题目二几何综合型

题目二几何综合型课标要求解读特征分析几何型综合题考查的知识点多，条件隐蔽，要有较强的理解能力、分析能力、解决问题的能力，对数学基础知识、基本方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力；常以全等和相似与三角形、四边形、圆的有关知识作为考查重点，并贯穿几何、代数、三角函数等知识，以证明、计算等题型出现；(1)几何计算是以几何推理为基础的计算，主要有线段和弧的长度的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等；(2)几何论证综合题主要考查学生综合运用几何知识的能力.类型思路1.几何论证型综合题，常以相似形、圆的知识为背景，串联其它几何知识．顺利解决几何型综合问题取决于下列因素：(1)熟悉各种常见问题的基本证明；(2)能准确添加基本辅助线；(3)对复杂图形能进行恰当的分解与组合；(4)善于选择证明的起点并善于转化问题.2.几何计算型综合题，其中以线段的计算最为常见，线段的计算通常是通过勾股定理、相似三角形的对应边的比相等所提供的等式进行，这些等式可以根据不同的已知条件转化为方程或方程组；三角函数值的计算，一般在直角三角形中进行.核心要点突破 一、三角形与四边形综合型三角形，特别是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，特殊四边形的性质，三角形的全等与相似，往往将上述知识综合在一起，产生综合性较强的压轴题．【典例1】(2014·浙江绍兴)如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C. (1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是(2，1)，求PA的长． (2)当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA∶PC的值． (3)当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA∶PC的值．解(1)∵点P与点B重合，点B的坐标是(2，1)，∴点P的坐标是(2，1)．∴PA的长为2.(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，∴OA＝AB.∵∠OAB＝90°，∴∠AOB＝∠ABO＝45°.∵∠AOC＝90°，∴∠POC＝45°.∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴PM＝PN，∠ANP＝∠CMP＝90°.∴∠NPM＝90°.∵∠APC＝90°.∴∠APN＝90°－∠APM＝∠CPM.在△ANP和△CMP中，∵∠APN＝∠CPM，PN＝PM，∠ANP＝∠CMP，∴△ANP≌△CMP.∴PA＝PC.∴PA∶PC的值为1∶1.(3)①若点P在线段OB的延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图2所示．②若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图3所示．[类题通法]1．综合运用角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，综合性非常强；2．点运动过程中要注意发现不变的规律，思考要全面，动点问题往往要分类讨论． 二、圆的综合型圆的综合题往往离不开圆的切线、直径、圆周角，易产生直角三角形、等腰三角形和等边三角形，形成全等三角形和相似三角形，从而产生综合性较强的压轴题．解①连接CD，如图1所示．∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD.∴∠E＝∠CDE.∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°.∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°.∴∠F＝∠CDF.∴CD＝CF.∴CE＝CD＝CF.∴结论“CE＝CF”正确．②当CD⊥AB时，如图2所示．∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝8，∠CBA＝30°，(3)当AD＝2时，连接OC，如图3所示．∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°.∵AO＝4，AD＝2，∴DO＝2.∴AD＝DO.∴∠ACD＝∠OCD＝30°.∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠DCA.∴∠ECA＝30°.∴∠ECO＝90°.∴OC⊥EF.∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切．∴结论“EF与半圆相切”正确．∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥AC.∴∠AGD＝90°.∴∠AGD＝∠ACB.∴ED∥BC.∴FH＝DH.∵DE∥BC，∴∠FHC＝∠FDE＝90°.∴BF＝BD.∴∠FBH＝∠DBH＝30°.∴∠FBD＝60°.∵AB是半圆的直径，∴∠AFB＝90°.∴∠FAB＝30°.⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．答案①、③、⑤[类题通法]1．理解圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理，会根据这些定理做出辅助线，构造直角三角形；2．由于圆中较多相等的角，所以易产生全等三角形和相似三角形． 三、几何应用综合型几何应用综合型问题往往题干较长、信息量大、设问多、计算量大．【典例3】(2014·陕西)问题探究 (1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；(2)如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．解(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，则PA＝PD.∴△PAD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°.又∵PA＝PD，∴△ABP≌△DCP(HL)．∴BP＝CP.∵BC＝4，∴BP＝CP＝2.②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①.则DA＝DP′.∴△P′AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°.∵AB＝3，BC＝4，∴DC＝3，DP′＝4.综上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA＝PD，则BP＝2；以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②.∵AD⊥BC，AD＝6，∴EF与BC之间的距离为3.∴OQ＝3，∴OQ＝OE＝3.∴⊙O与BC相切，切点为Q.∵EF为⊙O的直径，∴∠EQF＝90°.过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②.∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ.∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ＝90°，OE＝OQ，∴四边形OEGQ是正方形．∴GQ＝EO＝3，EG＝OQ＝3.∵∠B＝60°，∠EGB＝90°，EG＝3，(3)在线段CD上存在点M，使∠AMB＝60°.理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K.设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，过点O作OH⊥CD，垂足为H