高中数学选择性课时评价5-1-1平均变化率

三十二平均变化率(15分钟30分)1．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()A.甲B．乙C．相同D．不确定【解析】选B.由图象知乙的斜率比甲的斜率小，但乙的斜率绝对值大，即变化快．【误区警示】甲的斜率大，误认为甲的治污效果好；这里应该强调图象越陡，治污效果越明显．2．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最小的一个区间是______，平均变化率最大的一个区间是________．【解析】由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)，eq\f(f（x3）－f（x2）,x3－x2)，eq\f(f（x4）－f（x3）,x4－x3)，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最小的一个区间是[x2，x3]，平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].答案：[x2，x3][x3，x4]3．已知函数y＝eq\f(1,x)与函数y＝－eq\f(1,2)x＋2在区间[1，t]上的平均变化率相等，则实数t＝________.【解析】由eq\f(\f(1,t)－1,t－1)＝－eq\f(1,t)＝eq\f(－\f(1,2)t＋\f(1,2),t－1)，得：t＝2.答案：24．已知A，B两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速度为30km/h，B车向东行驶，速度为40km/h，那么A，B两车间直线距离增加的速度为________．【解析】设经过th两车间的距离为skm，则s＝eq\r(（30t）2＋（40t）2)＝50t(km)，增加的速度为eq\f(50（t＋Δt）－50t,Δt)＝50(km/h).答案：50km/h5．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数f(x)在区间[－3，－1]，[2，4]上的平均变化率．【解析】函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为eq\f(f（－1）－f（－3）,（－1）－（－3）)＝eq\f([（－1）2－2×（－1）]－[（－3）2－2×（－3）],2)＝－6.函数f(x)在[2，4]上的平均变化率为eq\f(f（4）－f（2）,4－2)＝eq\f(（42－2×4）－（22－2×2）,2)＝4.【补偿训练】已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s＝f(t)＝eq\f(1,2)gt2，计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒各段时间内的平均速度(g＝9.8m/s2).【解题指南】先求出Δs，再求出eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)，即为各段时间内的平均速度．【解析】设Δt＝(t＋d)－t指时间改变量，Δs＝f(t＋d)－f(t)指位移改变量．则Δs＝f(t＋d)－f(t)＝eq\f(1,2)g(t＋d)2－eq\f(1,2)gt2＝gtd＋eq\f(1,2)gd2，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(gtd＋\f(1,2)gd2,d)＝gt＋eq\f(1,2)gd，所以t从3秒到3.1秒的平均速度eq\x\to(v)＝29.89(m/s)；t从3秒到3.001秒的平均速度eq\x\to(v)＝29.4049(m/s)；t从3秒到3.0001秒的平均速度eq\x\to(v)＝29.40049(m/s).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx与0的大小关系为()A．Δx＝0B．Δx＞0C．Δx＜0D．Δx≠0【解析】选D.Δx可以大于零，也可以小于零，但不等于零．2．(多选)如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法错误的是()A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】选ABD.在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq\f(s0,t0)，故A和B错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq\f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq\f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq\f(s2－s0,t1－t0)>eq\f(s1－s0,t1－t0)，故C正确，D错误．3．质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度等于()A．ΔtB．－6ΔtC．－3Δt－6D．3Δt＋6【解析】选C.因为Δs＝5－3(1＋Δt)2－(5－3×12)＝－3(Δt)2－6Δt，所以eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－3（Δt）2－6Δt,Δt)＝－3Δt－6.【补偿训练】函数y＝f(x)＝lnx＋1从e到e2的平均变化率为________．【解析】因为Δy＝f(e2)－f(e)＝(lne2＋1)－(lne＋1)＝1，Δx＝e2－e，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,e2－e).答案：eq\f(1,e2－e)4．已知函数y＝f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x【解析】选B.因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4Δx＋2（Δx）2,Δx)＝4＋2Δx.5.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A．1B．－1C．eq\f(1,3)D．3【解析】选B.因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.所以函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于－1.【补偿训练】某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度为________．【解析】平均速度为eq\x\to(v)＝eq\f(5－2（1＋d）2－5＋2×12,1＋d－1)＝－4－2d.答案：－4－2d6．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定【解析】选D.因为k1＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定．【误区警示】本题易因对平均变化率的定义式理解不透而导致错误．二、填空题(每小题5分，共10分)7．观察函数f(x)的图象(如图)，平均变化率eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)表示________.【解析】直线AB的斜率为eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)，表示从x1到x2的函数f(x)的平均变化率．答案：割线AB的斜率8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为eq\f(28π,3)，则m的值为________.【解析】ΔV＝eq\f(4π,3)m3－eq\f(4π,3)＝eq\f(4π,3)(m3－1)，所以eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(\f(4π,3)（m3－1）,m－1)＝eq\f(28π,3)，所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍).答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．【解析】因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝eq\f(－3Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞).10．巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力