《商务统计分析 第2版》 课件 第5章 参数估计

第5章参数估计1第5章参数估计——目录5.1参数估计的一般原理5.2单总体均值与比例的区间估计5.3两总体均值之差与比例之差的区间估计5.4总体方差和方差比的区间估计5.5样本量的确定25.1参数估计的一般原理——点估计

点估计（pointestimate）是直接将样本统计量的某个取值作为总体参数的估计值。例如用样本均值估计总体均值，用样本中的比例估计总体的比例，用样本方差估计总体方差。不足：由于样本是总体的一个子集，我们不可能期望一个具体样本得到的点估计值等于总体参数，同时估计的可靠性无法衡量35.1参数估计的一般原理——区间估计

4

X99%的样本

90%的样本

95%的样本

5.1参数估计的一般原理——区间估计

置信区间（confidenceinterval）是由样本统计量所构造的总体参数的区间范围。置信水平（confidencelevel）是将构造置信区间的步骤多次重复，总体参数真值被包括在置信区间中的比例，也称为置信度或置信系数（confidencecoefficient）。5以总体均值为例，置信区间如下图所示：

5.1参数估计的一般原理——评价估计量

6P(X)X

无偏有偏5.1参数估计的一般原理——评价估计量

75.2单总体均值与比例的区间估计

8单总体均值与比例的区间估计均值

比例5.2单总体均值的区间估计

9

5.2单总体均值的区间估计

10

0.900.051.6450.950.0251.960.980.012.330.990.0052.585.2单总体均值的区间估计

5.2单总体均值的区间估计——实例

125.2单总体均值的区间估计

13思考：以银桥品牌旗下的某一款酸奶为例，规定出厂时每百克产品中活性益生菌含量，然而并不是每一杯酸奶的益生菌含量与出厂标准一致。假设益生菌每百克含量的标准差为6亿CFU。现在抽取42杯酸奶组成一个随机样本，样本的益生菌每百克平均含量为99.023亿CFU，求95%置信水平下该款酸奶活性益生菌含量的置信区间5.2单总体均值的区间估计

14

5.2单总体均值的区间估计

应用建议:如果总体服从正态分布，置信区间是准确的，适用于任何样本容量。如果总体不服从正态分布，置信区间是近似的，近似的程度依赖于总体分布和样本容量。在绝大部分应用中，样本容量n≥30已经足够。当总体分布不服从正态分布但大致对称时，需要样本容量n≥15。如果总体分布严重偏斜或者包含异常点，需要将样本容量增加到50或者更大。5.2单总体均值的区间估计——实例

16525954424450424855546055446262574546435641564471394867645.2单总体均值的区间估计——实例

175.2单总体均值的区间估计18思考：继续以检验银桥酸奶益生菌含量为例，假设每杯酸奶的益生菌含量服从正太分布，若抽取8杯酸奶组成一个随机样本，样本的益生菌每百克平均含量为99.023亿CFU，标准差为6.4亿CFU，根据这个样本求总体均值95%的置信区间5.2单总体比例的区间估计19

5.2单总体比例的区间估计——实例

205.2单总体比例的区间估计

21思考：以银桥酸奶益生菌含量为例，工厂将每百克益生菌含量小于等于95亿CFU的产品定义为不合格品，工厂希望通过抽检，了解产品的不合格率，在本次抽检中抽取了100杯酸奶，其中不合格的比例为7%，求总体酸奶不合格率在95%置信水平下的置信区间5.3两总体均值与比例之差的区间估计22两总体均值与比例之差的区间估计均值独立抽样

匹配样本大样本小样本比例5.3两总体均值之差的区间估计通过抽取样本对两总体均值差异进行区间估计时，不同的抽样方式对应不同的区间估计方法。抽样方式有：独立抽样与匹配样本。独立抽样下的样本叫做独立简单随机样本（independentsimplerandomsamples），是指从两个总体中独立抽出两个样本，即一个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立。匹配样本（matchedsample）不同于独立抽样,一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应。235.3两总体均值之差的区间估计——独立抽样

24

5.3两总体均值之差的区间估计——独立抽样

255.3两总体均值之差的区间估计——实例

26第一次9895949891939789

93889283100908897第二次97969010092929691

92899186958786945.3两总体均值之差的区间估计——实例

275.3两总体均值之差的区间估计——独立抽样28前述酸奶公司高层想了解该款酸奶在市场中的竞品情况。通过调查发现，市场该酸奶（记作甲）的最大竞品是伊利旗下的某酸奶（记作乙）。工作人员通过对两种酸奶进行独立抽样，比较两者中的益生菌含量。已知甲乙两种酸奶的总体标准差分别为6.4亿CFU和4.3亿CFU。分别抽取41杯甲和39杯乙，样本中每百克益生菌平均含量分别为98.64亿CFU和99.72亿CFU。两品牌酸奶益生菌含量均值之差在95%置信水平下的置信区间。5.3两总体均值之差的区间估计——独立抽样

29

5.3两总体均值之差的区间估计——实例【例】某公司生产的同一产品分别投入了A,B两地的两个市场，为了进一步推广产品，需要确定市场营销策略，这两个市场是否应该采取相同的营销策略。公司高层认为营销策略是否一致与使用产品的消费者差异相关，主要取决于消费者的收入差异。为了调查两个市场消费者收入的差异，我们分别从两个市场的消费者中抽取7个，9个消费者，收入如表所示。假设两个市场的总体消费者收入都服从正态分布，且方差相等，试求两市场消费者收入差异的置信水平为95%的置信区间。30A68424893964250141324087635379

B46875189786380151426941838967378668955.3两总体均值之差的区间估计——实例

315.3两总体均值之差的区间估计——独立抽样

325.3两总体均值之差的区间估计——实例【例】有报告显示，手机APP在日常生活中扮演着越来越不可或缺的角色。每个APP都有其特定的功能，每个人手机中下载的APP数量也有差异。为了探究男性和女性手机中下载的APP数量是否有差异，随机选择两个分别包含10名男性，8名女性的样本，如表5-5所示。假设总体服从正态分布且方差未知，求男性与女性手机APP下载数量差异的置信水平为95%的置信区间。33男29262434221827321633女3217353831294137

5.3两总体均值之差的区间估计——实例

345.3两总体均值之差的区间估计——独立抽样

355.3两总体均值之差的区间估计——匹配样本独立样本与匹配样本的差异若有两种可以组装同一类型产品的机器，需要比较两种机器组装产品所需时间的差异。若采用独立抽样，随机分配两批工人分别使用两种机器去组装产品。若采用匹配样本，则指定同一批工人分别用两种机器组装同一种产品，这样得到的两种机器组装产品的数据就是匹配数据。匹配样本有效消除了在独立抽样下由于前后参与组装工人不一致，由工人个体差异带来的组装产品时间的差异。365.3两总体均值之差的区间估计——匹配样本

375.3两总体均值之差的区间估计——实例【例】某大学想要了解2019年毕业的学生中，研究生和本科生起薪均值的差异。假定研究生与本科生起薪之差服从正态分布，起薪可能由于专业不同而差异很大，为了消除由专业差异引起的均值差异，选取相同专业的随机样本。1.已知总体差值的标准差为642，选取相同专业的35对随机样本，样本差值的均值为1365，求研究生和本科生起薪均值的差异在置信水平为95%时的置信区间。2.总体差值的标准差未知，选取相同专业的10对随机样本，样本差值的均值与标准差分别为1365和642。求起薪均值差异在置信水平为95%时的置信区间。385.3两总体均值之差的区间估计——实例

395.3两总体比例之差的区间估计

40

5.3两总体比例之差的区间估计

415.3两总体比例之差的区间估计——实例

425.3两总体比例之差的区间估计产品不合格率是产品质量的重要指标。前述酸奶公司高层管理者想要了解产品甲与竞品乙不合格率的差异，分别抽取100杯甲酸奶和200杯乙酸奶，样本的不合格率分别为7%，4%，求两产品在95%置信水平下不合格率差异的置信区间。435.4单总体方差的区间估计

44

5.4单总体方差的区间估计

45

2

21-

2

总体方差的1-

的置信区间

5.4单总体方差的区间估计——实例【例】投资回报率常常用来衡量投资风险，为了了解某国际知名投行的投资风险状况，随机调查了其经手的26个投资项目的年投资回报率，如下表所示。假设该投行所有项目的年投资回报率服从正态分布，求该投行项目年投资回报率方差的区间估计（置信水平为95%）。4620%5%4.5%7.8%9.4%15.7%8.2%4.1%3.9%8.3%5.1%19.7%5.2%6.8%7.8%5.9%9.2%13.4%14.8%1.6%9.4%15.4%4.2%9.8%6.3%7.1%

5.4单总体方差的区间估计——实例

475.4单总体方差的区间估计前述酸奶公司希望了解在生产过程中其酸奶益生菌含量的波动情况。假设每杯酸奶的益生菌含量服从正太分布，在某一次检查中，公司随机选取了12杯酸奶作为样本，样本的标准差为0.7亿CFU，试求方差在95%置信水平下的置信区间。485.4两总体方差比的区间估计

49

5.4两总体方差比的区间估计

50FF1-

F

总体方差比的1-

的置信区间5.4两总体方差比的区间估计——实例【例】一项研究拟探究在湿滑路面上汽车刹车距离的方差是否比干燥路面的大。在调查研究中，检测以同样速度分别在湿润路面和干燥路面上行驶的13辆汽车的刹车距离，如下表所示。假设汽车在湿润和干燥路面上的刹车距离均服从正太分布，求汽车在湿润和干燥路面上刹车距离的方差比在置信水平为95%时的置信区间。51湿润路面16.318.523.44.68.97.112.59.710.514.913.125.614.5干燥路面1521.3810.69.612.412.9

16.72.35.88.613.823.8

5.4两总体方差比的区间估计——实例

525.4两总体方差比的区间估计53前文酸奶公司希望了解在生产过程中其自己酸奶产品中益生菌含量波动情况与另一品牌酸奶产品益生菌含量波动情况的差异。假设两种品牌的每杯酸奶益生菌含量均服从正态分布，公司随机选取两种酸奶各8杯作为样本，样本的标准差分别为0.7亿CFU，0.5亿CFU，求两品牌酸奶益生菌含量的方差比在95%置信水平下的置信区间5.5样本量的确定在区间估计时，给定置信水平，我们希望得到精度尽可能高的置信区间。样本量越大，误差越小，得到的置信区间精度