2023-2024学年内蒙古名校数学九年级上册期末考试试题

2023-2024学年内蒙古名校数学九上期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每题4分，共48分)

1.将抛物线＞=/-2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为()

A.y=(x+3)2B.y=(x-3)2C.y=(x+2)2+lD.y=(x-2)2+l

AT)1

2.如图，在△ABC中，DE//BC——=—,BC=12则DE的长是()

9AB3f

A.3B.4C.5D.6

3.将二次函数—2x+5化成y=a(x—丸)2+左的形式为()

11

929

A.y=](九一4y+3B.y=-(x-4)+l

191,

C.y=3(尤-2)+3D._y=—(x—2)+1

4.已知，如图，E(-4,2),F(-1,-1).以O为位似中心，按比例尺1：2把AEFO缩小，点E的对应点)的坐标

()

5.如图，A,B,C,D是。O上的四个点，B是AC的中点，M是半径OD上任意一点.若NBDC=40。，则NAMB

的度数不可能是()

oD

A.45°B.60°C.75°D.85°

6.一元二次方程Y+3%—5=1中的常数项是（）

A.-5B.5C.-6D.1

7.宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的

2

美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABC。，分别取AO、3c的中点E、F,连接E尸：以点尸为圆

心，以尸。为半径画弧，交3c的延长线于点G；作G〃_LAO,交的延长线于点X,则图中下列矩形是黄金矩形的

是（）

A.矩形B.矩形EFCZ>C.矩形EFGHD.矩形OCGH

8.如图，抛物线了=以2+6*+。与》轴交于点（—1,0）,对称轴为％=1,则下列结论中正确的是（）

C.c<0

D.x=3是一元二次方程ax?+bx+c=0的一个根

9.已知x,V满足5--4》+4冲+/+4=0,则y"的值是（）.

11

A.16B.—C.8D.-

168

10.如图，在△ABC中，45=10,AC=S,BC=6,以边A3的中点。为圆心，作半圆与AC相切，点尸、。分别是边

3c和半圆上的动点，连接PQ,则尸0长的最大值与最小值的和是（）

c

A.3B.2V13+1C.9D.10

11.如图，已知正五边形A3CDE内接于）0,连结BD,则NABD的度数是（）

A.60°B.70°C.72°D.144°

12.方程炉―3%-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，在边长为1的正方形ABC。中,将射线AC绕点A按顺时针方向旋转e度（0°<c4360。），得到射线AE,

点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为

14.抛物线尸-2X2+4X-1的对称轴是直线

15.如图，。。过正方形网格中的格点A,B,C,D,点E也为格点，连结BE交。。于点尸，尸为上的任一点,

贝！ItanP=.

AE

C

16.在本赛季CB4比赛中，某运动员最后六场的得分情况如下：17,15,21,28,12,19,则这组数据的极差为.

17.已知关于x的一元二次方程（k—Dx'+x+k?—1=0有一个根为0,则k的值为.

18.如图，48是。。的直径，48=6,点C在。。上，NCA3=30。，。为的中点，尸是直径A3上一动点，则PC+PD

的最小值为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木,

出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”.其大意是:如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30

步到5出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到。处正好看到5处的树木，求正方形城池的边长.

0^—-----------4c

20.（8分）如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体.从这些小正

方体中任意取出一个，求取出的小正方体：

（1）三面涂有颜色的概率；

（2）两面涂有颜色的概率；

（3）各个面都没有颜色的概率.

21.（8分）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节.为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经

典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目.小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制

了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.

第-HI第二JW第引i］第四用第出rt；

⑴五届艺术节共有个班级表演这些节日，班数的中位数为,在扇形统计图中，第四届班级数的扇形

圆心角的度数为:

⑵补全折线统计图；

(3)第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”

分别用A,B,C,。表示).利用树状图或表格求出该班选择A和。两项的概率.

22.(10分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回，

再随机摸出一个小球，请用树状图或列表法求下列事件的概率.

(1)两次取出的小球的标号相同；

(2)两次取出的小球标号的和等于6.

23.(10分)现有四张正面分别印有4F、N和。四种图案，并且其余完全相同的卡片，现将印有图案的一面朝下，

并打乱摆放顺序，请用列表或画树状图的方法解决下列问题：

(1)现从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张卡片，求两次摸到的卡片上印有图案都是轴对称图

形的概率；

(2)现从中随机抽取-张，记下图案后不放回，再从中随机抽取一张卡片，求两次摸到的卡片上印有图案都是中心对

称图形的概率.

24.(10分)画出如图所示的几何体的主视图、左视图和俯视图.

25.(12分)如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D,卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边

形(这些卡片除图案不同外，其余均相同).把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：

(1)若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是;

(2)若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张.请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求

抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率.

26.已知二次函数y=-2/-4x+6.

(1)用配方法求出函数的顶点坐标；

(2)求出该二次函数图象与x轴的交点坐标。

(3)该图象向右平移个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点.请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个

交点的坐标为.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案.

【详解】将抛物线-2向右平移3个单位长度，得到平移后解析式为：y=(x-3)2-2,

再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y=(x-3)2-2+2,即＞=(x-3)2；

故选：B.

考核知识点：二次函数图象.理解性质是关键.

2、B

【解析】试题解析：在及45。中，DE//BC,

:._ADES」ABC

DEAD_1

"BC~AB~3'

BC=12.

DE=4.

故选B.

3,C

【分析】利用配方法即可将二次函数转化为顶点式.

1,

【详解】y=-x2-2x+5

1,

=-(%2-4x)+5

1,

=-(X2-4X+4)+5-2

1,

=-(X-2)2+3

2

故选：C.

本题主要考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键.

4、D

【分析】由E(-4,2),F(-1,-1).以O为位似中心，按比例尺1：2把AEFO缩小，根据位似图形的性质，即可求

得点E的对应点的坐标.

【详解】解：(-4,2),以O为位似中心，按比例尺1：2把AEFO缩小，

点E的对应点的坐标为：(-2,1)或(2,-1).

故选D.

本题考查位似变换；坐标与图形性质，利用数形结合思想解题是关键.

5、D

【解析】解：；5是弧AC的中点，...NAOB=2N3Z>C=80。.又；211是。。上一点，二/4•比/4。5=80°.则不符

合条件的只有85。.故选D.

点睛：本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得/4。3的度数是关键.

6、C

【分析】将一元二次方程化成一般形式，即可得到常数项.

【详解】解：..F+3%—5=1

,,x?+3x—6=0

.••常数项为-6

故选C.

本题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确的化出一元二次方程的一般形式是解决本题的关键.

7、D

【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比

值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形.

【详解】解：设正方形的边长为2,则CD=2,CF=1

在直角三角形DCF中，DF=A/12+22=75

FGM

二.CG=«-1

.CG_V5-1

'^CD~2

矩形DCGH为黄金矩形

故选：D.

本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念.解题时注意，宽与长的比是避二1的矩形叫做黄

2

金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形.

8、D

【解析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，与y轴的交点在正半轴可得c是正数，根据二次函数的增

减性可得B选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x轴的一个交点的坐标可以求出与x轴的另一交点坐标，也就是一

元二次方程ax?+bx+c=O的根，从而得解.

【详解】A、根据图象，二次函数开口方向向下，...aCO,故本选项错误；

B、当x>l时，y随x的增大而减小，故本选项错误；

C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，...c,。，故本选项错误；

D、；抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1,0）,对称轴是x=l,

设另一交点为（x,0）,

-l+x=2xl,

x=3,

・••另一交点坐标是（3,0）,

Ax=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,

故本选项正确.

故选：D.

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与x轴的交点问题，熟记二次函数的性

质以及函数图象与系数的关系是解题的关键.

9、A

【分析】先把等式左边分组因式分解，化成非负数之和等于0形式，求出x,y即可.

【详解】由5x?-4x+4孙+V+4=0得

(4尤2+4盯+y?)+(尤2-4%+4)=0

(2x+y)2+(%+2)-=0

所以2x+y=0,x+2=0

所以x=-2,y=-4

所以y*=(-4)-2=16

故选：A

考核知识点：因式分解运用.灵活拆项因式分解是关键.

10、C

【解析】如图，设。。与AC相切于点E,连接OE,作OPiJLBC垂足为Pi交。。于0,此时垂线段。Pi最短，PiQi

最小值为OPLOQI,求出如图当。2在边上时，P2与5重合时，P20最大值=5+3=8,由此不难解决问

题.

【详解】如图，设。。与AC相切于点E,连接OE,作OPi，3c垂足为交。。于。1,此时垂线段OPi最短，Pi0i

最小值为。马-OQx.

VAB=10,AC=8,BC=6,J.AB^AC^+BC2,.\ZC=20°.

ZOPiB=2Q°,：.OPi//AC.

'：AO=OB,J.PiC^PiB,：.OPi=~AC=4,；.尸1。1最小值为。尸i-OQi=l,如图，当。2在A5边上时，尸2与5重

合时，尸2。2经过圆心，经过圆心的弦最长，尸2。2最大值=5+3=8,.•.P0长的最大值与最小值的和是2.

故选C.

本题考查了切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点尸。取得最大值、最小值时的位置，属

于中考常考题型.

11>C

【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出NABC、CD=CB,根据等腰三角形的性质求出NCBD,计算即

可.

【详解】•••五边形A53为正五边形

AZABC=ZC=|(5-2)xl80°=108°

'：CD=CB

：.ZCBD=1(180°-108°)=36°

AZABD=ZABC-ZCBD=72°

故选C.

本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于(n-2)xl80。是解

题的关键.

12、A

【分析】此题考查一元二次方程解的情况的判断.利用判别式A=^-4ac来判断，当/>0时，有两个不等的实根;

当△=()时，有两个相等的实根；当/<0时，无实根；

【详解】题中A=/—4ac=(-3)2—4x(—1)=9+4>0,

所以次方程有两个不相等的实数根，

故选A；

二、填空题(每题4分，共24分)

13、V2-1

【分析】由轴对称的性质可知AM=AD,故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直

线上时，CM有最小值.

【详解】如图所示：连接AM.

•.•四边形ABCD为正方形,

.•・AC=JS+切2=&+i=也

'：点D与点M关于AE对称，

.\AM=AD=1.

...点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上.

如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值.

ACM的最小值=人©人乂，=0-1,

故答案为：V2-1,

本题主要考查的是旋转的性质，正方形的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键.

14、x=l

【解析】根据抛物线产。炉+法+C的对称轴是产-&b即可求解.

2a

4,

【详解】抛物线j=-2x2+4x-l的对称轴是直线x=--———=1.

2x(-2)

故答案为：x=l.

b

本题考查了二次函数的对称轴.熟记二次函数尸依2+心+。的对称轴：尸—是解题的关键.

2a

15、1

【分析】根据题意，连接DF,得出NP=N6DF,由圆的性质，进而证明出利用正方形网格图形，结

合锐角三角函数值求出tanNP即可.

【详解】解：连接。足如图，贝!1NP=N5DF,

•・・5D为直径，

:.ZBFD=90°9

VZDBF+ZBDF=9Q°,ZEBD+ZBED=90°,

:.ZBDF=ZBEDf

：.ZP=ZBED,

BD

,:tanZBED=-----=1,

DE

/.tanZP=l.

故答案为L

E

C

本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，同角的余角相等，锐角三角函数值应用，掌握圆的基本性质和相关知识点是

解题的关键.

16、1

【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.极差=最大值-最小值，根据极差的定义即可解答.

【详解】解：由题意可知，极差为28-12=1,

故答案为：1.

本题考查了极差的定义，解题时牢记定义是关键.

17、-1

【解析】把x=0代入方程得k2-l=0,解得k=l或k=-L

而k-1^0,

所以k=-l,

故答案为：-L

18、372

【分析】作出。关于A5的对称点。，则PC+PD的最小值就是。沙的长度.在△COZT中根据边角关系即可求解.

【详解】作出。关于A5的对称点。，连接OC,0D\CD\

又,・•点。在。。上，ZCAB=3Q°,。为3C的中点，

ZBAD1=-ZCAB=15°,

2

AZCAD,=45°,

・・・NCOD'=90°.J△CO。'是等腰直角三角形.

,:OC=ODf=-AB=3

29

:・CD=3O.

故答案为：30.

本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解答本题的关键.

三、解答题（共78分）

19、正方形城池的边长为300步

【分析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例，列出方程，通过解方程即可

求出小城的边长.

【详解】依题意得AB=30步，CD=750步.

设AE为x步，则正方形边长为2x步，根据题意，

RtAABEsRtACED

ABAE30x

:.—=—即an一=——.

CECDx750

解得xi=150,X2=-150（不合题意，舍去），

/.2x=300

/.正方形城池的边长为300步.

本题考查相似三角形的应用.

20、（1）—；（2）—；（3）—

888

【分析】（1）三面涂有颜色的小正方体是在8个顶点处，共8个，再根据概率公式解答即可；

（2）两面涂有颜色的小正方体是在12条棱的中间处，共24个，再根据概率公式解答即可；

（3）各个面都没有颜色的小正方体是在6个面的中间处，共8个，再根据概率公式解答即可.

【详解】解：（1）因为三面涂有颜色的小正方体有8个，

Q1

所以P（三面涂有颜色）

648

（2）因为两面涂有颜色的小正方体有24个，

243

所以P（两面涂有颜色）=—；

648

（3）因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有8个，

Q1

所以P（各个面都没有涂颜色）

648

本题考查几何概率，等可能事件的概率=所求情况数与总情况数之比.关键是找到相应的具体数目.

21、(1)40,7,81°；(2)见解析；(3)1.

6

360X225%+117

【解析】（1）根据图表可得，五届艺术节共有：（5+7+6）^（1--）=40;根据中位数定义和圆心角

360

公式求解；（2）根据各届班数画图；（3）用列举法求解；

【详解】解：（1）五届艺术节共有：（5+7+6卜（］_360义2渭+117）=40个,第四届班数：40x22.5%=%第五届

117

40x——=13,第一至第三届班数：5,7,6,故班数的中位数为7,

360

第四届班级数的扇形圆心角的度数为：360»x22.5%=81°;

⑵折线统计图如下；.

KaSt-J«KB

(3)树状图如下.

51一项配二项所有可健结果

(A.B)

(A.C)

(A.D)

(B.A)

(0X)

(B.D)

(C.A)

(C.B)

(C.D)

(D.A)

(O.B)

(D.C)

所有情况共有12种，其中选择A和。两项的共有2种情况,

2I

所以选择A和。两项的概率为—

126

考核知识点：用树状图求概率.从图表获取信息是关键.

1/、八3

22、（1）—；（2）Pi=—.

416

【分析】（1）列出表格展示所有可能的结果，再找到相同小球的情况数，利用概率公式，即可求解;

（2）找出两次取出的小球标号的和等于6的情况数，再利用概率公式，即可求解.

【详解】解:

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

总共有16种可能，其中4种两次取的小球标号一样,

41

•\P=—=一；

164

（2）有三种情况:2+4=6,3+3=6,4+2=6,

：.P=—3.

16

本题主要考查例举法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图以及概率公式是解题的关键.

23、（1）—；（2）—.

46

【分析】（1）先判断出是轴对称图形的字母，再画出树状图，得出所有可能的情况数和两次摸出的都是轴对称图形的

字母的情况数，利用概率公式即可得答案；

（2）先判断出是中心对称图形的字母，再画出树状图，得出所有可能的情况数和两次摸出的都是中心对称图形的字母

的情况数，利用概率公式即可得答案.

【详解】（1）在A、F、N、O中，是轴对称图形的字母有A、O,

画树状图如下：

由树状图可知，共有16种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两张卡片图案都是轴对称”的有4种情况,

分别为：（44）（0、A）（A0）（0、O）,

41

.••两次摸到的卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为—

164

（2）在A、F、N、。中，是中心对称图形的字母有N、O,

画树状图如下：

开始

FNOANOAFOAFN

由树状图可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两张卡片图案都是中心对称”