沪教版高一下学期【第二次月考】（测试范围：第6章~第8章）（解析版）

沪教版高一下学期【第二次月考】考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）将写成的形式，其中，则__．【答案】【分析】结合三角恒等变换公式的逆运用即可求解.【详解】因为，所以．故答案为：.2．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）扇形的半径为1，圆心角所对的长为2，则该扇形的面积是__________.【答案】1【分析】根据扇形的面积公式求解即可.【详解】因为扇形的半径为1，圆心角所对的长为2，所以扇形的面积为.故答案为：1.3．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知点，若，则__________.【答案】【分析】结合平面向量的坐标运算可得，进而可得，结合二倍角公式及同角三角函数关系化简即可求解.【详解】因为，所以，，所以，即，所以，即，所以.故答案为：.4．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为__________.【答案】/【分析】先化简函数，然后由正弦函数性质求解．【详解】，由题意是函数的最小值，是函数的最大值．由，最小，则函数周期最大，所以，即．故答案为：．5．（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知函数，且，则__.【答案】0【分析】计算得到，代入计算得到答案【详解】，则.故答案为：6．（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）在中，若，则的最大值是____．【答案】【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解【详解】结合正弦定理得，即，所以，因为，所以，则的最大值是．故答案为：7．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）函数的严格减区间是__．【答案】．【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解.【详解】令，则为增函数，欲求的减区间，则求的减区间由题意得定义域为，解得所以的减区间为所以函数的严格减区间是.故答案为：.8．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）函数的图象如下，求它的解析式__________.【答案】【分析】根据最高点可确定，利用周期，将代入即可求解.【详解】由图象最高点可知,由点和可得周期,此时将代入得,由于，所以取，故故答案为：.9．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知在所在平面内，，则是的__心．【答案】垂【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理作答.【详解】由得：，即，则，由同理可得：，所以是的垂心.故答案为：垂10．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量__．【答案】【分析】根据函数的平移方向和大小可得答案.【详解】函数的图象平移后，得到函数的图象,则要向左平移1个单位，向下平移2个单位故故答案为：.11．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、和、、、均由2个和2个排列而成，记，则最多有__个不同的值．【答案】3【分析】由题意分析即可得的各种取值情况，即可得符合条件的个数.【详解】解：由题意可知，有三个值，分别为、、．故最多有3个不同的值．故答案为：3.12．（2023春·上海浦东新·高一上海市洋泾中学校考期中）已知三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为________．【答案】【分析】先由A、B、C三点共线，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.【详解】由题意，A、B、C三点共线所以存在实数λ使得，即，所以而所以则，所以当且仅当,即时取等号．因此的最小值为．故答案为：．二、单选题13．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可.【详解】由题意，，即.由图可知，，解得，，此时，将点代入解析式，可得，即，所以，，即，取，，所以.故选：A.14．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【分析】由是第一象限角，可得，，进而得到，，进而求解.【详解】因为是第一象限角，所以，，所以，，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，综上所述，第一、三象限角.故选：B.15．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】取AB的中点D，连接CD，由已知向量等式可得AB与CD垂直，从而得到三角形为等腰三角形.【详解】若，取AB的中点D，连接CD，则，即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形.故选：C16．（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定.【详解】由题意得，所以，所以，即，A正确；因为，所以，B不正确；当时，，C不正确；由，所以，所以，所以，D不正确.故选：．三、解答题17．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）（1）已知单位向量、的夹角为，与垂直，求；（2）已知向量，，，若，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据数量积的定义求出，依题意可得，根据数量积的运算律计算可得；（2）首先求出，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】（1）因为单位向量、的夹角为，所以，又与垂直，所以，即，即，解得；（2）因为，，所以，又且，所以，解得.18．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）如图，直角梯形中，为线段（不含端点）上一个动点，设，对于函数.(1)当时，求函数的值域；(2)是否存在，使得函数有最小值0.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，结合平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，当时，，结合二次函数的性质即可求解；（2）由（1）知，，结合对称轴及二次函数的性质即可求解.【详解】（1）如图，以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，所以，，，，所以，，，因为，所以，，所以，当时，，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，而时，；时，；时，.所以函数的值域为.（2）由（1）知，，对称轴为，当，即时，函数在上单调递减，此时没有最小值，不符合题意；当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，即.所以存在，使得函数有最小值0.19．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知函数.(1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值；(2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和.【答案】(1)函数的最小值，此时的值为(2)答案见解析【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解；（2）以为整体，结合正弦函数分析运算.【详解】（1）∵，即，令，解得，故函数的最小值，此时的值为.（2）由（1）可知：，∵，则，，故，且，结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为，设在上的四个不同的根由小到大依次为，当时，则，整理得，故；当时，则，整理得，故；综上所述：当时，四个根之和为；当时，四个根之和为.20．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．(1)若且与垂直，求与的夹角；(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可得，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小；（2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可.【详解】（1）解：由得，即，所以，得，又，所以；（2）解：因为，，所以所以，则，由得，由与与的夹角为锐角，所以21．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）在中，分别为内角所对的边，且(1)求的大小；(2)现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积（写出一种可行的方案即可）【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）结合正弦定理边角互化变形即可求解