2024年新高中数学考试大题训练-三角形面积公式（答案版）

第4讲三角形面积公式

1.(2023•全国•统考高考真题)设。>0,函数/(x)=2|x-a|-a.

⑴求不等式人力。的解集;

⑵若曲线y=/(x)与x轴所围成的图形的面积为2,求

2.(2023・全国•模拟预测)己知二ABC的外心为0,M,N为线段AB,AC上的两点，且0

恰为肱V中点.

⑴证明：I4WWMBH4VWNCI

(2)若|AO|=否，\OM\=1,求沁的最大值.

3.(2023•青海西宁・统考二模)如图，在A6C中，。是8c边上的一点，a=ZBAD,

尸=ZDAC.

(2)若O为靠近8的三等分点，AB=2小，AC=2,。=90。,/R4C为钝角，求三博.

4.(2023・全国•高三专题练习)在R4B中，PA=PB,点、C,。分别在尸3,PA边上.

TT

(1)若NAP8=§,CD=\,求PCD面积的最大值；

⑵设四边形ABCD的外接圆半径为R,若/APBe且4?.3cCDD4的最大

4

值为求R的值.

5.(2023•全国•高三专题练习)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

43asinB=2/7cos2'十。.

2

⑴求角A的大小；

(2)若3C边上的中线AT>=1,求12ylBC面积的最大值.

6.(2023•北京•高三专题练习)如图，在ABC中，AC=4也，C=：,点。在边BC上，

6

cosZADB=

3

A

⑴求AD的长；

(2)若△AB。的面积为2亚，求AB的长.

7.(2023春・广东佛山・高一南海中学校考阶段练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边

分别为。，b,c,且石(ocosC-6)=csinA.

⑴求角A；

⑵若为边上中线，AD=^-,AB=5,求△ABC的面积.

2

8.(2023春•高一单元测试)在，ABC中，a,b,c分别是二A6C的内角A,B,C所对

>»、_Lnba-c

的边，且----------=-----------.

sinA+sinCsinB-sinC

(1)求角A的大小；

(2)记:ASC的面积为S,^BM=\MC,求匹［的最小值.

2c

9.(2023・重庆•统考模拟预测)在平面四边形ASCZ)中,

ZA=90°,ND=60°,AC=6,CD=36.

⑴求..ACD的面积；

93

(2)若cos/AC2=一，求A2+—2C的值；

164

10.(2023春•辽宁本溪•高一校考期中)已知J1BC的内角A,B,C所对的边分别为a,

b,c,且c=26-2acosC.

⑴求角A；

⑵若M为3c的中点，AM=杷,求,ASC面积的最大值.

11.(2023•吉林白山•抚松县第一中学校考模拟预测)在①

(…)sin(A+3HT)(sinA+s皿②2S=aA-BC；③bcosCw¥csinB；

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在.ABC中，角

A、B、C的对边分别为。，瓦c,且_____.

⑴求角8的大小；

(2)AC边上的中线3。=2,求ABC的面积的最大值.

12.(2023•江苏南通・江苏省如皋中学校考模拟预测)如图，平面四边形A5CQ中，AD=5,

CD=3,ZADC=120°.ABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且满足

Q+b_sinA—sinC

csinA-sinB

⑴求四边形ABC。的外接圆半径R；

(2)求_ABC内切圆半径厂的取值范围.

13.(2023春•辽宁沈阳•高一沈阳市第一二O中学校考阶段练习)在AABC中，

A/3sin^B+^=-cos^B+^.

⑴求B的值；

(2)给出以下三个条件：①/一斤+°2+3°=0；②a=C，b=l；③$小鼠="¥，若

这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

(i)求sinA的值；

(ii)求/ABC的角平分线2。的长.

14.(2023春•江苏无锡・高一锡东高中校考期中)在.ASC中，角A,8,C所对的边分别

为a,b,c,且b,cosA-c—a

2

⑴求角B;

⑵若sABC的面积为26，8c边上的高AH=1,求6,c的值.

15.(2023春•四川泸州•高一四川省泸县第四中学校考期末)记J1BC的内角A,B,C

的对边分别为。，b,c.已知sinC=2sinAsinB,点。在边A3上，且CD_LAB

⑴证明：。=卜；

⑵若/+尸=质必，求—ACB.

16.(2023•全国•高一专题练习)ABC的内角A,B,C所对的边分别为名瓦。，。=6,

Z?+12cosB=2c.

⑴求A的大小；

(2)M为ABC内一点，A"的延长线交3C于点。，,求ABC的面积.

请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使..ABC存在，并解决问题.

①M为ABC的外心，AM=4；

②M为ABC的垂心，MD=6

③V为ABC的内心，AD=3回

17.(2020秋.辽宁大连•高三大连八中校考阶段练习)在11ABe中，角A,B,C的对边分

别为a,6,c,_1.«-ZJCOSC=A/3CsinB.

⑴求B；

(2)若a=2,且ABC为锐角三角形，求ABC的面积S的取值范围.

18.(2023春•河南周口•高一周口恒大中学校考阶段练习)在ABC中，角A,3,C的对

边分另I」a,b,c,cosCsinA+-sinCsinA-.

⑴求B；

(2)若ASC的周长为4,面积为且，求江

3

19.(2022秋・湖南岳阳•高三校考阶段练习)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,且〃sinC=V^csin'十°

2

(1)求角A的大小；

71

⑵若点。在边5。上，且CD=3&)=3,/BAD=—,求△A3C的面积.

6

20.(2023・福建福州•福州三中校考模拟预测)在ABC中，内角A,B,。所对的边分

别为。，b,c,且一=tanB+tanA.

acosB

⑴求A;

(2)若D为BC上一点,且8C=35D=^A3,AD=3,求ABC的面积.

参考答案:

1.（i）（f,3d

⑵2

【分析】(1)分和尤＞。讨论即可；

(2)写出分段函数，画出草图，表达面积解方程即可.

【详解】(1)若则/(无)=2a-2x-a＜尤，

即3x＞a,解得尤＞三,即

若x＞。厕f（x）=2x-2a-a＜x,

角军得xV3々，即av%v3a,

综上，不等式的解集为［

—2x+ax<a

（2）/（%）=9

2x-3a,x>a

画出了(x)的草图，则/⑴与X轴围成ABC,

ABC的高为。4刊，5屋，°｝所以|明=。,

所以5^^=；148因=；"=2,解得。=2.

【分析】(1)设4^=%,3Af=M，/W=X2，CN=y2，利用余弦定理求得cosNAMO,cosZ.BMO,再根据

cosZAMO+cosZBMO=0,化简，可求得再％,同理可求得超为，即可得证；

(2)利用余弦定理求得cosNAOA/,cosZAON,再根据cosZAQH+cosZAQV=0结合(1)求得1：+4,

设〃=/=自，可求得彳+〃，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.

【详解】(1)证明：设AM=%,BM=%,4V=%,CN=%,

y^+OM2-BO2

由余弦定理知：cosNAM0='j+一二」。cosZBMO=

2yl-OM

由。是一ABC外心知AO=BO=CO9

而cosZAMO+cosZBMO=0,

,X^+OM2-AO2y^+OM2-BO2

所以'------------+—------------=0n，

“'八2xcOM2yxOM

即(石％+O"-A。"石+%)=0,

而入+乂。0,因止匕MM=4。2—。用2,

同理可知％2%=4。2—。储，

因此占M=%%，

所以|AM|・|M3R4V|.|NC|；

(2)解：由(1)知石%=/％=2,

rh4口六工用斤口//tea/A.O2+OM2—x3AO"+ON2—Xy

由余弦定理知：cosZAOM=------------------cosZAON=-----------------------j

2AOOM2AOON

2

代入cosZAOM+cosZAON=0得+x2=8,

设〃=土,/=①，则…/+立=4,

%%22

114

SAM-BMM=

因止匕S..,.ARAC一(〃+1)(2+1)_]+•

"九4

当且仅当〃=2=2时取到等号，

因此沁的最大值为

\ABC9

3.(1)证明见解析.

(2)273.

【分析】（1）在二54。和二皿）中分别用正弦定理表示出BQ。。，相比即可证明结论；

⑵利用⑴的结论可求得sina乎,继而由余弦定理求得5c的长，即可得DC长,从而求得的的长,

即可求得答案.

BDAB八八ABsina

【详解】（1）证明：在人氏10中,BD=-----------------,

sinZBADsinZBDA----------sinZBDA

DCAC,云ACsin-

在，C4D中,

sinZ£)AC-sinZCDA…-sinZCDA

由于NBDA+ZCDA=180°,故sinNBDA=sinZ.CDA，

ABsina

所以空=sinABDAAB-sin«

mDC^ACsin/?AC-sinZ?,

sinZCDA

(2)因为力=90。，故A4LAC,由—B4C为钝角，故=为锐角,

又灰=ACsin/'且〃为罪近8的二等分点，AB=2址,AC=2,

1112近sina币

故一二--------sma=——，

22sin〃14

故BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos(cr+90)=32+8«xsina=32+8，*x立=36,

14

2_____________

故BC=6,:.OC=§x6=4,则AD=，£>C2—AC?=J16-4=2"

故SArn=-AD-AC=-x2^x2=2^/3.

22

4.(1

⑵:

【分析】(1)利用余弦定理及基本不等式求得PCPD的最大值为1,再利用面积公式即可求解；

(2)由四边形ABCD存在外接圆，知四边形ABCD为等腰梯形，连接AC,设/CBA=6,ZCAB=x,利

用正弦定理，表示AB,BC,C£>,进而利用基本不等式求解.

TT

【详解】(1)由已知NZ)PC=/APB=§,

在,PCD中，利用余弦定理知1=CLP=PC2+PD2-2PCPDcosZPDC,

TT

结合基本不等式有1>2PC-PD-2PC-PDcos-=PCPD,

当且仅当PC=PD=1时，等号成立，即PCPD的最大值为1,

S=-PCPDsin-=—PC-PD<—

RPDCD2344

所以PCD面积的最大值为3

4

(2)四边形ABC。存在外接圆，二/八钻+"08=万

又PA=PB,:.ZDAB=NCBA,:.NCBA+/DCB=兀，

:.ABHCD,所以四边形ABC。为等腰梯形，

连接AC,设NCBA=6,ZCAB=x,

在484。中，由正弦定理得，二型二2R,

sin(^--x-c/)sinx

BC=2Rsin%,AB=2Rsin(»—X—6)=2Rsin(6>+x)

同理，在.ACD中，由正弦定理得，CD=2Rsin(^-x),

所以AB•BC-CD-DA=16R4sin2xsin(6-x)sin(6+x)

=16R4sin2x(sin2^cos2x-cos2^sin2xj

=16R4sin2x^sin20(^1-sin2x)-cos2Osin?%]

二16R4sin2x^sin23—sin2%)

JT|7T

NAPBe-,TTL:.Q<X<0<—,/.0<sin2x<sin26^

sin2x+(sin26-sin。x|

/.16R4sin2x^sin2^-sin2x)<16R4----------'-----------------=4R"sin,0,

2

当且仅当sin?%=siY8一sinz%,即sin2x=^-sin20

2

,.-.sin2^^-,当且仅当6=工时，等号成立,

4吟43

⑵百

【分析】（1）通过三角恒等变换和正弦定理化简即可.

⑵将中线仞=1转化为向量二的模长，从而求出的最大值，即可求出面积的最大值.

DI

【详解】(1)依题意有瓜sin3=28cos2-------=(1—cosA)。.

2

/.A/3sinAsinB=(1—cosA)sinB,又sin3w0,

/.6sinA=1-cosA,又sin2A+cos2A=1,

解得sinA=^^,cosA=-；，AG(0,7i),

,271

A=—；

3

4DiAT

(2)因为|AO|=|^-|=19\AB+AC\=2,

2

_.___27r--.

所以|+|+2\AB\\AC\COS-=\AB\2+\AC\1-\AB\AC\=4>\AB\\AC\,

••.(IAB||ACI)1mx=4,当且仅当|AB|=|AC|=2时成立，

故，ABC面积的最大值为S=1|AB||AC|sinA=V^.

2

6.⑴AD=3

(2)AB=3

【分析】(1)根据三角形中邻补角互补，cosZA£>B=1,由平方关系得sin/ADC,再结合正弦定理即可求

得的长；

(2)由得面积可得sinNA£>C=sinNAZ>3=2、g,再结合余弦定理即可求得AB的长.

3

【详解】(1)因为NAZM+NADC=7t,所以cos/ADC=-cos/AD2=-;

在AWC中，因为/ADCe(O,7i)

所以sinZADC=-cos?NADC=

ADAC

在△ABD中，由正弦定理得,

sinCsinZADC

4A/2X-

AC-sinC

所以AO==_____2.=3

sinZADC-2V2;

3

(2)△ABD的面积为2正，|OB-DAsinZADB=2^

因为ZAD3+ZAZ)C=7i,所以sinNA£)C=sinNAZ>B=^^

3

又因为AD=3,所以BD=2

在△ABD中，由余弦定理得AB?+

3

所以AB=3.

2兀

7.(Dy

65G

4

【分析】（1）用正弦定理边化角，再用三角恒等变换即可求解;

（2）利用cosNAD3+cosNAr）C=0,分别在△相£＞和八ACD运用余弦定理可得

2a2-4&2+158=0,再在△ABC运用余弦定理得〃+25+5。，两式联立即可求得6=13,最后直接用三

角形面积公式即可求解.

【详解】（1）由正弦定理得目（sinAcosC-sinB）=sinCsinA,

V3sinAcosC-百sinB=sinCsinA,

6sinAcosC-5/3sin(A+C)=sinCsinA,

-^3sinCcosA=sinAsinC，

•sinCW0,♦•tanA——A/3,

27r

X*•,0<A<7i,A,

(2)由已知得AC=b,BD=DC=~,

2

3-2529+2

在△的中，由余弦定理得"SNA如不翦二号,

2x—x-------

22

2

129a,2

才十7一匕29+〃2_如2

在△ACO中，由余弦定理得COS/A0C=-4—

a<1292A/129«

2x—x-------

22

又cosZADB+cosZADC-0,

2Q2—4匕2+158=0,

在aABC中，由余弦定理得/=〃+25+58,

以上两式消去标得人2一5。-1（）4=0,解得b=13或万=—8（舍去）,

贝ijsMC=gbc•sinABAC=.

8.(l)A=j

⑵：出

【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果;

12I|2

（2）根据题意可得，AM=-AC+-ABf然后得到,再由三角形的面积公式可得S,最后结合基本

不等式即可得到结果.

bu—csinB-sinCa-c

【详解】（1）因为即

sinA+sinCsinB-sinCsinA+sinC~~b~

b-ca-c

由正弦定理可得,，化简可得〃2=/+。2一儿,

a+cb

且由余弦定理可得，a2=b2+c2-2/?ccosA,所以cosA=g,

2

且A«0㈤，所以

所以|阿2=，心］“三时+［时网5+*可=#+#+|历

且S=—bcsinA=^-bc,

24

Ii2172422］4j21

即丁一一E--刀『一V,

——be——be

44

当且仅当;62

-c,即b=2c时，等号成立.

(\-|2A

\AM\

所以

\7min

9⑴273+27"

(2)8.

【分析】（1）在二ACD中，由余弦定理求得得A£）,再根据三角形的面积公式可求得答案;

（2）在［ACD中，由正弦定理求得sin4MC,再由正弦和角公式求得sinB,在4ABe中，根据正弦定理

求得AB,BC,由此可求得答案.

CD?+A》一心27+A£>2-36_1

【详解】（1）解：在ACD中，ZD=60。,AC=6,3有，所以cos。=

~2ADCD2-AD-3y/3

解得3T一舍去）,

所以“D」皿。.sin〃=L3岳3死§氐电=27427s

ACD22228

⑵解：在“8中，〃=6。。,心6。=3G所以签=/^'即五二嬴2即，解得

2

3

sinZDAC=-

4

又NA=90°,所以cosNCAB=cos-ZDAC=sinZDAC=—,所以sin/CAB=,

44

又cosNACB=J,所以sin/AC8=侦，

1616

所以sin3=sin]万一(ZACB+ZC4B)]=sin(ZACB+ZCAB)

=sinZACBcosZCAB+cosZACBsinZCAB

=，近+旦3=近,

4164168

ABBC6

ABBC

在《ABC中,,牌5币一百一3币，

sinZACB-sinZCABsmB——————

所以AB=§币x6x—=5,BC=x6x—=4，

163V743<7

33

所以AB+—5C=5+—x4=8.

44

IT

10.⑴A=g

(2)73

【分析】(1)解法一：根据正弦定理边化角求解即可；

解法二：利用余弦定理将cosC用边表示再化简即可；

(2)解法一：根据基底向量的方法得AM=；(AB+AC),两边平方化简后可得k+c?=12-根，再结合基

本不等式与面积公式求面积最大值即可；

解法二：i^BM=MC=m,再分别在二ABN,Z\ACM和ABC中用余弦定理，cosZAMB+cosZAMC=0

可得〃+/=12-儿，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可

【详解】(1)解法一：因为。=2〃-2acosC,

由正弦定理得：sinC=2sinB—2sinAcosC,

所以sinC=2sin(A+C)-2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-2sinAcosC=2cosAsinC,

因为sinCwO,

所以2cosA=1,cosA,

2

为0<4<兀，

所以A=

解法二：因为c=2〃-2acosC,

^272_2

由余弦定理得：c=2b-2a•巴上―

2ab

整理得历=/+。2一/，

即a2=b2+c2-be，

又由余弦定理得a?=Z?2+c2—2Z?ccosA

所以2cosA=1,cosA,

2

因为0<A<兀,

所以A=*

(2)解法一：因为M为5c的中点,

1

所以AM=e(A3+AC),

21/2.2\

所以AM+2ABAC+ACj,

即3=；卜+b2+2bc.cos?：

即b2+c2=T2-bc，

而廿+0&22历,

所以12-6c22Z?c即6cW4,当且仅当6=c=2时等号成立

所以ABC的面积为=4csinAV」x4xY^w6.

we222

即；ABC的面积的最大值为6.

解法二：设BM=MC=m,

在&ABA/中，由余弦定理得C?=3+川一2XA/^XCOSN4WB,①

在△ACM中，由余弦定理得"=3+m2-2x6xcosNAMC,②

因为ZAMB+ZAMC=7t,所以8SZAMB+COS^4MC=0

所以①+②式得廿+C2=6+2).③

在，ABC中，由余弦定理得4M=廿+c2-2x历cosA，

而A=g,所以4m2=b2+c2-be>④

22

联立③④得：2/+2C2—12=/+C2—Z?C，BPb+c=12-bc,

而廿+/226。,

所以12-6c22Z?c,BPZ?c<4,当且仅当匕=c=2时等号成立.

所以「.ABC的面积为S4ABC=g8csinAwgx4x等wg.

即一ABC的面积的最大值为6.

H.(I)个

⑵拽

3

【分析】(1)由诱导公式和正弦定理化简，由余弦定理求出角8的大小；

(2)利用平面向量的模长以及余弦定理，结合基本不等式，可得，ABC的面积的最大值.

【详解】（1）若选①在ABC中，因为sin（A+5）=sin（兀一C）=sinC,

故由（。_。）5皿4+5）=（。_。）卜11124+$1113）可得（0_0）51110=（々_人）（5111y1+51113）

由正弦定理得c(a—C)=(〃—为(〃+8),BPc2+a2-b2=ac.

1TT

则cosB=—,又0<5<兀，故8=}.

23

选②2s=6♦BA.BC,acsinB=6accosB，**•tanB=BG(0,K),=y-

选③由6cosc=a-迫csin8及正弦定理.sinBcosC=sinA--sinCsinB.

33

XA=TI-(B+C),所以sinBcosC=sin(5+C)—/sinCsinB.

即5111。858—^^11。5由3=0,因为0<。<兀，sinCwO,所以tan3=g.

3

TT

又0<5<兀，得B=g.

综上所述：选择①②③，都有3=m.

16

(2)2BD=BA+BCn4忸叶=c2+a2+2ctzcosB16=c2+a2+ca>3ca=>CQW

T

又S*=*a&W~（当且仅当c=〃=孚时取等）

ABC的面积的最大值为迪

3

12.(1)R=友

3

TT

【分析】（1）利用余弦定理求出AC=7,再利用正弦定理和余弦定理求得8=],进而得到A,B,C,。四

点共圆，利用正弦理即可求解.

'=Jl（"+c-7），然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函

（2）结合（1）的结论和正弦定理可得:

数的图像和性质即可求解.

【详解】(1)在二ACD中，AC2=AD2+£)C2-2AD-DCcos120°=49,

a+bsinA-sinCa-c

所以AC=7,由正弦定理,，可得/=/+c2—ac，

csinA-sinBa-b

1JT

再由余弦定理，cos8=—,又3e(0,;r),所以B=—.因为NA£)C=120。，

23

所以ZABC+ZADC=180。，所以A,B,C,。四点共圆，

则四边形ABCD的外接圆半径就等于ABC外接圆的半径.

7_14A/3

p2R=----所以人半

又sinB

(2)由(1)可知：6Z2+c2-ac=49,贝！J(Q+C)?=49+3ac.S钻。=：acsin5=g(a+b+c)",

则「=近欧=)仁3=jc一7).

27+a+c2<37+a+c2V3

在,ABC中，由正弦定理,

ac_b所以叫Msi”,ciinc,

则

sinAsinCsinB333

a+c=14f(sinA+sinC)=14f[sinA+sin(120°-A)]

14A/3

sinA+—cosA+-sinA

322

7

吗—A+旦cosA1

=14sinA-=14sin[A+6

3222J

又Ae(0,芝I，所以TO所以

14sinA+^e(7,14],所以re

2兀

13.(DB=y

(2)正确条件为①③，(i)sinA=?也，(ii)BD^—

148

【分析】(1)利用和角正弦公式可得2sin[B+：J=0,结合三角形内角和性质即可求8的值；

(2)根据条件组合判断出正确条件为①③，(i)应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定

理求sinA；

JT

(ii)由角平分线性质求得ZAB。=§,再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出sin/ADB,再根

据正弦定理求BD的长.

【详解】(1)由题设氐小+小“2+"=2$小+小0,

,兀八兀4兀

而一<3+一<——,

333

所以3+尹兀，故於不

(2)若①②正确，则C2+3C+2=(C+1)(C+2)=0,得C=-1或C=-2,

所以①②有一个错误条件，则③是正确条件,

若②③正确，则SaBc=L"sinC=可得sinC=?>l,即②为错误条件,

△ABC242

综上，正确条件为①③，

(i)Eij2accosB=a2+c2—b1»则。(3-。)=0,即a=3,

又S人画=LcsinB="若,可得c=5,

ABC24

ab14

所以9一/+25+15=0，可得Z?=7,贝1—^=-^=F，

sinAsinB，3

故sinA=;

14

(ii)因为sinA=铤且Aw[o,g],^cosA=71-sin2A=—,

14I3J14

TT

由30平分/ABC得NAB。=§,

sinZA£>B=sin(ZABD+A)=—x—+-x^=^,

在AABD中,

172142147

53

BDA415

在△A3。中，由，得加”

sinAsinZADB

7

14.(1)B=J

o

(2)6=2"c=2

【分析】(1)利用余弦定理角边互化，再利用三角函数的特殊值对应特殊角，结合角的范围即可求解;

(2)根据正弦定理及三角形的面积公式，再利用余弦定理即可求解.

【详解】(1)因为bcosA=c一3°,所以---^L=c一走°

22bc2

所以〃+/—4=2c2—sf^ac，BPc2+a1—b1=#>ac

由余弦定理可得cosB=c~+"i=立,

2ac2

因为8«0,兀)，所以Bq

TT7T

(2)由(1)知，B=~,因为8C边上的高AW=1,所以NAH3=G，

o2

AH

在工ABH中，由正弦定理可得

sinZAHBsin3

AHsin-

A"sin/AHg

即。=2=2.

sin3.71

sin—

6

因为ABC的面积为2vL

11f-厂

所以5收5也3=5。=2括，解得a=4#.

在，ABC中，由余弦定理，得

222

Z,=a+c-2accosB=48+4-2x2x473x^=28,则6=26.

所以匕的值为26，。的值为2.

15.(1)证明见解析

【分析】(1)在RtZ\C£)3中由锐角三角函数，WsinB=——，代入条件sinC=2sinAsin5,由正弦定理角

a

化边得£=2・笠，即证；

aa

(2)由三角形等面积法，得Sac=；MinC=gxcxCD,代入CD=；。可得c?=2〃8sinC;将条件

a+b2=而和c1=2absinC同时代入余弦定理c2=a2+廿一2而cosC,化简后利用辅助角公式得到

sin(c+3=#，即可求解.

CD

【详解】(1)在△CDB中，因为CDLAB,所以sinB=——，

a

又因为sinCuZsinAsinB,所以吧C=2sinB,即"回=2・幺

sinAsinAa

在，ABC中，根据正弦定理，得£=20,故CD=1c.

aa2

(2)在ABC中，S&ABC=ia/?sinC=ixcxC£),

又由(1)知，CD=\c,所以°?=2"sinC,

2

在,ABC中，根据余弦定理，得/=/+加一?而©os。，

又由已知，a2+b2=y/6ab,2absinC=y[6ab-2abcosC,

所以sinC+cosC=~~~，则&sin[c+：)=乎，即sin[c+：)=,，

因为Ce(O,»)，则C+所以c+；=]或C+；=g,

所以C=3或C=兽，

1212

又点。在边A3上，且CD_LAB,CD^-c,

2

7T5左

所以/ACD,/BCD必有一个大于等于f,所以C==.

412

16.(1)A=1

(2)答案见解析

2_办21

【分析】(1)由余弦定理得6+12.=2c,b2+c2-36=2bccosA,可得cosA=—

2ac2

根据Ae(0,;r)可得答案；

(2)选①，设_MC的外接圆半径为R,由正弦定理得R,/为外心得4M=2有，与AM=4盾，故不能

选①.

选②，M为，ABC的垂心得/3MD=ZACB,由BD=^3tanZACB,

CD=y/3tanZACB，BD+CD^6^tanZABC+tanZACB=2^,利用

tan(/A8C+/ACB)=-tan/8AC=-G，求得NABC=/ACF,可得出ABC为等边三角形，再由面积公式

可得答案.

1JT

选③，M为.ABC的内心，所以/A4D=/C4O=—/B4C=—,

26

由"+和正弦定理可得b+c若，结合〃+。2-36=瓦，和面积公式可得答案；

【详解】(1)在ABC中，由余弦定理得cos3=--------------,又因为〃=6,h+12cos5=2。，

lac

^22_r2

所以"12/十。一也=2。,整理得从+，—36=历.

lac

在《ABC中，由余弦定理得〃+02-36=2)ccosA,所以bc=2Z?ccosA,

1

即cosA=±又因为Ae(O/),所以A=g7r.

23

(2)选①，

Be6

设ABC的外接圆半径为R,则在_ABC中，由正弦定理得2"=而］=丁=4括，即尺=2用，因为M为

sm—

3

外心，所以AM=2』，与AM=4盾，故不能选①.

选②，

7171(71)

因为M为ABC的垂心，所以=5-/肘8。=万一W-/ACB=/ACB,

又MD=6,所以在，MBD中，BD=MD-tanZBMD=tanZACB,

同理可得CD=6tanZABC,

又因为8D+CD=6,所以石tan/ABC+石tan/AC2=6,即

tanZABC+tanNACB=2百，

又因为在，ABC中，tan(ZABC+ZACB)=-tanABAC=一«,

tanZABC+tanZACBr-.,,一c

所以--------------------=73,因止匕tan/ABCtan/ACB=3,

1-tanZABCtanZACB

故tanZABC,tanZACB为方程f—2A+3=0两本艮，BPtanZABC=ta