9.4 乘法公式-苏科版数学七年级下册同步课件

9.4乘法公式第9章整式乘法与因式分解完全平方公式平方差公式知识点完全平方公式11.完全平方公式用字母表示为(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.文字描述：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和(或差).这两个公式即为(乘法的)完全平方公式.特别解读：1.弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍.2.理解字母a、b

的意义：公式中的字母a、b

可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.3.口诀记忆：首平方，尾平方，积的2倍在中央，和是加来差是减，完全平方要记全.2.推导方法(1)多项式乘法法则解释(a+b)2

＝(a+b)(a+b)＝a2+ab+ab+b2

＝a2+2ab+b2，(a-b)2

＝(a-b)(a-b)＝a2-ab-ab+b2

＝a2-2ab+b2.(2)几何解释如果把图9.4-1看成一个大正方形，那么它的面积为(a+b)2.如果把图9.4-1看成是由2个小长方形和2个小正方形组成的，那么它的面积为a2+2ab+b2.3.拓展——完全平方公式的几种常见变形公式(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab；(3)(a-b)

2=(a+b)2-4ab；(4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；

例1计算：(1)(a－b)2；解：(a－b)2

=[a＋(－b)]2=a2+2·a

·(－b)＋(－b)]2=a2

－2ab＋b2.(1)(5+3p)2；解：(5+3p)2=52+2·5·3p+(3p)2=25+30p+9p2；加法交换律例2(2)(2x-7y)2；解：(2x-7y)2=(2x)2-2·2x·7y+（7y2）=4x2-28xy+49y2；(3)(-2x-5)2解：(-2x-5)2=(-2a)2+2·(-2a)·(-5)+(-5)2=4a2+20a+25.解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.方法点拨：1.利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤：(1)确定公式中的a、b；(2)确定和差关系；(3)选择公式；(4)计算结果.2.两个易错点：(1)套用公式时千万不能漏掉“2ab”项；(2)两个平方项的底数要带上括号.例3计算：(1)9992；解：9992=(1000-1)2=10002-2×1000×1+12=1000000-2000+1=998001；

解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.方法点拨：利用完全平方公式进行数值运算时，主要是将底数拆成两个数的和或差的形式，拆分时主要有两种情况：一是接近整十、整百或整千的数.将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差；二是带分数.将带分数拆分成整数部分与真分数的和或差.知识点平方差公式21.平方差公式用字母表示为(a+b)(a-b)=a2-b2.文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式即为(乘法的)平方差公式.2.推导方法(1)多项式乘法法则解释(a+b)(a-b)＝a2-ab+ab-b2＝a2-b2.(2)几何解释图①阴影部分的面积是a2-b2.图②这个长方形的长是a+b、宽是a-b，面积为(a+b)(a-b).特别解读：公式的特征：1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.理解字母a、b

的意义：平方差公式中的a、b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式.3.平方差公式的几种常见变化及应用变化形式应用举例位置变化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2符号变化(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2系数变化(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2指数变化(

a3+b2)(a3-b2)=(

a3)2-(b2)2=a6-b4增项变化(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2连用公式(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4例3计算：(1)(5x+y)(5x-y)；解：(5x+y)(5x-y)=(5x)2-(y)2=25x2-y2；(2)(m+2n)(2n-m)；(m+2n)(2n-m)=(2n)2-m2=4n2-m2；(3)(3y-x)(-x-3y)；(3y-x)(-x-3y)=(x)2-(3y)2=x2-9y2；解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2

进行计算.解法提醒：运用平方差公式计算的3个关键步骤：第1步：利用加法的交换律调整两个二项式中项的位置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如(1)(2)不需调整，(3)(4)就必须调整.第2步：找准公式中的a、b分别代表哪个单项式或多项式.第3步：套用公式计算，注意将底数带上括号.如(1)中(5m)2不能写成5m2.例4计算：(1)(x-3)(x+3)(x²+9)；(2)(2x+3)2(2x-3)2.解：(1)(x-3)(x+3)(x²+9)

=(x²-9)(x²+9)=x²-81;解：(2)(2x+3)2(2x-3)2

=[(2x+3)2(2x-3)2]²

=(4x²-9)2

=16x²-72x²+81.例5计算：(1)(2a+b)(b-2a)-(a-3b)²；解：(1)(2a+b)(b-2a)-(a-3b)²；

=(b+2a)(b-2a)-(a-3b)²；=b²-4a²-(a²-6ab+9b²)=b²-4a²-(a²+6ab-9b²)=-5a²+6ab-8b²).解题秘方：找出平方差公式的模型