2024年“极光杯”线上测试（二） 试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.若2=sin工+icos二,贝！

33

A.1B.-1C.iD.-i

2.设｛%｝是公差不为0的等差数列,。2，〃4，为成等比数列，贝

a5

A.3B.—D.2

2

3.已知正方体4BCO-4与。14，平面4月。与平面的交线为/,则

A.IllA、DB.IllBXDC.l//C{DD.l//DxD

4.若函数/(%)=b4、+(2"1).2%有最小值，贝心的取值范围是

A.(0,万)B.(0,—]C.(—,+oo)D.[—,+oo)

5.设x,y,zG(0,—)，(sinx+cosx)(siny+2cosy)(sinz+3cosz)=10,贝！J

TCTC7TTC

A.—<x<y<zB.—=x<y<zC.—>x>y>zD.-=x>y>z

4444

6.向量a,8满足传|=1,<«+/>,«+26)=30°,贝lj|a|的取值范围是

A.[V2-1,V2+1]B.[V3-1,V3+1]C.[V5-1,75+1]D.[76-1,76+1]

7.暗箱中有编号为1,2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分,

并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球.记摸球停止时

总得分为X,则E(X)=

A.3B.4C.5D.6

数学试题第1页（共4页）

二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正

确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。

8.对于数集Z,B,它们的Descartes积4x3={(x,y)|X©4了e团，则

A.AxB=BxAB.若贝U(4x3)屋(CxB)

C./x(8nC)=(/x3)n(/xC)D.集合{0}xR表示了轴所在直线

E.集合/x/表示正方形区域(含边界)

9.已知直线y=©x-l)经过抛物线C:/=2px(p>0)的焦点尸，与C交于M,N两

点，与C的准线交于尸点，若|荷|,|而|而|成等差数列，则

A.p=2B.FP^NF

C.FN=3MFD.k=43

E.|而|=8

10.存在定义域为R的函数/(x)满足

A./(x)是增函数，/[/(x)]也是增函数

B./(x)是减函数，/[/(x)]也是减函数

C.对任意的aeR,f(a)手a,但/"(x)]=x

D./(x)是奇函数，但/"(x)]是偶函数

E./(x)的导函数r(x)的定义域也是R,且/[/(x)]=-x

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

11.曲线y=Vi二I在点(jf处的切线方程是.

12.写出一个正整数〃>1,使得(盯+己)”的展开式中存在常数项：.

yjX

2

13.设双曲线。:一一4=1(°>0)的左、右焦点分别为公，尸2，出厂,|=6,点尸在C

a

的右支上，当期，桃时，|「片川桃匚________；当尸运动时，|因|+^^的

IPF]I

最小值为.

数学试题第2页(共4页)

14.已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90。的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面

积为2兀，则该圆台体积的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(10分)

在/\ABC中，sin(4+—)sin(5+—)=cosAcosB.

44

(1)求C；

(2)若AB=C,求5-在的最小值.

16.(10分)

已知数列｛an｝和｛6“｝满足sina“+]=sinan+cos”,cos6„+1=cosbn-sin%.

2222

(1)证明：sinan+l+cosbn+l=2(sinan+cosbn)；

(2)是否存在内,*使得数列｛sin2a,+cos26“｝是等比数列？说明理由.

17.(15分)

设a>0,函数/(x)=x"Inx.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)Wx,求。的取值范围；

(3)若f'(x)<1,求a.

18.(15分)

已知二面角a-/-夕，点尸ea,尸与棱/的距离为相，与半平面力所在平面的距

离为3.

(1)求二面角a-1-/的余弦值；

(2)设Bel,AB=\,动点Qe夕，满足尸。=5.

(i)求。运动轨迹的长度；

(ii)求四面体P-Q/3体积的最大可能值.

数学试题第3页(共4页)

19.(15分)

设离散型随机变量£和丫有相同的可能取值，它们的分布列分别为尸(X=。斤)=/，

nn

P(Y=ak)=yk,丫女>0,yk>0,k=1,2,…，n,2、左=2y后指标0(X||y)可

k=ik=i

用来刻画x和y的相似程度，其定义为。(XIIy)=In至.

Myk

设X〜B(n,p),0<p<l.

(1)若丫〜5(〃应),0<q<l,求Z)(X||y)；

(2)若"=2,尸(y=左一i)=g,k=\,2,3,求D(x||y)的最小值；

(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量y,证明：D(X\\Y)>0,并指出取等

号的充要条件.

20.（15分）

本题分I、n两部分，考生任选其中一部分作答.若多选，则按照I部分计分.

I.(1)如图1,点/在直线/外，仅利用圆规和无刻度直尺，作直线(保留作

图痕迹，不需说明作图步骤).

(2)证明：一簇平行直线被椭圆所截弦的中点的轨迹是一条线段(不含端点)；

(3)如图2是一个椭圆C,仅利用圆规和无刻度直尺，作出C的两个焦点，简要

说明作图步骤.

22

II.已知点/(4,7),集合5={(》/)|上+1-«1},点尸€5,且对于S中任何异于尸的

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点。，都有标•所>0.

22

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