湖南省长沙市西雅中学2022年中考联考数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知抛物线c：y=x2+2x-3,将抛物线c平移得到抛物线-如果两条抛物线，关于直线x=l对称，那么下列说法

正确的是（）

5

A.将抛物线c沿x轴向右平移已个单位得到抛物线c，B.将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c，

7

C.将抛物线c沿x轴向右平移,个单位得到抛物线c，D.将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c，

2.如图，。。的半径OC与弦AB交于点D,连结OA,AC,CB,BO,则下列条件中，无法判断四边形OACB为

A.ZDAC=ZDBC=30°B.OA/7BC,OB/7ACC.AB与OC互相垂直D.AB与OC互

相平分

3.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a，0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2,0）和（3,0）之

间，对称轴是x=L对于下列说法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；（4）a+b>m（am+b）（m为实数）；⑤当-l<x

4.如图，矩形A8C0中，/出=12,BC=13,以B为圆心，84为半径画弧，交BC于■点、E,以。为圆心，DA为

半径画弧，交BC于点F,则EF的长为（）

9

A.3B.4C.-D.5

2

5.若数a,〜在数轴上的位置如图示，则（）

~•-----------—•——>

-101

A.a+b>0B.ab>0C.a-b>0D.-a-b>0

6.cos30°的值是（――）

A.昱B.正1

C.大D3

232'2

7.如图，AB是。0的直径，点E为BC的中点，AB=4,ZBED=120°,则图中阴影部分的面积之和为（）

C.串D.2事

8.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种正五边形一定能进

行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中假命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，BD是/ABC的角平分线，DC:〃AB,下列说法正确的是（）

B.AD〃BC

C.AD=BCD.点A与点C关于BD对称

10.给出下列各数式，①—（一2）?②一卜2|③一22@（-2）2计算结果为负数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，已知OP平分NAOB,ZAOB=60°,CP=2,CP〃OA,PDJ_OA于点D,PE_LOB于点E.如果点M是

OP的中点，则DM的长是.

12.如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点.若DE=1,则DF

13.一个不透明的袋子中装有6个球，其中2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别.现从袋子中随机摸出

一个球，则它是黑球的概率是.

14.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O,则

15.不等式上空＞5的解集是

3

16.为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成

绩的平均数X及其方差S2如下表所示：

甲乙丙T

X1'05”33「04”261'04”261，07"29

S21.11.11.31.6

如果选拔一名学生去参赛，应派去.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)如图，AB是。。的直径，ZBAC=90°,四边形EBOC是平行四边形，EB交。O于点D,连接CD并延

长交AB的延长线于点F.

(1)求证：CF是。。的切线；

(2)若/F=30。，EB=6,求图中阴影部分的面积.(结果保留根号和元)

18.(8分)计算：(1)-2-(71-77)0+173-2I+6tan30

19.(8分)某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在

2015年的基础上增加投入资金1600万元.从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？在

2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000

户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先

搬迁租房奖励？

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=(x-a)(x-3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B

的左侧)，与y轴交于点D,过其顶点C作直线CPJ_x轴，垂足为点P,连接AD、BC.

(1)求点A、B、D的坐标；

(2)若△AOD与ABPC相似，求a的值；

(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.

21.(8分)服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计

划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件.

(1)若购进这100件服装的费用不得超过7500,则甲种服装最多购进多少件？

(2)在(1)条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a(0<a<20)元的价格进行优惠促销活动，乙

种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？

22.(10分)如图，点O是△ABC的边AB上一点,。。与边AC相切于点E,与边BC,AB分别相交于点D,F,

3

且DE=EF.求证：ZC=90°；当BC=3,sinA=§时，求AF的长.

x—2x+11

23.(12分)先化简'再求值：+其中x是从-1、。、1、2中选取一个合适的数.

24.如图，一次函数y=-gx£的图象与反比例函数y=|(k>0)的图象交于A,B两点，过A点作x轴的垂线，垂足

为M,AAOM面积为1.

(1)求反比例函数的解析式:

(2)在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

•抛物线C：y=x2+2x-3=(x+1)2-4,

...抛物线对称轴为x=-1.

二抛物线与y轴的交点为A(0,-3).

则与A点以对称轴对称的点是B(2,-3).

若将抛物线C平移到C，，并且C,C，关于直线x=l对称，就是要将B点平移后以对称轴x=l与A点对称.

则B点平移后坐标应为(4,-3),

因此将抛物线C向右平移4个单位.

故选B.

2、C

【解析】

(1)VZDAC=ZDBC=30°,

.,.ZAOC=ZBOC=60°,

XVOA=OC=OB,

.".△AOC和^OBC都是等边三角形，

:.OA=AC=OC=BC=OB,

四边形OACB是菱形；即A选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形；

(2)VOA//BC,OB〃AC,

二四边形OACB是平行四边形，

又：OA=OB,

.•.四边形OACB是菱形，即B选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形；

(3)由OC和AB互相垂直不能证明到四边形OACB是菱形，即C选项中的条件不能判定四边形OACB是菱形；

(4)：AB与OC互相平分，

四边形OACB是平行四边形，

又.OA=OB,

二四边形OACB是菱形，即由D选项中的条件能够判定四边形OACB是菱形.

故选C.

3、A

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与2的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与2的关系，然后根据对称轴判定b与2的关

系以及2a+b=2；当x=-l时，y=a-b+c；然后由图象确定当x取何值时，y>2.

【详解】

①：对称轴在y轴右侧，

.".asb异号，

：.ab<2,故正确；

b,

②I•对称轴X=_L=l，

2a+b=2；故正确;

③：2a+b=2,

•当x=-1时，y=a-b+c<2,

.'.a-（-2a）+c=3a+c<2,故错误；

④根据图示知，当m=l时，有最大值；

当mrl时，有am2+bm+c<a+b+c,

所以a+bNm（am+b）（m为实数）.

故正确.

⑤如图，当-l<x<3时，y不只是大于2.

故错误.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定

抛物线的开口方向，当a>2时，抛物线向上开口；当a<2时，抛物线向下开口；②一次项

系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>2）,对称轴在y轴

左；当a与b异号时（即ab<2）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③常数项c决定抛

物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（2,c）.

4、B

【解析】

连接DF,在向△0CE中，利用勾股定理求出CF的长度，则EF的长度可求.

【详解】

连接DF,

四边形ABCD是矩形

AB=CD=BE=12,AD=BC=DF=13

在RfADCF中,NC=90°

:.CF=，DFT-CDZ=,132-12==5

•.•EC=BC-8E=13—12=1

:.EF=CF-EC=5-1=4

故选：B.

【点睛】

本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.

5、D

【解析】

首先根据有理数a,b在数轴上的位置判断出a、b两数的符号，从而确定答案.

【详解】

由数轴可知：a<O<b,a<-l,0<b<l,

所以,A.a+b<0,故原选项错误；

B.abVO,故原选项错误；

C.a-b<0,故原选项错误；

立一。一匕>0,正确.

故选D.

【点睛】

本题考查了数轴及有理数的乘法，数轴上的数：右边的数总是大于左边的数，从而确定a,b的大小关系.

6、D

【解析】

根据特殊角三角函数值，可得答案.

【详解】

解：330。=叵,

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

7、C

【解析】

连接AE,OD,OE.

AB是直径，ZAEB=90°.

又♦.NBED=120°,AZAED=30°./.ZAOD=2ZAED=60°.

VOA=OD....△AOD是等边三角形..,.ZA=60°.

又♦.,点E为BC的中点，ZAED=90°,；.AB=AC.

AABC是等边三角形，

...△EDC是等边三角形，且边长是△ABC边长的一半2,高是了.

.,.ZBOE=ZEOD=60°,ABE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE围成的部分的面积.

...阴影部分的面积=S=l-2-V3=V3.故选C.

AEDC2

8、D

【解析】

根据对顶角的定义，平行线的性质以及正五边形的内角及镶嵌的知识，逐一判断.

【详解】

解：①对顶角有位置及大小关系的要求，相等的角不一定是对顶角，故为假命题；

②只有当两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故为假命题；

③正五边形的内角和为540。，则其内角为108。，而360。并不是108。的整数倍，不能进行平面镶嵌，故为假命题；

④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故为假命题.

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题与证明.对顶角，垂线，同位角，镶嵌的相关概念.关键是熟悉这些概念，正确判断.

9、A

【解析】

由BD是/ABC的角平分线，根据角平分线定义得到一对角NABD与NCBD相等，然后由DC〃AB,根据两直线平

行，得到一对内错角NABD与NCDB相等，利用等量代换得到NDBC=NCDB,再根据等角对等边得到BC=CD,从

而得到正确的选项.

【详解】

VBD是NABC的角平分线，

.\ZABD=ZCBD,

又・DC〃AB,

.\ZABD=ZCDB,

AZCBD=ZCDB,

ABC=CD.

故选A.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质.学生在做题时，若遇到两直线平行，往往要想到用两直线平行得

同位角或内错角相等，借助转化的数学思想解决问题.这是一道较易的证明题，锻炼了学生的逻辑思维能力.

10、B

【解析】

•.•①-(-2)=2；②一卜2|=-2；③-22=-4；④(-2)2=4；

上述各式中计算结果为负数的有2个.

故选B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、4

【解析】

由OP平分NAOB,ZAOB=60°,CP=2,CP〃OA,易得△OCP是等腰三角形，ZCOP=30°,又由含30。角的直角

三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得

DM的长.

【详解】

VOP平分NAOB,NAOB=60。，

..ZAOP=ZCOP=30°,

.CP〃OA,

..ZAOP=ZCPO,

ZCOP=ZCPO,

.,.OC=CP=2,

VZPCE=ZAOB=60°,PE±OB,

；・ZCPE=30°,

CE=-CP=\,

2

/.PE=Jc尸2—9=事,

OP=2PE=2/

•.•PDLOA,点M是OP的中点，

DM=g()P=G

故答案为：73.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30。直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中，

属于中考常见题型，求出OP的长是解题关键.

12、1.1

【解析】

求出EC,根据菱形的性质得出AD〃BC,得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可.

【详解】

VDE=1,DC=3,

/.EC=3-1=2,

•.•四边形ABCD是菱形，

：.AD〃BC,

.,.△DEF^ACEB,

.DF_DE

DF1

••―,

32

.,.DF=1.1,

故答案为1.1.

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEFs^CEB,然后根据相似三角形的

性质可求解.

2

⑶3

【解析】

根据概率的概念直接求得.

【详解】

2

解：4-5-6=—.

2

故答案为：

【点睛】

本题用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14、1

【解析】

首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACO^ABKO,然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3,即

可得OF：CF=OF：BF=1：1,在RtAOBF中，即可求得tan/BOF的值，继而求得答案.

【详解】

四边形BCEK是正方形，

11

AKF=CF=-CK,BF=-BE,CK=BE,BE±CK,

22

..BF=CF,

根据题意得：AC〃BK,

.".△ACO^ABKO,

AKO：CO=BK：AC=1：3,

AKO：KF=1：1,

11

.".KO=OF=-CF=-BF,

22

BF

在RtzxPBF中，tan/BOF=而7=1,

VZAOD=ZBOF,

.\tanZAOD=l.

故答案为1

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义.此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思

想与数形结合思想的应用.

15、x<—7

【解析】

首先去分母进而解出不等式即可.

【详解】

去分母得，l-2x>15

移项得，-2x>15-l

合并同类项得，-2x>14

系数化为1,得xv-7.

故答案为x<-7.

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整

式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以

或除以同一个负数不等号的方向改变.

16、乙

【解析】

X二丙，

...从乙和丙中选择一人参加比赛，

。尸内2,

选择乙参赛，

故答案是：乙.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）证明见解析；（2）9%7-3n

【解析】

试题分析：（1）、连接OD,根据平行四边形的性质得出NAOC=/OBE,ZCOD=ZODB,结合OB=OD得出

ZDOC=ZAOC,从而证明出ACOD和^COA全等，从而的得出答案；（2）、首先根据题意得出△OBD为等边三角形,

根据等边三角形的性质得出EC=ED=BO=DB,根据RtAAOC的勾股定理得出AC的长度，然后根据阴影部分的面积

等于两个^AOC的面积减去扇形OAD的面积得出答案.

试题解析：(1)如图连接。。.

•.,四边形。BEC是平行四边形，：.OC//BE,：.ZAOC=ZOBE,ZCOD=ZODB,

•：OB=OD,：.ZOBD=ZODB,：.ZDOC=ZAOC,

"oc=oc

在△CO。和△C04中，，/COD=/COA,：./\COD^/\COA,：.ZCDO=ZCAO=90°,

,OD=OA

：.CF±OD,：.CF是。。的切线.

(2)VZF=30°,ZODF=90°,：.ZDOF=ZAOC=ZCOD=60°,

“：OD=OB,.•.△030是等边三角形，.•./4=60°,VZ4=ZF+Z1,AZl=Z2=30°,

：EC//OB,：.ZE=180°-Z4=120°,AZ3=180°-ZE-Z2=30°,：.EC=ED=BO=DB,

：EB=6,：.OB=OD=OA=3,在RtZiAOC中，VZOAC=90°,04=3,NAOC=60。，

AC=QA・tan60°=3«，S产区40C7网彩O4D=2x2x3x3e-咛萨-3n.

【解析】

根据实数的性质进行化简即可计算.

【详解】

=10-y/3+2->J?

=10+>/3

【点睛】

此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知实数的性质.

19、(1)50%；(2)今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.

【解析】

(1)设年平均增长率为X,根据“2015年投入资金x(1+增长率)2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；(2)设

今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和N500万”列不

等式求解即可.

【详解】

(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意，

得：1280(1+x)2=1280+1600,

解得：x=0.5或x=-2.25(舍)，

答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；

(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，

得：1000x8x400+(a-1000)x5x400>5000000,

解得:a>1900,

答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.

考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.

7厂

20、(1)(1)A(a,0),B(3,0),D(0,3a).(2)a的值为(3)当2="时，D、O、C、B四点共圆.

【解析】

【分析】(1)根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0,得出A(a,0),B(3,0),与y轴相交，贝ijx=0,得出D(0,

3a).

a+3a+3

(2)根据(1)中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=-y-,AO=a,OD=3a,代入求得顶点C(―

3-ai-6!+33—Cl3-a

[),从而得PB=3---—=一-一',PC=r；再分情况讨论：①当△AODs^BPC时，根据

~T~~T~

a3a

相似三角形性质得3一°(3-aV,解得：a=±3(舍去)；

a3a

_______=____7

②△AODsaCPB,根据相似三角形性质得。丫3-a，解得：a=3(舍)，a广行；

W亍3

33

(3)能；连接BD,取BD中点M,根据已知得D、B、O在以BD为直径，M(-,-a)为圆心的圆上,

若点C也在此圆上，则MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.

【详解】(1)Vy=(x-a)(x-3)(0<a<3)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),

/.A(a,0),B(3,0),

当x=0时，y=3a,

AD(0,3a)；

(2)VA(a,0),B(3,0),D(0,3a).「・对称轴x=---,AO=a,OD=3a,

当*=Q+23时,y=([3—26(V卜

-M2),

2I2J

a+33—ci(3—tzV

22L2J

①当△AODs/^BPC时，

•AO一OD

BPPC

a_3a

即3-a(3-aV,

2I2J

解得：a=±3(舍去)；

②△AODs/\CPB,

.AO_OD

''~CP~~PB'

a3a

即(3-吟23-a,

I2)2

7

解得：a「3(舍)，a2=—.

7

综上所述：a的值为g；

(3)能；连接BD,取BD中点M,

33

：D、B、O三点共圆，且BD为直径,圆心为M(-f]a).

若点C也在此圆上,

化简得：a4-14a2+45=0,

二(a2-5)(a2-9)=0,

/.a2=5或a2=9,

at=y]5ta2=-y/5,a3=3(舍)，a4=-3(舍)，

V0<a<3,

••a=,

...当a=JJ时，D、O、C、B四点共圆.

【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟

练应用相关知识是解题的关键.

21、(1)甲种服装最多购进75件，(2)见解析.

【解析】

(1)设甲种服装购进x件，则乙种服装购进(100-x)件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出

不等式解答即可；

(2)首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案.

【详解】

(1)设购进甲种服装x件，由题意可知:80x+60(100-x)<7500,解得烂75

答：甲种服装最多购进75件，

(2)设总利润为W元，

W=(120-80-a)x+(90-60)(100-x)

即w=(10-a)x+1.

①当0<a<10时，10-a>0,W随x增大而增大，

...当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；

②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；

③当10<a<20时，10-a<0,W随x增大而减小.

当x=65时，W有最大值,即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，以及一次函数的性质，正确利用x表示出利润是关键.

5

22、(1)见解析(2)-

4

【解析】

(1)连接OE,BE,因为DE=EF,所以DE=FE，从而易证/OEB=NDBE,所以OE〃BC,从可证明BC_LAC；

OEr3

(2)设。O的半径为r,贝ijAO=5-r,在RSAOE中，sinA=—=--=下，从而可求出r的值.

OA5-r5

【详解】

解：(1)连接OE,BE,

VDE=EF,

•••DE=FE

.\ZOBE=ZDBE

VOE=OB,

.\ZOEB=ZOBE

.,•ZOEB=ZDBE,

..OE〃BC

与边AC相切于点E,

AOE1AC

ABC±AC

ZC=90°

3

(2)在AABC,ZC=90°,