2021新高考数学一轮复习学案10-5古典概型

第五节古典概型课标要求考情分析1.理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.1.以理解古典概型的概念、古典概型概率公式为主，会求一些简单随机事件的概率，常与统计知识或其他数学知识交汇考查，有时也会与排列组合交汇考查．2．本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.知识点一古典概型的概念1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．知识点二古典概型的概率公式1．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).2．古典概型的概率公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．(×)(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为eq\f(cardA,cardI).(√)2．小题热身(1)一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有(C)A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)(2)一袋中装有大小形状完全相同的3个红球和2个白球，现从中随机摸出两球，其中有白球的概率是(D)A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,10)D.eq\f(7,10)(3)在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为(B)A.eq\f(9,56)B.eq\f(9,28)C.eq\f(9,14)D.eq\f(5,9)(4)已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，则该函数有两个不同零点的概率为eq\f(2,3).(5)现有7名成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从数学、物理、化学成绩优秀的人中各选1人，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为eq\f(1,2).解析：(1)由于两个孩子出生有先后之分，所以基本事件有四种情况．(2)所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10).(3)在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数．基本事件总数n＝Ceq\o\al(5,8)＝56.数字4是取出的五个不同数的中位数包含的基本事件个数m＝Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)＝18，∴数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为P＝eq\f(m,n)＝eq\f(18,56)＝eq\f(9,28).(4)函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个不同的零点，即方程x2－2ax＋b2＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a2－4b2>0，所以a>b，因为a，b的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).(5)基本事件共有3×2×2＝12(个)，其中符合条件的基本事件有2＋2×2＝6(个)，故A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为eq\f(1,2).考点一事件的构成【例1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(1)试用所给字母列举所有可能的抽取结果；(2)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M包含的基本事件．【解】(1)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}．(2)由题可知，抽出的7名同学中，来自甲、乙、丙三个年级的学生分别有3人、2人、2人，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}．方法技巧古典概型中基本事件的探求方法：1列举法.2树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.3列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.4排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z参加某夏令营，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).考点二古典概型的概率问题【例2】(1)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D.eq\f(11,16)(2)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为()A.eq\f(4,5)B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50)D.eq\f(41,100)【解析】(1)由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,6)＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故选A(2)分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B，则由题意得P(A)＝eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)－4,C\o\al(2,5)C\o\al(2,5))＝eq\f(3,50)，则每位顾客摸球中奖的概率为P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50)，故选C.【答案】(1)A(2)C方法技巧求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择.在2018年中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山旅游的概率为(B)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：4名游客去三个景点，每个景点至少有一个人，可以先将其中2名游客“捆绑在一起”作为“一个人”，再将“三个人”安排到三个景点去旅游，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝6×6＝36(种)方案．游客甲去梵净山旅游，若梵净山再没有其他3名游客去旅游，则有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝3×2＝6(种)方案，若“乙、丙、丁”中有1人也去了梵净山旅游，则有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)方案，所以游客甲去梵净山旅游共有12种方案．所以游客甲去梵净山旅游的概率P＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).故选B.考点三古典概型与其他知识的交汇命题【例3】为了让税收政策更好地为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“个税专项附加扣除”是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人六项专项附加扣除，并公布了相应的定额扣除标准，决定2019年1月1日起施行．某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下2×2列联表：40岁及以下40岁以上合计基本满意151025很满意253055合计404080(1)根据列联表，能否有85%的把握认为满意程度与年龄有关？(2)若已经在满意程度为“基本满意”的职员中用分层抽样的方式选取了5名职员，现从这5名职员中随机选取3名进行面谈，求面谈的职员中恰有2名年龄在40岁及以下的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【解】(1)根据列联表可得K2＝eq\f(80×15×30－10×252,25×55×40×40)＝eq\f(16,11)≈1.455.∵1.455<2.072，∴没有85%的把握认为满意程度与年龄有关．(2)由题意，在满意程度为“基本满意”的职员中用分层抽样的方式选取5名职员，应抽取40岁及以下和40岁以上的职员分别为3名和2名，记为a1，a2，a3，b1，b2.则随机选取3名，基本事件为{a1，a2，a3}，{a1，a2，b1}，{a1，a2，b2}，{a1，a3，b1}，{a1，a3，b2}，{a2，a3，b1}，{a2，a3，b2}，{a1，b1，b2}，{a2，b1，b2}，{a3，b1，b2}，共10个．满足题意的基本事件为{a1，a2，b1}，{a1，a2，b2}，{a1，a3，b1}，{a1，a3，b2}，{a2，a3，b1}，{a2，a3，b2}，共6个．设从这5名职员中随机选取3名进行面谈，面谈的职员中恰有2名年龄在40岁及以下的概率为P，则P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).方法技巧古典概型与其他知识交汇问题的一般处理方法：1根据试验确定列举方法，列出所有基本事件，这是解决古典概型问题的基础；2根据其他数学知识，构建事件满足的约束条件，由约束条件找出所有符合条件的基本事件；3利用古典概型的概率计算公式求解.1．从集合A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(C)A.eq\f(2,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9)D.eq\f(1,4)解析：(a，b)所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2，3)，(－1，－1)