2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-二次函数综合

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练一二次函数综合

一、单选题

1.新定义：在平面直角坐标系中，对于点P(m,n)和点P(m,nO,若满足mK)时，n-n-4；m

<0时，n，=-n,则称点P(m,n9是点P(m,n)的限变点.例如：点Pi(2,5)的限变点是PJ

(2,1),点P2(-2,3)的限变点是P2'(-2,-3).若点P(m,n)在二次函数y=-x2+4x+2的图象

上，则当-lWmS3时，其限变点P的纵坐标『的取值范围是()

A.-2<n'<2B.l<n'<3C.l<n'<2D.-2<nr<3

2.抛物线y=，-9与x轴交于A、B两点，点P在函数y=§的图象上，若△PAB为直角三

角形，则满足条件的点P的个数为().

A.2个B.3个C.4个D.6个

3.已知二次函数y=ax2+2ax+3a-2(a是常数，且a/))的图象过点M(xi,-1),N(X2,-1),若

MN的长不小于2,则a的取值范围是()

A.aN/B.O〈aS/C.-Sa〈OD.aS-/

4.设一元二次方程(x—l)(x—2)=m(m>0)的两根分别为a,0，且a<夕，则a,

满足()

A.1<a<<2B.1<a<2<p

C.a<1<<2D.avl且夕>2

5.二次函数产ax2+bx+c(ar0)的图象如图所示，下列结论正确的是().

B.abc>O

C.2a+b<0

D.ax2+bx+c=o有两个不相等的实数根

6.如图，抛物线的顶点坐标为(1,-4a),点A(4,yi)是该抛物线上一点，若点B

(X2,”)是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4〃-2/?+c>0；②抛物线y=Q%2+bx+c与X轴交

于点(-1,0),(3,0)；③若*>yi,则％2>4；④若09位4,贝I」-3asy205〃.其中，正确结论的

个数是（)

7.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1,0）,对称轴1如图所示.则下列结论：①

abc>0；②a-b+c=0；③2a+c<0；（4）a+b<0,其中所有正确的结论是（）

A.①③B.②③C.②④D.②③④

8.如图所示，抛物线L：y=ax2+bx+c（a<0）的对称轴为x=5,且与x轴的左交点为（1,0）,贝U下

列说法正确的有（）

①C（9,0）；@b+c>-10；③y的最大值为-16a；④若该抛物线与直线y=8有公共交点，则

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①④

二'填空题

9.当-1W烂1时，二次函数产-（x-m）2+加2+1有最大值4,则实数的值为

10.已知抛物线y=-x?+bx+c（b、c为常数）.

（1）当c=-4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则6=；

(2)当c=2b2时，若在自变量x的值满足bWxWb+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为

18,则b的值____________.

11.如图，在平面直角坐标系中，直线了=触+3交-趣轴于点A,交1轴于点B,抛物线

y=-x2+2x+l与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，

贝CE+EF的最小值为.

12.如图，抛物线丫=1%2-X-|的图象与坐标轴交于A、B、D,顶点为E,以AB为直径画半

圆交y轴的正半轴于点C,圆心为M,P是半圆AB上的一动点，连接EP,N是PE的中点，当P

沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是.

13.将函数y=N-x-2的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的图形是函数y=

|N-X-2］的图象，已知过点0(0,4)的直线>=履+4恰好与>=后-尤-2|的图象只有三个交点，则

k的值为.

14.已知抛物线y=ax?+bx+c(a,b,c是常数)开口向下，过A(-1,0),B(m,0)两点，且1

<m<2.下列四个结论：

①b>0；

②若m=|,则3a+2c<0；

③若点M(xi,yi),N(X2,y2)在抛物线上，xi<xz,且xi+x2>l,则yi>y2；

④当a<-1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=l必有两个不相等的实数根.

其中正确的是(填写序号).

三、综合题

15.已知抛物线氢：y=ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物

线最：y=%2.

(1)直接写出抛物线的的解析式；

(2)如图1,已知抛物线的与x轴交于A,B两点，点A在点B的左侧，点P(|,t)在抛

物线Ci上，QB1PB交抛物线于点Q求点Q的坐标；

(3)已知点E,M在抛物线C2上，EM||久轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与

抛物线C2只有一个公共点(MC与y轴不平行)，直线DE与抛物线交于另一点N.若线段NE=

DE,设点M,N的横坐标分别为m,n,直接写出m和n的数量关系(用含m的式子表示n)

为.

16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a/+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，

A(l,—豆，B(-2,0),其中点A是抛物线丫=。/+历:+。的顶点，交y轴于点D.

图1图2

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP//AD,抛物线交x轴于点C,M为直线

AB下方抛物线上一点，过点M作PC平行线交BP于点N,求MN最大值；

(3)如图2,点Q是抛物线第三象限上一点(不与点B、D重合)，连接BQ,以BQ为边作正方

形BEFQ,当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标.

17.如图，抛物线y=-久2+b%+c与无轴交于A、B两点（B在A的右侧），且与直线y=x+2交

于A、C两点，已知3点的坐标为（6,0）.

⑵点E是线段AC上一点，且满足器，

①若点P为直线AC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为3当f为何值时，△PEA的面积

最大；

②过点E向x轴作垂线，交x轴于点尸，在抛物线上是否存在一点N,使得NNAC=N产即，若

存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-*x2+bx+|与x轴正半轴交于点A,且点A的坐

标为（3,0）,过点A作垂直于x轴的直线LP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m,过点P作

PQL1于点Q,M是直线1上的一点，其纵坐标为—加+|.以PQ,QM为边作矩形PQMN.

（备用图）

（1）求b的值.

(2)当点Q与点M重合时，求m的值.

(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值.

(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取

值范围.

19.已知抛物线y=%2+(1-3m)x-3m,(-^<m<2),直线l\y=(k+l)x—3m+4.

(1)若该抛物线与y轴交点的纵坐标为-4,求该抛物线的顶点坐标；

(2)证明：该抛物线与直线I必有两个交点；

(3)若该抛物线经过点(t,-4),且对任意实数x,不等式%2+(1-3m)x-3m>-4都成

立；当k—2〈久Wk时，该二次函数的最小值为-2k+l.求直线I的解析式.

20.如图，在平面直角坐标系中，经过点4(4,0)的直线AB与y轴交于点B(0,4).经过原点O的

抛物线y=一尤2++c交直线AB于点A,C,抛物线的顶点为D.

(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；

(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN||y轴且MN=2时，求点M的坐标；

(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,Q为顶点的四

边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】-2或2

10.【答案】(1)±4

(2)-2企或3

1L【答案】甘

12.【答案】n

13.【答案】1-2金或-2

14.【答案】①③④

15.【答案】(1)y=(x—1/—4

(2)解：y=(%—I)2—4,

令y=0,(%—I)2—4=0，

解得x-3或久=一1,

0)，B(3,0),

•・•点P(|,t)在抛物线Ci上，

t=(1—I)2—4，解得t=—^，

P&，，

设Q(t，土2—2t—3)，

过点P作PMLx轴交于点M,过点Q作QN工x轴交于点N,如图所示,

•••BQ1BP,

•••乙QBN+乙MBP=乙QBN+乙MQN=90°,

・・・乙BQN=乙PBM,

・•.ABNQ〜APMB,

BM_PM

'''QN~JN9

17

・••2=工,

产一2—33T

•••Q点在第二象限,

：.Q(*，翳)；

(3)n=(1±2V2)m

16.【答案】(1)解：设抛物线解析式为：y=aQ—1)2—2,且过点B(-2,0),

Q

・・・0=9。一,

・1

二・抛物线解析式为：y=*(%—1)2—3=—%—4；

(2)解：由题意可得，D点的坐标为(0,-4)

设函数AD的解析式为y=kx-4

'♦-%=k-4角毕得k=—

I.直线AD的解析式为y=-—4

VBP/7AD

.♦.可设直线BP的解析式为y=-^x+b

AO=-y（-2）+b解得b=-1

二.直线BP的解析式为y=——1

设P点坐标为（t,-t-4）

•••-t—4=-t—1

丁・产—t—6=0

解得t=3或t=-2（舍去）

・・・P点坐标为（3,-|）

;抛物线解析式为y=^%2—%—4

・・・C点坐标为（4,0）

•••PC=J（4-3）2+（一多2=零

过点M作乂£〃*轴交直线BP于E,设M坐标为（m,n）

图1

；.E点的横坐标为-2n-2

:.ME=—2n—2—m

VME^BC,MN〃PC

AZE=ZPBC,NMNE二NBPC

.*.△MNE^ACPB

.MN_ME

**PC—~BC

•*-MN=V，2fpc=_等Q九+2+m)

o12v,

V29,

=——(m+mz—2m—8+2)

-i_乙

V29,

=_]2(mz-m-6)

V291,25「

=-1Tg-2)+通历

故当加=I，MN由最大值段回

(3)(—y/3+If-3)或(2—V10，1—V10)

17.【答案】(1)解：由直线y=%+2可知，当y=0时，x=-2,

・・・4(-2,0)，

将71(-2,0),8(6,0)代入抛物线解析式可得：

t—36+6b+c=0'解何：L=12'

・•・抛物线的解析式为：y=-x2+4%+12；

(2)解：①联立'=—/+：、+12,

(y=x+2

解得：]箕/或

即：点C的坐标为C(5,7),

•.•点E在线段AC上，

.,.设E点坐标为E(a,a+2),

..CE_1

'AE=6'

.AE_6nAEL_36

''AC=7'即n：力=眄'

由两点间距离公式可得：

AC2=98,AE2=2(a+2)2,

2

;.2(a+2)_36,解得:a=4或a=—8(舍)，

98-49

；.E点坐标为E(4,6);

由题思，设P(t,—/+4t+12)，

如图，过点P作直线PMJ_x轴，交直线AC于M点,

.•.设M(t,t+2),

PM=yp一y”=一针+3t+10,

2

,，SAP4E=gPM'(xE—无4)=/X(4+2)X(—t+3t+10)--3(t—1)+'

由二次函数的性质可知，-3<0,抛物线开口向下，

.•.当时，取得最大值；

t=|SAPAE

②存在，N号，苧)或(4,12)

18.【答案】(1)解：把点A(3,0)代入y=一2%2+bK+|,

得至U-1+3b+|=0,

解得：b=l.

(2)解：•抛物线的解析式为y=—*/+%+

13

•~2m2+m+2，

VM,Q重合，

•.312I_i_3

•m+2=~2m+m+2'

解得m=0或4.

(3)解：•・,y=—^x2+x2+|=—^(x—I)2+2,

・・・抛物线的顶点坐标为(1,2),

由题意PQ=MQ,且抛物线的顶点在该正方形内部，

・'・3—mm+23一(一,1租2+租+讶3)且—m+3>2,得,mV--1

解得m=1—V7或m=1+V7(不合题意舍弃)，

•*-m=1—V7

(4)解：当点P在直线1的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函

数值y随x的增大而减小，

贝（J有—m+|<—^m2+m+1,

m2-4m<0,

令w=m2—4m,

由二次函数图象可得：wV0时，0VmV4,

观察图象可知.当0<mV3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而

当3VmV4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，

如图，同理可得：当m>4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4-2中,

综上所述，满足条件的m的值为0<m<3或m>4.

19.【答案】(1)解：依题意可知—3m=—4,

4

贝n

um=-

3

...该抛物线对应的函数解析式为y=/—3久—4=(%—务2—竽，

.•.该抛物线的顶点坐标为I，-令・

(2)证明：将y=(k+l)x-3m+4代入y=/+q-3m)x—3m,

整理得：%2—(fc+3m)x—4=0,

Va=1,b=_(k+3m),c=—4,

Azi=b2—4ac-[-(k+3m)]2-4x(-4)=(k+3m)2+16>0,

・,•该抛物线与直线1必有两个交点；

(3)解：由抛物线经过点且对任意实数x,不等式%2+(1-3m)x-3m>-4都成立,

得抛物线y=/+(1一3m)x-3m的最小值为-4.

Vy=%2+(1—3m)x—3m

1—3m91-3m7

=(%+—2—)~3m~(—2—)

,1—3zn、29m2+6m+l

+二-)------4一

9m2+6m+l

4—4

整理得3m2+2m-5=0,解得：m=l或m=-

..1,,r

•一彳V<2，

|，m=—1舍去，

当m=l时，抛物线的解析式为y=%2-2%-3=(%-I)2—4,

此时抛物线的对称轴为直线x=l,

①当k<l时，抛物线在k一2W%Wk上，函数值y随x的增大而减小，

...当x=k时，丫最小值=e一2k—3,

**•—2k—3——2k+1，

解得：k=—2或k=2(舍去)，

直线1的解析式为y--x+1；

②当fc-2<1<fc时，即1<k<3,抛物线在k-2<x<k上，y最小值=-4,

—4--2k+1,解得k=怖，

直线1的解析式为y=+1;

③当k一2>1时，即k〉1时，抛物线在k-2<x<k上，函数值y随x的增大而增大，

.•.当x=k-2时，y最小值=(k-2)2-2(k-2)-3,

/.(k-2)2-2(k-2)-3=-2k+l,

解得：ki=k2=2,

与k-2>1矛盾，不正确，

综上，直线1的解析式为y=-x+l或y=9X+1.

20.【答案】⑴解：：抛物线y=——+b久+c过点4(4,0),。(0，0),{T6*?：c=°,解得

,二；，...抛物线的表达式为y=—/+4久.

(2)解：设直线AB的解析式为：y=kx+b,\,直线AB经过2(4,0),B(0,4),

••・{曲：[；°，•••{]]],二直线AB的表达式为y=—%+4.

：MN||y轴，可设M(t,—t+4),N(t,-t2+4t),其中0Wt〈4.当M在N点上方时，MN=

-t+4-(-t2+4t)=t2-5t+4=2.解得12(舍去)・

3+严).当M在N点下方时，MN=-t2+4t-(-t+4)=-t2+5t-4=2.解得上=2,Q=

3.；.M2(2,2),M3(3,1).综上所述，满足条件的点M的坐标有三个(史尹，社尹)，

(2,2),(3,1).

（3）解：解：（3）存在.满足条件的点Q的坐标有4个.（5,1）,（-4,—2）,（写1,与匹）,

当x=2时，y=-2+4=2.♦.抛物线的对称轴与直线AB相交于点R(2,2).过点C,A分别作直线

AB的垂线交抛物线于点Pi，P2,VC(1,3),D(2,4),：.CD=&.,CR=V2,RD=

2.V(V2)2+(V2)2=22--,-CD2+CR2=DR2.：.ARCD=90°..•.点Pi与点D重合.当CP1||

AQ1，CP1=AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形.：C(1,3)向右平移1个单位，向上平移1个单位得到

P1(2,