卷8-2022年中考数学全真模拟卷（福建）·第三辑（试卷解析）

备战2022年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（福建专用）

第八模拟

（本卷共25小题，满分150分，考试用时120分钟）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的.

1.（2022•福建泉州•一模）下列二次根式中，最简二次根式是（）

【答案】B

【分析】

根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根

号，判定即可.

【解析】

解：A、2,所以"5被开方数中含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意：

V2

B、2是最简二次根式，故B符合题意；

J_=变J_

C、应2,所以夜分母中含有根号，不是最简二次根式，故C不符合题意；

阮邛=正L

D、,55,所以J0.2被开方数中含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

2.（2022・江苏•宜兴市丁蜀实验中学一模）若与5a是同类项，则W的值是（）

A.2B.0C.4D.1

【答案】C

【分析】

根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，即可得到加，〃的值.

【解析】

解：...-2〃*4与5“2/+”是同类项

=2

.[2+〃=4

[m=2

,[n=2

:.mn=22=4

故选C.

【点睛】

本题主要考查了同类项的定义，关键是把握两点：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者

缺一不可.

□x

---------------2

3.（2022•河北石家庄•一模）若x+NN-厂，运算的结果为整式，贝广口”中的式子可能是（）

A.y-xB.y-\-xC.2xD.x

【答案】C

【分析】

先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出口中的式子可能是，即可得出答案.

【解析】

□.x

解：x+MV-J

口（x+y）（yx）

—x+yx

□•（y-x）

=x,

•••运算结果为整式，

二口中的式子是含量有X因式的式子，

口中的式子可能是2x,

故选：C.

【点睛】

本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键.

4.（2021•福建省厦门第六中学三模）某校准备为八年级学生开设4,B,C,D,E,尸共6门选修课，随

机抽取了部分学生对“我最喜欢的一门选修课''进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图表（不完

整）.下列说法正确的是（）

选修课ABCDEF

人数404880

A.这次被调查的学生人数为480人

B.喜欢选修课C对应扇形的圆心角为60。

C.喜欢选修课，的人数最少

D.这次被调查的学生喜欢选修课F的人数为80人

【答案】C

【分析】

根据表格中的数据和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题.

【解析】

解：由统计图可得，

这次被调查的学生有：80^-20%=400（人），故选项A错误；

48

3600'——=432°

喜欢选修课C对应扇形的圆心角为：400,故选项8错误；

喜欢选修课8的人数是：400-15%=60（人），

喜欢选修课。的人数是：400-25%=100（人），

喜欢选修课下的人数是：400-40-60-48-100-80=72（人），故选项。错误；

二喜欢选修课A的人数最少，故选项C正确；

故选：c.

【点睛】

本题考查扇形统计图、统计表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

5.（2022•福建泉州•一模）在如图所示的网格图中，若与是以点。为位似中心的同侧位似图

形，且其位似比为2：1,则点。的对应点0,的位置应是（）

A.点4B.点BC.点CD.点。

【答案】C

【分析】

根据位似比的概念确定点Q的对应点Q'的位置.

【解析】

解：•••△尸'2'R’与""是以点O为位似中心的同侧位似图形，位似比为2:1,

/.OQ=2OQ,

•••点Q的对应点0,的位置应是点c,

故选：c.

【点睛】

本题考查的是位似变换的性质，掌握位似比的概念是解题的关键.

6.（2021•福建•重庆实验外国语学校模拟预测）如图，在AJ8C中，BD,CE分别是/C,边上的中

S\BOC

线，且2。与CE相交于点°,则S^c的值为（）

j_2

A.3B.4C.6D.5

【答案】A

【分析】

根据三角形的重心性质得到BO=2OD,根据三角形的面积公式得到也"=2Sgoc,S皿=S皿，据此解

题.

【解析】

解：.••点。是"C,Z8边上的中线8。，CE的交点，

/.BO=2OD,AD=DCf

,*•S2oc=2sAp0c,S^DC=S1MM,

SAABC3,

故选：A.

【点睛】

本题考查三角形重心的概念与性质、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

7.（2019・福建・厦门一中一模）已知两个不同的一元二次方程的判别式互为相反数，下列判断正确的是

（）

A.两个方程一定都有解B.两个方程一定没有解

C.两个方程一定有公共解D.两个方程至少一个方程有解.

【答案】D

【分析】

根据一元二次方程根的判别式的符号分类讨论，找出在每一种情况下都正确的结论即可.

【解析】

如果一个一元二次方程的判别式是正数，则另一个为负数故只有一个方程有解，故A、B、C错误.

如果一个一元二次方程的判别式为0.则另一个也为0此时两个方程都有解

故选D.

【点睛】

此题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解决此题的关

键.

8.（2021•福建漳州•一模）若直线夕=依+%+2与x轴的交点位于x轴正半轴上，则它与直线P=2x-1交点

的横坐标。的取值范围为（）

33131

Cl<—0n<。<一一VqV—Cl>一

A.2B.2C.42D.4

【答案】C

【分析】

-<-l

由直线N=丘+%+2与x轴的交点可得Z:.分两种情况讨论，即可得-2<%<0.联立两条直线解析式

_3+k

即可得交点横坐标”-三］，由上的范围即可确定出”的范围.

【解析】

解：•••直线尸质+"2与x轴的交点位于x轴正半轴上,

w0.

x=~k'2>0

令丫=kx+k+2=0,解得：k,

22

-1-—>0—<—1

即“，得左.

①当">0时.，解得人<-2,与题设矛盾；

②当先<0时，解得%>-2,所以-2<上<0.

当直线V="+A+2与直线=相交时，

=21^

b+〃+2=2x-1,解得：

3+k

(1---------

即2-k,

3+Zr-5-(2-k)_5

(1------------------------------------1

又2-k2-k2-k,

Q-2<0,

\0<-k<29

\2<2-k<4f

・•・42-k2,

2<工<2

42-k2,

1<^,1<2

Z.42-k2.

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了一次函数的图象性质与不等式的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键.

9.（2022•福建三明•一模）如图，菱形中，4BAD=60°,AB=6,点E,尸分别在边AD1.,将

△/E尸沿后/翻折得到△GEF,若点G恰好为CO边的中点，则/E的长为（）

3

A.4

21

B.4

D.36

【答案】B

【分析】

过点D作DHL4B,垂足为点“，连接8。和8G,利用菱形及等边三角形的性质，求出°"=8G,

BG,在灯/△力中，求出的长，进而求出8G的长，设/E=GE=x,在RtABEG中,利用

勾股定理，列方程，求出x的值即可.

【解析】

解：过点。作垂足为点“，连接8。和8G,如下图所示：

•••四边形力88是菱形，

:.AD=AB=CD=BC=Q,N/I=NC=60°,CD//ABt

与相。是等边三角形，

DH1AB且点G恰好为CD边的中点，

:.DH平分4B,BGLCD,

•：CD//AB,DHLAB,BG1CD,

:.DH=BG,BGJ-AB,

AH=-AB=3

在以3。"中，2,

由勾股定理可知：DH=AAU-AH?=3A/5,

BG=DH=3\[3,

由折叠可知：^AEF^\GEF,故有"E=GE,

设AE=GE=xf则BE=AB-AE=6-x,

22

在/?必8巧G中，由勾股定理可知：BE+BG=GE-1

即(6一"+(3扃"解得户与

故选：B.

【点睛】

本题主要是考查了菱形、等边三角形的性质以及勾股定理列方程求边长，熟练综合利用菱形以及等边三角

形的性质，求出对应的边或角，在直角三角形中，找到边之间的关系，设边长，利用勾股定理列方程，这

是解决本题的关键.

10.(2020•福建省泉州第一中学模拟预测)对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当-IWxWl

时，-IWyS,则称这个函数为“闭函数”.例如：y=x,y=-x均是“闭函数”.已知夕=江+及+。("°)是"闭

函数''且抛物线经过点A(l,-1)和点B(-l,1),则。的取值范围是()

--<«<---<47<00<fl<-

A.22B.2或2

C.-1<a<1□-l<a<0ug0<a<l

【答案】B

【分析】

先将点“(L-D，例T，D代入函数解析式求出a、b、c的关系，再求出抛物线的对称轴，然后分和。<。

两种情况，分别根据二次函数的增减性求解即可得.

【解析】

ja+b+c=-1

由题意，将点"(1，-1)，8(一11)代入函数解析式得：〔“-6+0=1

\b=-\

解得I。一。,

则夕="2_》_"("0),

X---I=—1

抛物线的对称轴为2a2a,

—>0

(1)当。>0时，抛物线开口向上，2a,

_—10<a<—

①若2。，即2,

在TWxWl范围内，y随x的增大而减小，

则当x=T时，y取最大值，最大值为1；当x=l时，y取最小值，最小值为T,

即此时在T4x41范围内，满足“闭函数”的定义,

11

0<—<1a>-

②若2a,即2,

—1<x<——――x1

在一2。内，y随X的增大而减小；在2〃一■内，y随x的增大而增大,

11

x——y--------ci1

则2a时的函数值4“小于》=1时的函数值歹=T,

-----。«1

即此时在T4X41范围内，4a',不满足“闭函数”的定义，

—<0

(2)当。<。时，抛物线开口向下，2a,

—<-1―-<a<0

①若2。，即2,

在-14X41范围内，y随x的增大而减小，

贝IJ当x=T时，y取最大值，最大值为1;当x=l时，y取最小值，最小值为T,

即此时在-14x41范围内，-iwywi,满足“闭函数”的定义,

,1c1

-1<—<0a<—

②若2a,即2,

—1<X<-^―-^―<X1

在一一2a内，y随X的增大而增大；在2a一内，y随x的增大而减小,

11

x——y=--------a.

则2a时的函数值"4a大于x=-l时的函数值V=1,

一］<y4-----u

即此时在T4X41范围内，,4a,不满足“闭函数”的定义，

--4a<00<a<—

综上，a的取值范围是2或2,

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，依据题意，正确分两种情况，并结合函数的增减性进行讨论

是解题关键.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.（2021・福建•一模）把16d-1分解因式得

［答案］（4》+I）（2X+1）（2X-1）

【分析】

利用平方差公式分解因式.

【解析】

原式_（4厂+—l）=（4x?+1）（2x+］）（2x-1）

解:

故填：（4厂+D（2X+1）（2XT）.

【点睛】

此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

2a+1

12.（2020•福建福州•二模）若分式不丁的值是正整数，则整数。的值是

【答案】0--2

【分析】

la+1

根据题意，分式。+1的值是正整数，可知，分式的分母为1或-1,据此解得。的值，最后验根即可.

【解析】

2〃+12a+12a+2-11

解：•.•分式。+1的值是正整数，。+1-。+1-。+1,

1

1为小于2的整数，

Q+1=1Q+1=-1

..Q=0或。=-2

经检验，当。=°或。=-2,分母”+1x0,

.二。=0或Q=—2

故答案为：。=0或"-2.

【点睛】

本题考查分式的值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

13.（2022•福建龙岩,九年级期末）如图，在扇形408中，乙4。8=90。，半径04=4.将扇形/O8沿过点8

的直线折叠，点。恰好落在弧上点C处，折痕交。工于点。，则图中阴影部分的面积为.

4乃------

【答案】3

【解析】

【分析】

根据题意和图形，可以得到△OBC是等边三角形，从而可以得到408。的度数，然后即可得到0。的长，

从而可以得到△B。。的面积，根据折叠的性质，△BO。的面积和△BC。的面积一样，然后即可得到阴影部

分的面积就是扇形04B的面积减去△08。和△8。的面积.

■OB=BC=CO,

・••△08C是等边三角形，

■■■^OBD=30°,

■■ABOD=90°,08=04=4,

.V3_473

4x—―-----

.•.0£>=08・tan30°=33

ODOB亍*48G

.♦.△80。的面积是：223,

巡

.•.△8C。的面积是3,

90^-x428686,16G

----------------------------=4乃-------

・•・阴影部分的面积是：360333

4〜座

故答案为:3

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算、折叠的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

14.（2020・福建厦门•模拟预测）图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图，其中℃为桌面

（台灯底座的厚度忽略不计），台灯支架与灯管的长度都为30cm,且夹角为150。（即N"40=150。

）,若保持该夹角不变，当支架绕点。顺时针旋转3。°时，支架与灯管落在位置（如图2所示）,

则灯管末梢B的高度会降低cm.

图1

【答案】15

【分析】

如图1中，作5DL0C于点作AELBD于点E,利用矩形的性质和解直角三角形的知识求出BD的长,

如图2中，作8/FJ_OC于点F,作出/HOC于点H,作出G_L8/F于点G,利用解直角三角形的知识求出

BF的长度，然后用BD-B/F即得答案.

【解析】

解：如图1中，作BDA.OC于点D,作AES.BD于点E,

则四边形AODE是矩形，.•.DE=/O=30cm,

♦.2BNO=150°,.-.^BAE=60°,

3=15百

8E=Z8sin60°=30x

则在RtA4BE中,2cm；

BD=BE+DE(30+15石)

cm；

图1

如图2中，作田ELOC于点R作为H1OC于点〃，作4/G16/F于点G,

则四边形小是矩形，.・.4H=GE

vzJOJz=30°,O//=30cm,：/AQH=60。,

A}H=OA.sin600=30x由=156

2cm,

•.28/40150°,...jG=150°-90°-30°=30°,

SIG=-4SI=15

则在RtA4/8,G中，2cm,

87=&G+FG=(15+15ji)

,,>

(30+15省)一(15+156)=15

：・BD—BiF=\>\>cm.

即灯管末梢8的高度降低了15cm.

故答案为15.

B

图2

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题

的关键.

15.（2021•福建省福州第十六中学三模）如图，在平行四边形Z8C。中，ABLBD,sinz^5,将平行四边

形放置在平面直角坐标系中，且力。1%轴，点。的横坐标为1,点C的纵坐标为2,恰有一条双曲

k

——

线yx（后>o,x>0）同时经过8,。两点，则点8的纵坐标是.

【答案】4##0.75

【分析】

BD_3

连接。8,作于H,DELBC于E,如图，先利用三角函数的定义得到sin乙45,设BD=

12

---

3t,则40=53AB=4tfBH53再利用平行四边形的性质得到力冽|8C,AD=BC=5t,CD=AB=4t,

161216

=—~l—---

接着计算出CE5，,，然后表示出8（15t,205/）,k=25t,再利用反比例函数图象上点的坐标特

1612

---T--

征得到25/=(15Z)(2Q5/),解方程求出，即可求得点8的纵坐标.

【解析】

解：连接。8,作于“，DELBC于E,如图所示:

•■ABVBD,

:.〃BD=90°,

=BD

在RtA4B。中，sinZJ5,

设8。=33则AD=5f,

.-.AB=y/AD2-BD2=4/,

_BH_3

在Rt"8H中，sin44B5,

=—3=-1-2

：.BH5.4/5t,

•••四边形ABCD为平行四边形，

：.AD^BC,AD=BC=5t,CD=AB=4t,

而/DLr轴，

■•BClx轴，

=yjDC2-DE2=J(4t)2-(—t)2=—

在Rt^CQE中，CEV55t,

•・•点。的横坐标为1,点C的纵坐标为2,

1216

+------

：.D(1,k),B(1532O5Z),k=25t,

・・•双曲线y1(左>0,x>0)同时经过8,。两点，

121612

H-----H--

•:kk=(15t)(2D5/),即25/=(15力(2D5Z),

整理得4“3=。解得力=0(舍去)，，2="，

13

x———

.•.2g=2LJ544.

3

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质；会运用三

角函数解三角形；理解坐标与图形性质.

16.(2022•福建泉州•一模)如图，在矩形/8CD中，BC<<28C,点后是边以>上的一个动点(后不

与C、。重合)，连接8E,过点E作£尸，8E,交边/。于点尸，给出以下结论：

①若CE=DE,贝|JBE平分“8C；

②若BE=EF,则CD=BC+FD；

③在点E运动的过程中，动点尸可能与点/重合；

④在点E从C运动到。的过程中，3?4仍厂逐渐增大；其中正确的是.(写出正确结论的序

号)

A

B

【答案】①②

【分析】

如图，延长正、BC交于G,利用ZS4证明尸岂A£CG,得EF=EG,从而证明8E是FG的垂直平分

线，可知8尸=8G,再利用等腰三角形的性质可得结论，从而可知①正确；证明"CEwATOd/S),得

BC=DE,CE=DF,可知②正确；当点尸与A重合时，设=AD=BC=a,DE=x,则

EC=b-x,由勾股定理得，^=«2+x2+a2+(/>-x)\利用根的判别式可知x不存在，从而③错误；由

EFDE厂EFDE

----=-----tan4EBF=----=-----

2CEs堂DF,得BEBC,贝|JBEBC,可知④错误.

【解析】

解：①如图，延长此、BC交于G,

•••四边形"88是矩形，

AD//BC,

ZADC=4ECG,

在AE/用和AECG中，

ZDC=/ECG

<DE=CE

/DEF=NCEG

\EDF=\ECG{ASA}

f

・•.EF=EG

•・•BE工FG,

••.8E垂直平分/G,

・•.BF=BG,

,：EF=EG,

.•.BE平分/FBC,故①正确;

②・・・BE1EF,

Z5£F=90°,

/.NDEF+NBEC=90。,

・・•ZDEF+ZDFE=90°f

/BEC=NDFE,

•:BE=EF,ZADC=NBCE,

ABCE=AEDF(4AS)

BC=DE，CE=DF，

;.CD=BC+DF,故②正确；

③当点尸与A重合时，设“8=6,AD=BC=a,DE=xt则EC=b-x,

由勾股定理得，b2=a2+x2+a2+(b-x)\

整理得，x2-bx+a2=0,

.­.△=Z>2-4a2,

•・,b<2af

・♦•方程无解，

说明X不存在，即点尸与A不重合，故③错误；

④由②知，2CEs\EDF,

EF_DE

-5C,

FFDF

tan4EBF=—=——

BEBC,

•・•BC不变，

.・•点E从C运动到。的过程中，tanNE8厂逐渐减小，故④错误，

综上：正确的有①②，

故答案为：①②.

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一

元二次方程根的判别式，三角函数等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键.

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(3-乃)°-疝+(1)<+4sin60,-(-1)

17.(2022・河南•模拟预测)(1)计算：3

4x-1>x-7

’13।

—x<-m—1

(2)己知加是小于0的常数，解关于x的不等式组：42

【答案】(1)11;(2)x>4—6机

【分析】

（1）分别计算零指数累、二次根式化简、负整数指数累、特殊角三角函数，再进行加减运算即可求解；

（2）分别解两个一元一次不等式，结合机是小于0的常数，求交集即可.

【解析】

=l-26+9+4x@+l

解：（1）原式2

=1-2石+9+2百+1

=11.

4x-l>x-7①

413

——x

（2）解不等式组I42

由不等式①，得x>-2,

解不等式②，得X>4-6〃J

...加<0,

4—6m>0>—2,

二不等式组的解集为X>4-6〃,.

【点睛】

本题考查零指数幕、二次根式化简、负整数指数幕、特殊角三角函数以及解一元一次不等式组等知识，熟

练掌握相关概念或性质并正确进行运算是解题关健.

18.（2021・四川内江•一模）如图，已知后、尸是口工88对角线/C上的两点，且8EL/C,DF1AC,

连接DE、BF.求证：DE=BF.

【答案】见解析

【分析】

通过证明BE和。尸平行且相等得出四边形尸是平行四边形，得出结论.

【解析】

证明：:台七，4。，DF1AC,

BE//DF，/BEA=ZDFC=90°•

•・•四边形/BCD是平行四边形，

:,AB=CD,AB11CD

・•・/BAE=/DCF.

在\ABE和bCDF中，

ZBEA=ZDFC

</BAE=NDCF

AB=CD

i,

...MBE=\CDF(AAS)

：.BE=DF.

又•「BE//D尸,

二.四边形BE。尸是平行四边形.

DE=BF.

【点睛】

本题考查平行四边形额判定和性质，两个图形注意从这两个图形的公共部分入手.

/a-1a2-41

19.(2022•广东・广州大学附属中学一模)(1)若a+2a2-2a+\a-\,化简小

(2)若a满足"2-。=0,求/值.

【答案】(1)"2；(2)-2

【分析】

(1)先对分式分母因式分解，再约分即可化简得到结果为。-2；

(2)根据条件解关于。的一元二次方程，再根据(1)中分式化简过程中分母不为零确定。=°,代入化简

结果求值即可.

【解析】

,a-\a2-41

A------,-：---------：------

.(])a+22Q+1CI-\

=伫U4+2)(a二2)

a+2("I)

=4一2♦.

(2)满足

.•.“"1)=0,即°=0或“=],

根据(1)的化简过程可知。工1,则得〃=°,

;./="2=0_2=_2.

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，解对分式分子分母因式分解、掌握分式有意义的条件是解决

问题的关键.

20.(2022・河南・柘城县实验中学一模)抗疫期间，某公司决定购买两种不同品牌的消毒湿巾供员工使用，

经调查购买3包/品牌消毒湿巾比购买2包2品牌消毒湿巾多花15元，购买4包N品牌消毒湿巾与购买

6包5品牌消毒湿巾所需款数相同.

(1)求48两种品牌消毒湿巾的单价；

(2)公司现计划购买两种品牌的消毒湿巾共100包，要求N品牌消毒湿巾的数量不少于8品牌消毒湿巾数量

的9倍，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案并计算此时的花费.

【答案】(1/品牌消毒湿巾的单价为9元，8品牌消毒湿巾的单价为6元

(2)当公司购买90包4品牌消毒湿巾，10包8品牌消毒湿巾时最省钱，花费为870元

【分析】

(1)设/品牌消毒湿巾的单价为x元，8品牌消毒湿巾的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组解方

程组求解即可；

(2)设购买〃,包/品牌消毒湿巾，则购买(10°-〃?)包8品牌消毒湿巾，列出不等式，求得"，的范围，进

而设购买消毒湿巾需要的费用为w元，根据一次函数的性质求得卬的最小值.

(1)

解：设/品牌消毒湿巾的单价为x元，8品牌消毒湿巾的单价为y元，

依题意，

J3x-2j/=15

得[4x=6y,

Jx=9

解得卜=6,

答：/品牌消毒湿巾的单价为9元，8品牌消毒湿巾的单价为6元.

⑵

解：设购买机包/品牌消毒湿巾，则购买(10°-”)包8品牌消毒湿巾，

依题意，得加29(100-〃?).

解得加290.

设购买消毒湿巾需要的费用为w元.

则w=9m+6(100-/77)=3加+600

w随m的增大而增大.

当加=90时，w有最小值，卬皿'=3x90+600=870.

100-^=100-90=10.

,当公司购买90包/品牌消毒湿巾，10包8品牌消毒湿巾时最省钱，花费为870元.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找到等量关系是解题的关

键.

21.(2021•福建省同安第一中学一模)如图，已知四边形是矩形，

(1)尺规作图，求作正方形使得顶点E在矩形内；

(2)连接。E,若/8=6,AD=8,求。E的长.

X,-----------------------,£>

BC

【答案】(1)见解析；(2)2右

【分析】

(1)要使得正方形BECF的顶点E在矩形ABCD内，则应考虑以BC为对角线，因为N8=4C=90。，要构

成正方形则E点应为48和4c的角平分线的交点，所以可先作乙8与ZC的角平分线，然后再根据正方形的

对称性作图即可；

(2)连接尸£交8C于G点，并延长FE交/。于"点，根据矩形和正方形的性质分别求出和，E的

长度，从而利用勾股定理求解即可.

【解析】

解：（1）如图所示，先作乙8和4C的角平分线，交于E点，

则此时△8EC为等腰直角三角形，

然后分别以8,C两点为圆心，BE,CE为半径作圆弧在8c下方交于尸点,

;此时四边形BECF即为所求正方形：

（2）如图所示，连接FE交8c于G点，并延长FE交/。于H点,

•••四边形48CZ）为矩形，

:&DC=£BCD=90°,CD=AB=f>,AD=BC=8,

由（1）可知四边形8EC尸为正方形，

:.EG=GC=5BC=4,EG1BC,

：.^ADC=4BCD=^EGC=90°,即四边形CDHG为矩形，

■■■DH=CG=4,GH=CD=6,乙DHE=90°,

：.HE=GH-GE=2,

在Rt△HDE中,根据勾股定理得：

DE=^DH2+HE2=2石.

【点睛】

本题考查尺规作图，以及矩形和正方形的性质，掌握尺规作图的基本原理，理解基本图形的性质是解题关

键.

22.（2021•福建省厦门第六中学三模）某精准扶贫帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，决定在该村兴办

一个年产量为1000万块的瓷砖厂，以吸纳富余劳动力，提高村民收入.已知瓷砖的质量以其质量指标值，

（单位：分，30</<100）为衡量标准，为估算其经济效益，该瓷砖厂进行了试产，并从中随机抽取了100

根据质量指标值可以对所生产的瓷砖进行定级.当30</<40时为次品瓷砖，当40</<60时为三级瓷砖,

当60</<80时为二级瓷砖，当80&V90时为一级瓷砖，当90<Z<100时为特级瓷砖.

（1）从生产的100块瓷砖中抽取一块瓷砖，求抽到瓷嵇的质量指标值/不低于70的概率；

（2）根据市场调查，每块瓷砖的等级与纯利润（单位：元）的关系如下表：

产品等级次品三级二级一级特级

纯利润（元/块）-1013510

假定该瓷砖厂所生产的瓷砖都能销售出去，且瓷砖厂的总投资为3000万元（含引进生产线、兴建厂房等

一切费用在内），问：该厂能否在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资？并说明理由.

【答案】（1）0.39；（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）利用列举法概率公式求出t不低于70个瓷砖数除以样本总数即可；

（2）利用加权平均数求出样本平均利润，利用样本的平均利润估计总体的平均利润，然后进行比较即可

【解析】

24+11+4

解：（1）尸（抽到瓷砖的质量指标值f不低于70）=100=0.39

（2）样本中每块瓷砖的平均利润为：

-10x0.02+1x0.34+3*0.49+5x0.11+10x0.04=2.56元

故该瓷砖厂的年盈利大约为2.56x1000=2560（万元）

1,,2560万元〈3000万元

•••该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资.

【点睛】

本题考查样本中的概率，以及加权平均数，利用样本平均数估计总体的平均数，掌握样本中的概率，以及

加权平均数，利用样本平均数估计总体的平均数是解题关键.

23.（2019•福建•厦门双十中学一模）如图，已知等腰三角形"℃，/。="仁8是线段℃上的一点，连结

4B,且有力8=。氏

Q）若NA4c=90\"=6，求8的长；

AB_1

（2）若皮求证：々"=90。.

【答案】（1）3；（2）见解析.

【分析】

（1）设NC=x,根据等腰三角形的性质可得NCND,ZD=ZDAB,结合三角形外角的性质可得

ZABC=ZC,根据NBAC=90。，可求得NC=30。，解直角三角形可得AB=1,BC=2,即可求CD的长;

AB1

(2)由于DC3,设AB=BD=a,所以CD=3a,证明△DAB-aDCA,则可得AD?=BD-BC=3。2,求

出AD=AC=Ga,可得AB'AC'BC2,由勾股定理的逆定理得aABC是直角三角形，zBAC=90°.

【解析】

解：⑴设/C=x,

vAD=AC,

/.NC=Z.D=x

•/AB=DB,

/D=NBAD=x,

/ABC=Z£>+/BAD=2x

•・•ABAC=90°,

/.ZJ^C+ZC=90\

x+2x=90

...x=30\

在中，ZBAC=90\

AB=ACtanC=风n30。=1,

BC=2AB=2,

:.CD=BD+BC=l+2=3.

AB1

(2)设==...BEF

.-.CD=3a,

•：ND=ND/-DAB=ZC,

MBD~\CAD,

AD2=BDBC=3a2,

AD=y[ia(

AC=AD=6a

•：AB2+AC2=4a2

BC2=(2aJ=4/

AB2+AC2=BC1,

8c为直角三角形，ZBAC=90\

故答案为(1)3；(2)见解析.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，解题

的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.

24.(2021•福建•厦门市松柏中学二模)如图，四边形内接于0O,对角线NC是。。的直径，BD平

分乙4BC,BD交AC于点、E,过点。作。尸。尸交区4延长线于点凡

(1)求证：AF=BC；

DE

(2)如果N8=3/RBE=(直接写出答案)

(3)过点尸作FGII8。交。延长线于点G,求证：AG=CE.

5

【答案】(1)见解析：(2)3；(3)见解析.

【分析】

(1)根据对角线ZC是。。的直径，BD平分乙4BC,得出然后根据圆内接四边形的性质得出

4DAF=^DCB,最后根据ASA得出△£>/斤三△OC8即可证明；

(2)设AB=3AF=3a,根据F三△OC8表示出BC的长度，利用勾股定理表示出NC和/。的长

度，过点8作8MLIC于点"，连接根据面积法和等腰直角三角形的性质表示出。。和8M的长

DE

度，最后根据呢相似即可求出正的值.

(3)DF交。0于点、N,在。尸上截取。六。E,连接P4,PG,4V,根据题意证明出△*DCE,由

全等三角形的性质和得出4P=CE,ND”=NDCE=45°,然后根据圆内接四边形的性质得出

NGFA=NPNA=45。,最后由△改组力可即可证明.

【解析】

(1)证明：•."(?是。。的直径，

山。。=90。,

又,：BD平分乙48C,

:•乙ABD"CBD=45。,

・,・AD=CD,

♦:DF1DB,

・・/BDF=UDC=9a0

:,乙ADFMCDB,

•••四边形48CQ内接于O。,

・••48c。+46/£>=180。,

又•：乙BAD+乙DAF=T80。,

:♦乙DAF=^DCB,

:△DAF2DCB,

：.AF=BC.

(2)设力厂=a,AB=3AF=3a,

由(1)ADAFwADCB,

：.BC=AF=a,

22

在RtAABC中,AC=y/AB+BC=Ma,

AD=CD=AC•sin45°=VlOa*—=亚a

在MAADC中,2

过点8作8A/LIC于点",

连接。。，则8=22

•・•△/CD是等腰直角三角形,

.■ODJ.AC,

■■.ODWBM,即△如沃MBE