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的最大值为()eA.e-2B.e2C.2D.2e9.已知P(-1,0),N(0,2)，过点P作直线l:ax-y-a=0的垂线，垂足为M，则()A.直线l过定点B.点P到直线l的最大距离为C.MN的最大值为3D.MN的最小值为210.2022年11月17日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单 位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y如表所示.已知y=40%，于是分别用p＝30%比y对应的方差分别为s、s，则下列结论正确的是附：=，=y-x）年份201820202021年份代码x12345第3页/共33页y20%p40%qA.rr211.如图，直线l1∥l2，点A是l1,l2之间的一个定点，点A到l1,l2的距离分别为1和2.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC」AB，交直线l1于点C,++=，则()B.△GAB面积的最小值是12.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为,,，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面ΔABC，定义dAB为经过A,B两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为R，北极为点N，点P，Q是地球表面上的两点，则()A.dNP+dNQ<dPQB.若点P,Q在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°,则dPQ=C.若点P,Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°,则球面△NPQ的面积πR29D.若NP=NQ=PQ=R，则球面△NPQ的面积为πR2第4页/共33页12114.已知锐角a,β满足a+2β=,tantanβ=2-，则a+β=.15.函数f(x)=ex+ax+b在区间[1,3]上存在零点，则a2+b2的最小值为.16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆C：+y2=1上，且其中恰有两个顶点为椭圆C的顶点．这样的等腰三角形有个.17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC-c=b.（1）求A；（2）线段BC上一点D满足AD=BD=1，CD=3，求AB（1）求数列{an}的通项公式；（2）能否从{an}中选出以a1为首项，以原次序组成的等比数列ak1,ak2,…,akm,…(k1=1).若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列{kn}的前n项和Tn；若不能，请说明理由.19.已知四面体ABCD，D在面ABC上的射影为O，O为ABC的外心，AC=AB=4，B（1）证明：BC⊥AD；（2）若E为AD中点，OD=2，求平面ECO与平面ACO夹角的余弦值.20.数轴上的一个质点Q从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为，向右移动的概率为，记点Q移动n次后所在的位置对应的实数为Xn.（1）求X3和X4的分布列和期望；（2）当n=10时，点Q在哪一个位置的可能性最大，并说明理由.第5页/共33页21.已知椭圆C:+=1，P(x0,y0)是椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N，直线MN与直线OP交于点Q，A,B是直线OP与椭圆C的两个交点.（1）求直线OP与直线MN的斜率之积；（2）求‘AMN面积的最大值.22.已知x1,x2是方程ex-ax=ln(ax)-x的两个实根，且x1<x2.（1）求实数a的取值范围；（2）已知f(x)=ax，g(x)=ln(1+x)-cosx+2，若存在正实数x3，使得f(x1)=g(x3)成立，证明：x1<x3.2023年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省杭州第二中学A.-2-iB.-2+iC.2+iD.2-i【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简可得z=-2-i，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.故选：B.【答案】D【解析】【分析】根据交运算结果，列出方程，求得对应参数值；再验证即可选择.第6页/共33页故选：D.13.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S3n-S2n>S2n-Sn”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前n项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.【详解】因为数列{an}是公差为d的等差数列，所以S3n-S2n=3na1+d-2na1-d=na1+d，S2n-Sn=2na1+d-na1-d=na1+d，所以S3n-S2n-(S2n-Sn)=n2d，若等差数列{an}的公差d>0，则n2d>0，所以S3n-S2n>S2n-Sn，故充分性成立；若S3n-S2n>S2n-Sn，则S3n-S2n-(S2n-Sn)=n2d>0，所以d>0，故必要性成立，所以“d>0”是“S3n-S2n>S2n-Sn”的充分必要条件，故选：C.4.已知m，n为异面直线，m」平面a，n」平面β,若直线l满足l」m，l」n，l“a，l“β.则下列说法正确的是()A.a//β,l//aB.a」β,l」βC.a与β相交，且交线平行于lD.a与β相交，且交线垂直于l【答案】C第7页/共33页【解析】【分析】由已知条件，结合线面平行、线面垂直的判定与性质和面面平行的性质等对各个选项进行分析，即可得出正确结论.【详解】假设a//β,因为m」平面a,n」平面β,则m//n，这与直线m,n为异面直线矛盾，故A错误；假设l」β,因为n」平面β,所以n//l，这与l」n矛盾，故B错误；设a(β=a，作b//m，使得b与n相交，记b与n构成平面y，如图，因为m」平面a，a仁a，则m」a，又b//m，故b」a，同理：n」a，而b与n构成平面y，所以a」y；因为l」m，又b//m，故l」b，又l」n，b与n构成平面y，所以l」y，故而l//a，即a与β的交线平行于l，故C正确，D错误；故选：C5.标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，A表示事件“第一次取出的数字是3”，B表示事件“第二次取出的数字是2”，C表示事件“两次取出的数字之和是6”，D表示事件“两次取出的数字之和是7”，则()(A)D.P(BC)=P(B)P(C)【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，分别求出对应事件的概率，再结合条件概率公式，相互独立事件的概率公式判断即可.【详解】由题意，第8页/共33页对于C事件的可能组合有：对于D事件的可能组合有：对于AD事件的组合只有(3,4)一种，对于AC事件的组合只有(3,3)一种，对于BC事件的组合只有(4,2)一种，P(AC(A)，C错；故选：Bx0第9页/共33页【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式变形函数f(x)，结合函数的单调区间和取得最值的情况，利用整体代入法可求得参数范围.【详解】由题得：π「ππ]若存在唯一的实数x0e[0,π]，使得f(x0)=2，「2π3π]2πππ3ππ又f(x)区间-,上单调递增，所以-Φ->-且Φ-<,故选：B.>0）的左，右焦点分别为F1，F2，点F2与抛物线C2：y2=2px（p>0）的焦点重合，点P为C1与C2的一个交点，若△PF1F2的内切圆圆心在直线x=4上，C2的准线与C1交于A，B两点，且AB=，则C1的离心率为()ABCD【答案】D第10页/共33页【解析】【分析】令F1(-c,0),F2(c,0)，由题设知c==9a，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与F1F2的切点的位置，进而求离心率.p2【详解】由题设F1(-c,0),F2(c,0)，又点F2与抛物线的焦点重合，即cp222如下图示，内切圆与△PF1F2各边的切点为D,E,K，所以K为双曲线右顶点，又△PF1F2的内切圆圆心在直线x=4上，即a=4，故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用切线长性质推得KF1-KF2=2a，从而利用双曲线的对称性得到a=4，进而得解.x228.已知a>0，若点P为曲线C1：x22+ax与曲线C2：y=2a2lnx+m的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的最大值为()A.B. 1D.2e【答案】B第11页/共33页【解析】【详解】设点P的横坐标为n(n>0)，则由2x22由点P为曲线C1：x22所以P(n,+an)与P(n,2a2lnn+m)为同一点，+a2，令f,(a)=0可得a=e，所以f(a)在(0,e4)上单调递增，在(e4,+伪)上单调递减，所以f(a)max=f(e4)=e2，故实数m的最大值为故选：B 19.已知P(一1,0),N(0,2)，过点PA.直线l过定点B.点P到直线l的最大距离为C.MN的最大值为3D.MN的最小值为2【答案】AC第12页/共33页【解析】【分析】由点斜式确定定点，由点M在以原点为圆心，直径为PB=2的圆上，结合圆的性质判断即可.因为直线l的斜率存在，所以点M与点B不重合，因为PM」l，所以点M在以原点为圆心，直径为PB=2的圆上（去掉点B点P到直线l的距离为PM，由图可知，0<PM<2，故B错误；由图可知，NA<MN<NC，即1<MN<3，故C正确，D错误；故选：AC10.2022年11月17日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单 位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y如表所示.已知y=40%，于是分别用p＝30%年份201820202021年份代码x12345y20%p40%qA.r【答案】ABCB.s1>s2C.2第13页/共33页【解析】【分析】根据已知条件，结合方差、相关系数的定义，以及最小二乘法公式即可求解.方差反映数据的稳定性，显然p=40%时更稳定，故此时方差更小，即s>s，故B正确；2，故D错误.故选：ABC11.如图，直线l1∥l2，点A是l1,l2之间的一个定点，点A到l1,l2的距离分别为1和2.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC」AB，交直线l1于点C,++=，则()B.△GAB面积的最小值是C.AGC.D.GA.【答案】BC【解析】【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出C(m,3)，B(n,0)，G(x,y)，根据AC」AB及为F，连接CF，根据++=，可得G,C,F三点共线，且G为CF靠近F的三等分点，即可找第14页/共33页到△GAB面积与ΔABC面积之间比例关系，进而建立△GAB面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出AG，再根据基本不等式可判断C；写出GA.GB进行化简，根据m的范围即可得到GA况.【详解】设AB中点为F，连接CF，以D为原点，DB,DE方向分别为x,y轴建立如图所示的直角坐标系，(n,2)，(mx,3y)，,|5l3|y=l3，A错误；第15页/共33页22AG所以.m222AG所以.m2+42m2所以G,C,F三点共线，且G为CF靠近F的三等分点，所以SΔGAB=3SΔABC=6AC3m23m23)((2)2（)4422+m4242(2)(4) （)（)(2)(4) m2m m25m2，第16页/共33页可知f(x)单调递增，没有最值，即.没有最值，故D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.12.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为,,，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面ΔABC，定义dAB为经过A,B两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为R，北极为点N，点P，Q是地球表面上的两点，则()A.dNP+dNQ<dPQB.若点P,Q在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°,则dPQ=C.若点P,Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°,则球面△NPQ的面积D.若NP=NQ=PQ=R，则球面△NPQ的面积为πR2【答案】BD【解析】【分析】当NP=NQ=PQ=R时，求得可判定B正确；由球心角经POQ=，结合球的表面积求得△NPQ的面积，可判定C错误；由NP=NQ=PQ=R时，构造正四面体N一PQS，求得PN=R，结合对称性，求得球面△NPQ的面积，可判定D正确.第17页/共33页此时dNP=dNQ=dPQ，可得dNP+dNQ>dPQ，所以A不正确；对于B中，当点P,Q在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°,对于C中，当点P,Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°,可得球心角经POQ=40。=，又由球的表面积为S=4πR2，2π所以△NPQ的面积为S=xxS=，所以C错误；对于D中，如图所示，当NP=NQ=PQ=R时，可得△NPQ为等边三角形，构造一个球内接正四面体N一PQS，其中心为O，连接NO交ΔSPQ于点H，则NO=R，OH为正四面体N一PQS内切球得到半径，设正四面体N一PQS的表面积为S，可得VN一PQS=S.OH，即xx(R)2xNH=x4xx(R)2.OH，可得OH=NH，即O为高NH的靠近H的四等分点，根据对称性，可得球面△NPQ的面积为πR2，所以D正确.故选：BD.第18页/共33页121(1)(1)【解析】【分析】求解对数不等式和根式不等式，即可求得参数的范围.a2a2a(1)(1)(1)(1)14.已知锐角a,β满足a+2β=,tantanβ=2-，则a+β=.【答案】【解析】【分析】根据正切的和角公式，结合已知条件，求得tantanβ;根据根与系数的关系，求得tan,tanβ,结合角度范围，求得a,β即可.解得tan+tanβ=3-，又tantanβ=2-，故tan,tanβ为一元二次方程x2+(-3)x+2-=0的两个实数根，则a=，不满足a为锐角，舍去；若tan=1，又a为锐角，则a=，不满足a为锐角，舍去； 3若tan=2-，则tanβ=1， 3第19页/共33页又C，β为锐角，故可得C=,β=，则C+β=5 515.函数f(x)=ex+ax+b在区间[1,3]上存在零点，则a2+b2的最小值为.e22【答案】2##2e【解析】根据a2+b2的几何意义，可得a2+b22te2有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.【详解】设t为f(x)在[1,3]上的零点，可又a22表示点(a,b)到原点距离的平方，aa22tte t2+12tet2+1有解，即a2tet2+1有解，2tet2+12tet2+1=22，t2=22，t2]上为单调递增函数，2e22e22e2x2416.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆Cx24=1上，且其中恰有两个顶点为椭圆C的第20页/共33页顶点．这样的等腰三角形有个.【答案】20【解析】【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案.【详解】不妨设A1(-2,0),B2(0如图1，连接A1B2，当A1B2为等腰三角形的底时，作A1B2的垂直平分线交椭圆于P,Q两点，B2为等腰三角形，满足题意，同理当A2B2,A2B1,A2B1为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；如图2，当A1B2为等腰三角形的腰时，以B2为圆心，A1B2为半径作圆，3222，解得23222，解得3即圆与椭圆相交于点A1,A2,N,M，连接MA1,NA1,MB2,NB2，B2满足要求，△A2A1B2三个顶点均为椭圆顶点，第21页/共33页同理当A2B2,A2B1,A2B1为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；如图③,以B2为圆心，B1B2为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点B1,S,T，B2为等腰三角形，满足题意，共有2个，如图4，以B1为圆心，B1B2为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点B2,U,V，B2,B2为等腰三角形，满足题意，共有2个，由椭圆性质可知，A1A2为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求，综上：满足要求的等腰三角形个数为8+8+2+2=20.故答案为：20.【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去.17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC-c=b.（1）求A；（2）线段BC上一点D满足AD=BD=1，CD=3，求AB的长度.第22页/共33页【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）根据角之间的关系及正弦定理求出2sinθ=cosθ,由同角三角函数间的基本关系求出cosθ即可得解.【小问1详解】由acosCc=b结合正弦定理可得sinAcosCsinC=sinB，因为A+B+C=π,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，所以sinAcosC一sinC=sinAcosC+cosAsinC，即sinC=cosAsinC，；【小问2详解】如图， 即sin(θ)sin(θ)，所以sin(θ)=3sin(θ)，故cosθ+sinθ=cosθsinθ,第23页/共33页所以2sinθ=cosθ,又sin2θ+cos2θ=1，θe(0,)，解得sinθ=,cosθ=.在等腰ΔABD中，取AB中点E，连接DE，则DE」AB，则AB=2BE=2BDcosθ=.（1）求数列{an}的通项公式；（2）能否从{an}中选出以a1为首项，以原次序组成的等比数列ak1,ak2,…,akm,…(k1=1).若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列{kn}的前n项和Tn；若不能，请说明理由.【解析】【分析】（1）对题干的递推关系先平方，然后多写一项作差，结合正项数列的性质，可证明其是等差数列；（2）注意到{an}的每一项是偶数，偶数数列是等比数列的很容易想到2,4,8,16,…，然后证明其公比最小，最后在分组求和.【小问1详解】nnnnn2nnnnn=_2（舍去）.nn_8，ⅆⅆ①得4Sn_1=a_1+2an_1_8(n之2)，ⅆⅆ②①_②得：4an=a_a_1+2an_2an_1，第24页/共33页即数列{an}是以4为首项，2为公差的等差数列，【小问2详解】存在.此时的公比q=2，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列{an}中；下面证明此时的公比最小：ak12=9为奇数，不可能在数列{an}中.2 19.已知四面体ABCD，D在面ABC上的射影为O，O为ABC的外心，AC=AB=4，B（1）证明：BC⊥AD；（2）若E为AD中点，OD=2，求平面ECO与平面ACO夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，连接AO并延长AO交BC于M，连接OB,OC，由线面垂直的判定定理可得BC」面AMD，即可证明BC⊥AD；第25页/共33页（2）解法一：取AO中点H，连接EH，作HN垂直CO交于点N，连接EN，由题意可得ENH即为平面ECO与平面ACO夹角的平面角.解法二：建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算，结合二面角的公式即可得到结果.【小问1详解】连接AO并延长AO交BC于M，连接OB,OC，因为O恰好为△ABC的外心，所以OBOC，所以CAOBAO，即AM是BAC的角平分线，又ACAB，所以由等腰三角形三线合一可得AMBC，因为D在面ABC上的投影为O，所以OD面ABC，又BC面ABC，所以ODBC，又AMnODO,AM,OD面AMD，所以BC面AMD，又AD面AMD，所以BCAD.【小问2详解】解法一：在‘ABC中，由（1）与等腰三角形三线合一可知M是BC的中点，由（1）知AMBC，OD面ABC，取AO中点H，连接EH，因为OD2，EH1,EH面ABC,作HN垂直CO交于点N，连接EN，ENH即为平面ECO与平面ACO夹角的平面角.第26页/共33页即平面ECO与平面ACO夹角的余弦值为55解法二：由（1）知AM」BC，OD」面ABC，过M作z轴平行于OD，则z轴垂直于面ABC，如图建立空间直角坐标系，在ΔABC中，由（1）与等腰三角形三线合一可知M是BC的中点，又AC=AB=4，2222OM=AM-AO=，(4)(7)|74(74)|74(74)(0,0,1)是平面COB的一个法向量，设平面ECO与平面ACO夹角的平面角为θ,cosθ=cosm,nmn4 =,所以平面ECO与平面ACO夹角的余弦值为5520.数轴上的一个质点Q从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为，向右移动的概率为，记点Q移动n次后所在的位置对应的实数为Xn.第27页/共33页（1）求X3和X4的分布列和期望；（2）当n=10时，点Q在哪一个位置的可能性最大，并说明理由.【答案】（1）分布列见解析，E(X3)=1，E(X4)=（2）对应实数为4，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意分别计算对应的概率列出分布列，求期望；（2）设点Q向右移动m次，向左移动10一m次的概率为Pm，作商与1比较可得出m=7时Pm最大即可得解.【小问1详解】P(X3=1)x33113P1272949 272x442024P 27【小问2详解】第28页/共33页m设点Q向右移动m次，向左移动10一m次的概率为Pmmm PPm1C1()11m()m1C1mm，Pm随m的值的增加而增加，，Pm随m的值的增加而减小，此时点Q所在的位置对应的实数应为4.21.已知椭圆C:+=1，P(x0,y0)是椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N，直线MN与直线OP交于点Q，A,B是直线OP与椭圆C的两个交点.（1）求直线OP与直线MN的斜率之积；（2）求‘AMN面积的最大值.【解析】【分析】（1）设P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，根据导数的几何意义可求得椭圆的切线方程，从而可得=0三种情况分别求解，根据弦长公式和点线距离可求得‘AMN面积，再利用导数判断单调性，从而求得最大值.【小问1详解】设P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，第29页/共33页+16yx20+16yx202 x所以当y1子0时，直线PM的斜率为- x4y1则直线PM的方程为y-y1=-(x-x1)，即+=1.当y1所以lMN:+=1，则kMN=-，又因为kOP=，所以kMN.kOP=-.=-.【小问2详解】(x04①当x0,y0(x04得(x+4y)x2-32x0x+256-64y=0，4222