高考数学（理）一轮复习教师用书 第一章 集合与常用逻辑用语

第一章

DIYlZHANG

集合与常用逻辑用语

第1课时集合

基础知识导航____________重温教材扫清盲点

1.元素与集合

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A,记作a£A；若不属于集合A,记作。住A.

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集及其符号表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

2.集合间的基本关系

表示

关系、\^^文字语言记法

集合间A=B或3。

子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

的基本A

关系集合A是集合B的子集，并且8中至少有一个元A8或

真子集

素不属于ABA

集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合8A=B且抜

相等

的每一个元素也都是集合A的元素ASA=8

空集空集是任何集合的子集

空集是任何非空集合的真子集。8且BW。

3.集合的基本运算

(1)三种基本运算的概念及表示

集合的并集集合的交集集合的补集

符号若全集为U,则集合A的补

表示集为「必

图形表

示33BuO

[xlxeA,且xd

意义3xGA,或xd[uA={x|x@U,且依厶}

B}

(2)三种运算的常见性质

®AUB=A^BQA,AHB=A^AQB.

②ACA=A，Ar]0=0.

③AUA=A，AU0=A.

④AC[uA=g,AU[uA=U,Cu([uA)=A.

4.判断下列结论的正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若集合厶={》枚=/},8={y|y=f},C={(X,y)仅=/},则厶,B,C表示同一个

集合.(X)

(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a=A.(X)

(3)若AB,则A=B且

(4)N*NZ.(V)

(5)若ACB=AnC,则B=C.(X)

(6)对于任意两个集合A,8,都有(AnB)=(AUB)成立.(J)

(7)[u(AUB)=([uA)C([uB),]u(ACB)=([(/A)U((>8).(J)

(8)若{fl}={0,1},则x=0,L(X)

⑼{小Wl}={巾Wl}.(J)

(10)若AUB=AUC则8=C.(><)

覆点典例领航核心考点深化突破

考点一集合的概念

1.集合元素的特征

命题点

2.集合表示方法及意义

第一章集合与常用逻辑用语大一轮复习数学（理）例1]（1）已知集合厶=

{0,1,2},则集合B={x—ybWA,yGA}中元素的个数是（）

A.1B.3

C.5D.9

解析：,.,A={0,l,2},，5={x-y|xeA,y£A}={0,-1,-2,1,2},故集合8中有

5个元素.

答案：C

(2)若集合A={xWR|a/—3x+2=0}中只有一个元素，则a=()

99

-B-

A.28

9

C.0D.0或d

o

9

解析：当a=0时，显然成立；当aWO时，/=(—3)2—8a=0,即a=5o.

答案：D

方法引航］(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制

条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.

(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.

跟踪巡航强化训练提升考能

1.已知aWR,若{—1,0,1}=［：,a2,01,贝lja=.

解析：由题意}#0,&W0,次W一］,所以只有a2=1.

当a—l时，：=1,不满足互异性，

答案：一1

2.(2017•福建厦门模拟)已知P={x|2VxVA,xGN},若集合尸中恰有3个元素，

则k的取值范围为.

解析：因为P中恰有3个元素，所以P={3,4,5},故％的取值范围为5VZW6.

答案：(5,6］

考点二集合间的关系及应用

1.判断集合的关系

命题点

2.应用集合的关系

例2](1)设P={y|y=-1+l,xWR},Q={y\y=2x,xGR},则()

A.PQQB.QQP

C.[RPCQD.Q=[RP

解析：因为P={»'=—•?+1,xGR}={y|yWl},Q={y\y=2x,xGR}={y|y>0},

所以〔RP={y|y>l},所以[RPQQ,选C.

答案：c

(2)已知集合厶={卫一2忘％・5},B={x\m+l^x^2m-l),若3QA,则实数机的取

值范围为.

解析：•.•8NA,

①若8=0,则2〃z-lVw+l,此时机V2.

2m~11,

m+12-2,

{2w-l<5.

解得2W"?W3.

由①、②可得，符合题意的实数机的取值范围为(-8,3].

答案：(-8,3]

方法引航]1.集合间基本关系的两种判定方法

(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系

(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系.

2.根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行

分类讨论，做到不漏解.

(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注

意集合中元素的互异性；

(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意

端点值能否取到.

变式巡航强化训练提升考能

1.在本例(1)中，集合尸变为P={y|y=/+1},Q不变，如何选答案.

解析：P={y}y^l},2={y|y>0},J.P^Q,选A.

2.①在本例(2)中，若AU8,如何求〃?的取值范围？

解：若AC8,

日"+1W—2,1mW-3,

则1、即1、

2m—1^5,["?23.

所以m的取值范围为0.

②若将本例(2)中的集合A,B分别更换为A={1,2},

B=[x\^+)nx+1=0,xGR},如何求机的取值范围？

解：(i)若8=0,则/=加2—4<0,解得一2〈加V2;

(苴)若]£8,则12+加+1=0,

解得机=-2,此时8={1},符合题意;

(iii)若2GB,则2?+2机+1=0,

解得加=一方，此时B=12,不合题意.

综上所述，实数m的取值范围为-2,2).

考点三集合的运算

1.数集交、并、补的运算

命题点2.与函数、不等式综合的交、并、补的运算

3.利用集合运算求参数

例3]⑴(2017.山东烟台诊断)若集合厶={-1,0,Ip集合8={y|y=2，，

A],则集合AA8=()

A.1-1,0,11B.|o,I，11

C.《，1}D.{0,1}

解析：B={y\y=2x,xGA}=〈g,1,隹2),所以七，1},故选C.

答案：C

(2)(2017•安徽合肥模拟)已知全集U=R,A={x|x>l},B={^-2x>Q],则[火4

UB)=()

A.{x|xW2}B.{x\x^1}

C.{x|0WxWl}D.{x|0WxW2}

解析：由x2—2x>0得x>2或xVO,即3={%仅<0,或x>2},.".AUB={X|A<0,

或X>1},.•.[u(AU8)={x|0WxWl}.

答案：C

(3)已知集合P={x*Wl},M={a}.若PUM=P,则。的取值范围是()

A.(—8,—1]B.1,+00)

C.-1,1]D.(—8,-1]U1,+°o]

解析：由PUM=P,得M=P.又,.,P={X|X2W1}={X|-1WXW1},，一lWaWl,故

选C.

答案：c

方法引航］(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的

元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注

意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.(3)对于混合运算,

有括号者，先运算括号里面的.

跟踪巡航强化训练提升考能

1.已知集合A={x|-l<x<2},B={x|0<x<3},则AUB=()

A.(-1,3)B.(-1,0)

C.(0,2)D.(2,3)

解析：选A.将集合A与8在数轴上画出(如图).由图可知AUB=(-1,3),故选A.

-1023*

2.已知集合厶={-1,0,4},集合3={x*—2r—3W0,x《N},全集为Z,则图中

阴影部分表示的集合是()

A.{4}B.{4,-1}

C.{4,5}D.{-1,0}

解析：B={X|X2-2X-3^0,X£N}={X|-1«,XCN}={0,1,2,3},阴影部分为

An（［z3）={4,-1}.

答案：B

3.（2017•宁夏银川一中模拟）已知集合4={a,b,2},3={2,炉2a},且4nB=AU

B,则a=

。=2。,a=0,

解析：因为AnB=AUB,所以A=8,则，，解得彳或

［b=b~,b=2ab=l.

所以a的值为0或点

答案：0或1

智能提升返航特色展示体验咼考

易错警示］

空集的呐喊——勿忘我

空集是任何集合的子集，即对于任一集合4有。=4空集是任何非空集合的真子

集.当遇到“AU8”时，要注意是否需要讨论A=。或AW。两种情况，即“。优先

原则”.

典例］若集合P={x*+尤一6=0},5={可"+1=0},且SCP,则由a的可取值

组成的集合为.

正解］P={-3,2}.当a=0时，5=0,满足

当aWO时，方程ax+l=0的解集为x=—*

为满足S=P可使一(=一3或一(=2,

°1.1

即Q=g或〃=_］,

故所求集合为1o,1,—1j.

答案］［o,/

易误］在解答本题时，易出现两个典型错误.一是易忽略对空集的讨论，如5=0

时，a=0;二是易忽略对字母的讨论.如一(可以为一3或2.

警示］(1)从集合的关系看，S=P,则S=0或SW。，勿遗忘S=0的情况.

(2)对含字母的问题，注意分类讨论.

高考真题体验］

1.(2016.高考全国甲卷)已知集合厶={1,2,3},B={x\x1<9},则AC3=()

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}

C.{1,2,3}D.{1,2}

解析：选析..'8={X|X2V9}={X|-3VXV3}.又4={1,2,3},.*.ADB={1,2}.

2.(2016•高考全国乙卷)设集合A={1,3,5,7},5={x|24W5},则AC3=()

A.{1,3}B.{3,5}

C.{5,7}D.{157}

解析：选B.A={1,3,5,7},8={2,3,4,5},

：.AQB={3,5}.

3.(2016・高考全国甲卷)已知集合厶={1,2,3},8={x|(x+lXx—2)V0,x《Z},则A

UB=()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,31

解析：选CB={x|-lVxV2,XEZ}={0,1}.又4={1,2,3},/.AUB={0,l,2,3).

4.(2016•高考全国丙卷)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则以8=()

A.{4,8}B.{0,2,6}

C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}

解析：选C.：4={0,2,4,6,8,10},B={4,8},/.CAB={0,2,6,10).

5.(2016.高考浙江卷)已知集合「=口6口1^^忘3},Q={xWR|f24},则PU([R0)

=()

A.2,3]

B.(-2,3]

C.1,2)

D.(一8,-2]UI,+8)

解析：选B.根据补集和并集的概念进行运算，也可以借助数轴求解.

,.•Q={xGR|『24},

，[RQ={xeR|x2V4}={xi-2VxV2}.

•.•P={XGR|1WA<3},

，PU([RQ)=図-2〈尤W3}=(-2,3].

6.(2016.高考山东卷)设集合A={y|y=2x,xWR},8={x|x2-l<0},则AUB=()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,+8)D.(0,+8)

解析：选C.先化简集合A,B,再利用并集的定义求解.

由已知得A={y|y>0},B={x|-l<x<l},则AU8={4r>—1}.故选C.

课时规范训练

A组基础演练

1.已知集合厶={-2,-l,0,l,2},B={x|(x-l)(x+2)<0},则AD8=()

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

解析：选A.由于8={x|-2VxVl},所以AC8={-l,0}.故选A.

2.设集合M={XF=X},N={x|lgxW0},则MUN=()

A.0,1]B.(0,1]

C.0,1)D.(-8,1]

解析：选A「.，M={X|X2=X}={0,1},N={x|lgxWO}={x|OVxWl},.,.MUN=

{x|OWxWl},故选A.

3.已知集合厶=**—"一?》。},B={x|-2WxV2},则ACB=()

A.-2,—1]B.-1,2)

C.-1,1]D.1,2)

解析：选A.由不等式x2—2x—320解得了23或xW-1,因此集合A={x|xW—1或

龙23},又集合3={x|-2WxV2},所以An3={R—2WxW-l},故选A.

4.设集合P={4r>1},Q={4?-x>0},则下列结论正确的是()

A.PQQB.QQP

C.P=QD.PUQ=R

解析：选A.由集合Q={x|f—x>0},知Q={x|x<0或x>1},所以选A.

5.设集合M={0,1,2},N={x*—3x+2W0},则MAN=()

A.{1}B.{2}

C.{0,1}D.{1,2}

解析：选析由已知得N={RlWxW2},VM={0,1,2},：.MHN={\,2},故选D.

6.集合U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={xGZ*—5x+4V0},则[u(AUB)=()

A.{0,1,3,4}B.{1,2,3)

C.{0,4}D.{0}

解析：选C.因为集合8={xGZ*—5x+4V0}={2,3},所以AU8={1,2,3},又全

集U=[0,1,2,3,4},所以[u(AU8)={0,4}.所以选C.

7.已知集合加=3-1Vx<2},N={x|x<a},若MUN,则实数a的取值范围是()

A.(2,+°°)B.2,+8)

C.(—8,-1)D.(—8,-1]

解析：选B.依题意，由A/&N得。22,即所求的实数a的取值范围是2,+°°),

选B.

8.已知全集A={x£N*+2x—3<0},8={y|y=A},则集合8中元素的个数为()

A.2B.3

C.4D.5

解析：选C.依题意得,A={xeN|(x+3)(x-l)W0}={xWN|-3«}={0,l},共

有22=4个子集，因此集合B中元素的个数为4,选C.

9.已知集合4={(0,1)，(1/)，(-1,2)},B={(x,y)|x+y—l=0,x,yWZ},则4nB

解析：A、8都表示点集，AC3即是由A中在直线x+y-l=O上的所有点组成的

集合，代入验证即可.

答案：{(0,1),(-1,2)}

10.已知集合4={1,3,a},B={\,a2-a+l},且则a=.

解析：由层—。+1=3,得。=—i或0=2,经检验符合.由巒—。+1=。，得。=[,

由于集合中不能有相同元素，所以舍去.故〃=一1或2.

答案：一1或2

B组能力突破

1.已知全集。=&集合M={x[(x—l)(x+3)<0},------------------川

N={x||x|Wl},则阴影部分表示的集合是()

A.-1,1)B.(-3,1]

C.(一8,-3)U-1,4-oo)D.(-3,-1)

解析：选D.由题意可知，M={x|-3VxVl},N={x|-lWxWl},二阴影部分表示

的集合为MC([UN)={X|—3VXV-1}.

2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合例={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可以表示

()

A.MCNB.([uM)CN

C.D.([uM)ri([加

解析：选B.MAN={5},A错误；[uM={l,2},([uM)ClN={1,2},B正确；[uN=

{3,4},MC([uN)={3,4},C错误；(1uM)C([uN)=0,D错误.故选B.

3.己知集合4="比=3"+2,/iGN},B={6,8,10,12,14},则集合ACB中元素的

个数为()

A.5B.4

C.3D.2

解析：选D.集合A={x|x=3〃+2,〃GN},当〃=0时，3〃+2=2,当〃=1时，3〃

+2=5,当〃=2时，3/74-2=8,当〃=3时，3〃+2=11,当〃=4时，3〃+2=14,

VB={6,8,10,12,14）,...AnB中元素的个数为2.

4.设集合A={1,2,3},8={2,3,4,5},定义厶。8={（九，y）|xeACB,yGAUB},则

AQB中元素的个数是（）

A.7B.10

C.25D.52

解析：选B.APB={2,3},AU5={1,2,3,4,5},由列举法可知AG)B={(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)},共有10个元素,故选B.

5.已知函数貝x)=12'—I,集合A为函数/U)的定义域，集合8为函数/U)的值域,

则如图所示的阴影部分表示的集合为.

解析：本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示.

要使函数./U)=/2二'—1有意义，

则2-，一120,解得xWO,

所以A=(—8,0].

又函数.*x)=、2r—1的值域3=0,+°°).

所以阴影部分用集合表示为]AUB(ACB)=(-8,0)U(0,+8).

答案：(一8,0)U(0,+8)

6.已知集合厶=図1或彳<5},C={x\-a<x^a+3}.若CCA=C,则。的取值范

围是.

解析：因为CCA=C,所以

_3

①当。=0时，满足C=A,此时一a2a+3,得aW-];

-aVa+3,

一心1,

{a+3V5,

3

解得一—1.

答案：(-8,—J]

第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件

基础知识导航

重温教材扫淸盲点

1.命题

⑴命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语

句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

(2)四种命题及相互关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

2.充分条件'必要条件与充要条件的概念

若p0q,则夕是夕的充分条件，〃是。的必要条件

p是q的充分不必要条件p台q且q=^p

p是q的必要不充分条件p*q且夕=>〃

p是q的充要条件p^q

p是q的既不充分也不必要条件p*q且q±p

3.判断下列结论的正误(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)“f+2x—3V0”是命题.(X)

(2)命题“若p,则/'的否命题是“若p,则繰q”.(X)

(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.(J)

(4)当今是p的必要条件时，〃是q的充分条件.(J)

(5)当〃是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.(J)

(6均不是0的必要条件时，“pRq”成立.(J)

(7)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题.(J)

(8)若p是q的充分不必要条件，则繰p是繰q的必要不充分条件.(J)

(9)命题“若x2—1=0,则x=1或x=-1"的否命题为：若1W0,则xWl或x#

-l.(X)

(10)ti(2x-l)x=0>>是“x=0”的必要不充分条

件・(J)

考点典例领航核心考点深化突破

考点一四种命题及其关系

命题点1.命题的改写2.命题的真假判定

例1]⑴命题“若则。-1>8一1”的否命题是()

A.若a>b,贝!]“一1W。一1B.若a>b,贝Ua—IV。一1

C.若aW/?,则a—1W/?-1D.若a〈b,则a—1<Z?—1

解析：根据否命题的定义可知，命题“若a>b,则的否命题应为“若

aWb,则.

答案：C

(2)(2017•宁夏银川模拟)命题“若/+产=0,x,yGR,则x=y=o”的逆否命题是

()

A.若xWyWO,光，yGR,则/+9=0

B.若x=y#O,x,yGR,则/+尸#0

C.若xWO且y#0,x,yGR,则x2+9#：0

D.若xWO或yWO(x,yWR),则f+VWO

解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可.由x=y=O知x=0且y=0,

其否定为xWO或yWO.

答案：D

⑶(2017,山东荷泽模拟)有以下命题：

①“若孙=1,则x,y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；

③“若,危1,则f—2x+加=0有实数解”的逆否命题；

(4)“若ACB=8,则AN8”的逆否命题.

其中正确的命题为()

A.①②B.②③

C.④D.①②③

解析：①“若x,y互为倒数，则孙=1"是真命题；②“面积不相等的三角形一定

不全等”是真命题；③若"zWl,/=4—4〃z20,所以原命题为真命题，故其逆否命

题也是真命题；④由得B=A,所以原命题为假命题，故其逆否命题也

是假命题.故选D.

答案：D

方法引航](1)在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把

原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命

题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆

否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.

(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变.判定命题

为真，必须进行推理证明；若说明为假，只需举出一个反例.互为逆否命题的两个命

题是等价命题.

£艮踪巡航强化训练提升考能

1.原命题是“当c>0时，若a>b,则ac>bc"，其逆否命题是.

解析：“当c>0时”为大前提，其逆否命题为：

当c>0时，若ac^bc,则a&b.

答案：当c>0时，若acWbc,则aWZ?

2.下面是关于复数z=3的四个命题：

p\：|z|=2,

〃2：z2=2i,

P3：z的共辗复数为1+i,

“4：Z的虚部为一1.

其中的真命题为()

A・P2，P3B・pi，pi

C.〃2，P4D.P3，774

解析：选C.z=一]+]=(_]]<_[)_)=_1_i,

所以|z|=6，pi为假命题；Z2=(—1—i)2=(l+i)2=2i,P2为真命题，z=—1+i,

P3为假命题；p4为真命题.故选C.

考点二充分条件与必要辄条件的判断

1.定义法

命题点2.等价命题法

3.集合法

例2](1)“尤>1”是“叱(x+2)V0”的()

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析：•.•414°附(x+2)<0,(x+2)V00x+2>l0>一1,

，“x>l”是(x+2)VO”的充分而不必要条件.

答案：B

(2)(2017•天津调研)"xrl且xW2”是3x+2W0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析：f-3x+2=0,即叩—2)"—1)=0,

'•x=1或x=2.

当x=1或x=2时，x2—3x+2=0,

二"％2—3x+2=0”是“x=l或x=2”的充要条件，那么"xWl且xW2"是

—3x+2W0”的充要条件.

答案：C

(3)设p：\<x<2,q：2X>\,则p是q成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：P集合为(1,2),q集合为(0,+8),pq,故选A.

答案：A

方法引航］(1)定义法：根据〃进行判断.

(2)集合法：根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否

命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法.，①

繰q是繰〃的充分不必要条件今〃是q的充分不必要条件；，②綵q是綠〃的必要不

充分条件台〃是q的必要不充分条件；，③綵q是經p的充要条件台〃是q的充要条

件.

跟踪巡航强化训练提升考能

1.设m匕为正实数，则是“log2a>log2〃>0"的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.y=log2%(x>0)为增函数，当a>b>1时，log2a>log2b>0;反之，若log2a

>log2/?>0,结合对数函数的图象易知a>A>l成立，故是“log2a>

log2/?>0"的充要条件.

2.若〃是q的必要条件，s是g的充分条件，那么下列推理一定正确的是()

A.縛綠sB.p0s

C.締緑sD.練s今繰p

解析：选C.由已知得：q=»p,s=>q,则s今p,由于原命题与逆否命题等价，所以s

今〃等价于綿〃=繰s,故选C.

3.“尤<0”是“ln(x+l)V0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B.由ln(x+l)V0得OVx+lVl,.\-1<%<0^(-1,0)0),

二“xVO"是"ln(x+l)V0”的必要不充分条件.

考点三根据充分、必要条件求参数

命题点求条件或结论中的参数

例3](1)(2017.江西南昌模拟)已知条件p：任一4|W6；条件q：(x—1)2-"wo””>

0),若p是q的充分不必要条件，则机的取值范围是()

A.21,+8)B.9,+8)

C.19,+8)D.(0,+00)

解析：条件p:—2W尤W10,条件q:1—mW龙W机+1,又因为p是q的充分不必要

1—nW—2,

条件，所以有V

.1+〃?210.

解得加29.

答案：B

(2)已知P={4?—8x—20W0},非空集合S={x|l—〃WxWl+m}.若是

的必要条件，则机的取值范围为.

解析：由x2—8x—20W0得一2WxW10,

.•.P={x|-2WxW10},

由xWP是xWS的必要条件，知S=P.

(1-nW1+/”,

则《l—m^—2,.,.0W/nW3.

1+/〃W10,

所以当0W〃zW3时，xGP是xGS的必要条件，即所求机的取值范围是0,3].

答案：0,3]

方法引航]由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题

转化为集合间的子集关系求解.但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端

点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值.

变式巡航强化训练提升考能

1.本例(2)条件不变，问是否存在实数机，使xGP是xWS的充要条件.

解：若XGP是XGS的充要条件，则P=S,

1—m=-2,[m=3,

,•[1+〃2=10,[m=9.

即不存在实数m,使xWP是xWS的充要条件.

2.本例(2)条件不变，若綿尸是綵S的必要不充分条件，求实数〃，的取值范围.

s

_______IPI丨.

1-m—2101+m

解：由例⑵知P={x|-2W尤W10},

•.•繰P是綿S的必要不充分条件，

POS且S0/P.

：.PS

1+机210(m^9,

•<•<

1—mW—2jn，3.

巻jB提升返航特色展示体验高考

思想方法]

集合的关系与充分、必要条件“再牵手”

集合的运算常与充分、必要条件交汇，判断充分、必要条件时，可利用集合的包含

关系.如果是根据充分、必要条件求参数问题，也可以转化为集合的包含关系求解.

典例](20175可南省实验中学模拟)设条件p：|x-2|V3,条件q：0<x<a,其中a

为正常数.若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是()

A.(0,5]B.(0,5)

C.5,+8)D.(5,+°°)

解析］p：|x-2|<3,/.—3<x_2<3,即一l<x<5,

设”=（—1,5）,<7=（°，。），是9的必要不充分条件，

...（0,a）（-1,5）,.\0<a<5.

答案］A

高考真题体验］

1.（2015・高考山东卷）设〃zdR,命题“若机>0,则方程f+x—〃?=0有实根”的

逆否命题是（）

A.若方程f+x—〃2=0有实根，则〃2>0

B.若方程/+x—加=。有实根，则机W0

C.若方程/十工一加=。没有实根，则机>0

D.若方程f+x—〃2=0没有实根，则"?W0

解析：选D.命题“若〃?>0,则方程1+工一加=0有实根”的逆否命题是“若方程

f+x-"?：。没有实根，则〃?W0"，故选D.

2.（2016•高考天津卷）设x>0,yGR,则“x>y”是。>仅|”的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析：选C.令尤=1,y=­2,满足x>y,但不满足又x>|y|2y,成

立，故“x>>”是"X>|W的必要而不充分条件.

3.（2016・高考四川卷）设小实数x,y满足光>1且y>l,q：实数x,y满足光+y

>2,则〃是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.当x>l且y>l时，x+y>2,即〃今q所以充分性成立；

令x=-1,y=4,则x+y>2,但xVl,即q=>p所以必要性不成立，所以p是q

的充分不必要条件.故选A.

4.（2016.高考天津卷）设他”｝是首项为正数的等比数列，公比为4，则“gVO”是“对

任意的正整数〃，。2"7十"2"<0”的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析：选C.a2”-i+a2"=a2"-i（l+q）=aiq2"-2（i+q）vo0《<；—10qVO,故必要性成

立；而qVO今/,〈一1,故充分性不成立.故选C.

5.（2016•高考四川卷）设p：实数x,y满足（x—l）2+（y—l）2W2,q：实数x,y满足

卩2无一1,

“21—x,则p是“的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.如图，命题p表示圆心为（1,1）,半径为色的圆及其内部，命题q表示的

是图中的阴影区域，所以p對，夕0p.故选A.

6.（2016・高考山东卷）已知直线小人分别在两个不同的平面a,夕内.则“直线。

和直线8相交”是“平面a和平面尸相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.若直线用〃相交，设交点为P,则PWa,PWb.又aUa,bu』,所以P

ea,P。,故a,夕相交.反之，若a,4相交，则a,〃可能相交，也可能异面或

平行.故"直线a和直线人相交”是“平面a和平面夕相交”的充分不必要条件.

课时规范训练

A组基础演练

1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）

A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析：选B.依题意得，原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.

2.与命题“若a,Ac成等比数列，则〃=公”等价的命题是（）

A.若a,b,c成等比数列,则"2#比

B.若a,b,c不成等比数列，则左Wac

C.若82=“c,则a,b,c成等比数列

D.若b2半ac,则a,b,c不成等比数列

解析：选D.因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a,8,c成等比数

列,则〃=ac”等价的命题是“若〃工讹，则a,b,c不成等比数列”.

3.若集合A={x[2<x<3},3={x|(x+2)(x—a)<0},则“a=l”是“AC8=0”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.当a=l时，B={x\~2<x<\],满足AA8=0;反之，若ACB=0,只

需aW2即可，故“a=l”是“AC8=0”的充分不必要条件.

4.下列命题中为真命题的是()

A.命题“若无>y,则x>|y|"的逆命题

B.命题“若x>l,则/>1”的否命题

C.命题“若x=l,则/+》一2=0”的否命题

D.命题“若_?>0,则x>l”的逆否命题

解析：选A.A中逆命题为“若则x>y”是真命题；

B中否命题为“若xWl,则是假命题；

C中否命题为“若无#1,则f+x—2W0”是假命题；

D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题.

5.已知条件p：龙W1,条件q：则綵p是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.由x>l得:VI：反过来，由：V1不能得知x>l,即綿"是q的充分不

必要条件，选A.

6.给出命题：若函数y=/(x)是累函数，则函数y=/(x)的图象不过第四象限，在它

的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()

A.3B.2

C.1D.0

解析：选C.原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；

它的逆命题为“若函数y=/(x)的图象不过第四象限，

则函数y=/(x)是赛函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.

因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.

7.函数凡r)=/+mx+l的图象关于直线x=l对称的充要条件是()

A.m=-2B.〃2=2

C.m=~\D.m=\

解析：选A.已知函数凡r)=x2—2x+1的图象关于直线x=1对称，则机=-2;反之

也成立.

所以函数./(x)=jc2+/n¥+1的图象关于直线x=l对称的充要条件是/n=-2.

8.有四个关于三角函数的命题：

pi：sin_x=siny=>x+y=7t或无=y；

pi：VxGR,sin-^+cos2^=l；

〃3：x,yCR,cos(x—y)=cosx—cosy；

、，_「7l~\/1+cos2x

〃4：0,5,A/2=cosx.

其中真命题是()

A.pi,〃3