上海市普陀区2023届高三二模数学试题(含答案)

2023届普陀区高三二模考试数学试卷

2023.04

一、填空题

1.设全集U=R,若集合A={x∣∣M之l,x∈R},则A=.

2.函数y=cos2x-sin2X的最小正周期为.

3.现有一组数1,1,2,2,3,5,6,7,9,9,则该组数的第25百分位数为

4.设3i(i为虚数单位)是关于X的方程/+机=0(m£R)的根，则M=.

函数丫=卜：的定义域为

5.

6.若乃<e<些且Sine=—3,则tan(e—二］=____

25I4)

7.现有一个底面半径为2cm、高为9cm的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面

积为cm2(损耗忽略不计).

8.设的三边“，h,C满足a:》：c=7:5:3,且SABC=I56,则此三角形最长的边长为.

9.“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y(单位kw∙h)与气温X(单位：℃)之间的关系，随

机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：

气温』181310—1

用电量y24343864

若上表中的数据可用回归方程y=-2x+h(b∈R)来预测，则当气温为TC时该小区相应的用电量约为

kwh.

10.设耳、居为双曲线「三一匕=l(α>0)左、右焦点，且「的离心率为逐，若点M在「的右支上，直

a9

线1M与「的左支相交于点M且ISuMN则忻NI=

11.设且a≠l,若在平面直角坐标系无Oy中，函数y=log∕"+2)与y=log”一—的图像于直线/

2X+Q

对称，则/与这两个函数图像的公共点的坐标为.

12.设x、y∈R,若向量4,b,C满足d=(x,l),b=(2,y),¢=(1,1),且向量与C互相平行，则

∣αI+2|。I的最小值为.

二、选择题

13.设A.6为实数，则“α>8>(F'的一个充分非必要条件是()

A.s∣ci—1>y/b-1B.a~>h~C.一〉一D.a-b)b-cι

ha

14.设A.6表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：

(1)若α〃匕且匕Uα,则。〃α(2)若a〃a且Z?Uα,则α〃匕

(3)若α〃匕且。〃α,则。〃α(4)若。〃α且匕〃α,则α〃/?

其中不正确的个数是()

A.1B.2个C.3个D.4个

15.设P为曲线C:V=4x上的任意一点，记P到C的准线的距离为d.若关于点集A={MMPl=町和

8={(x,y)∣(x-lp+(y-1)2=，},给出如下结论:

①任意r∈((),M),AB中总有2个元素；②存在re(0,+8),使得A∩8=0∙

其中正确的是()

A.①成立，②成立B.①不成立，②成立

C.①成立，②不成立D.①不成立，②不成立

16.设。>0,若在区间［4,21)上存在“，b且α<b,使得sin(<υα)+cos(<υb)=2,则下列所给的值中。只

可能是()

1510

A.—B.—C.2D.—

333

三、解答题

17.如图，在直三棱柱ABC-Algcl中，AC=4,Be=3,AB=S.

(1)求证：AC1BC,；

(2)设AG与底面ABC所成角的大小为60。，求三梭雉C—ABJ的体积.

18.已知。>人均为不是1的正实数，设函数y=∕(x)的表达式为/(x)="∙L(XeR).

(1)设α>b且/(x)≤b∙α*,求X的取值范围;

⑵设α=-L6=4,记4=log2∕5),仇=/(〃)，现将数列｛α,,｝中剔除也｝的项后、不改变其原来

顺序所组成的数列记为｛q,｝,求ZG的值.

19.现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三

个盒子装有3个白球、2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球.

(1)求取到的白球数不少于2个的概率；

(2)设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望.

20.在XO)，平面上.设椭圆「：—+/=l(∕n>l),梯形ABCD的四个项点均在「上，且A设直

线AB的方程为y=依伏∈R)

傅20■第（2）HiB）

（第20・第（D（第20・第（3）

(1)若AB为「的长轴，梯形ABCO的高为且C在AB上的射影为「的焦点，求机的值；

2

(2)设〃2=近，直线CD经过点P(0,2),求OCOD的取值范围；

(3)设m=√Σ,∣AB∣=2∣Cq,4。与BC的延长线相交于点M,当人变化时，二M43的面积是否为定值？

若是，求出该定值：若不是，请说明理由.

21.已知a、匕∈R,设函数y=∕(x)的表达式为/(x)=a∙χ2-b∙lnx(其中x>0)

(1)设a=l,b=0,当/(x)>χτ时，求X的取值范围；

(2)设a=2,b>4,集合。=(0,1],记g(x)=2cx-;(c∈R),若y=g(x)在。上为严格增函数且对

/)上的任意两个变量s,f,均有/(s)2gG)成立，求C的取值范围;

当尤>时，记/（'）="（尤）】"+品亓

（3）α=0,b<Q,17其中”为正整数.

求证：[/式x)]"+2≥4(x)+2”.

2022学年普陀区高三数学第二学期质量调研评分细则

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

-

1.(—1,1)2.n3.24.95.(oo,0)U[―9+∞)6.—

7.36;T8.149.6810.3ll1(-ɪ,θ)12.3√5

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

题号13141516

答案ADBD

17.(本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

解：(1)由ZC=4,BC=3,AB=S,得/8?=/C?+B。？,故4CB=&,即/C_LBC.……2分

2

由三棱柱∕8C-48C∣为直三棱柱，得CC∙L8C,且8C与CG是平面CA内的两条相交直线,

故4C_L平面……4分又因为BC∖U平面CB∖,所以AC1BC1.……6分

(2)由CG，底面/8C,得/C为ZG在底面48C上的射影，知NC/C即为《G与底面48C所

成角，故NC∕C=60°.……8分

又因为为直角三角形，且4C=4,所以CG=4√J.……10分

CG为三棱锥G的高，SZUBC=6,……12分

=

^C-ΛBCl~^Cl-ΛBCɪ'∙CG=§*6X4yfi=ɛʌ/ɜ,

即三棱锥C-ZBG的体积为8√J..............14分(注：其他解答方法，如向量法等，均按步给分)

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

解：(1)由α>b>O,得优>0及g>l...........................2分

b

将/(x)=α∙b'代入/(x)≤6∙a∖得f心故(小≥∣,........4分

所以x≥l,即X的取值范围为U,+oo).....................6分

(2)将α=∙⅛,b=4代入/(x)=α∙b*,得/㈤=??….

16

2Λ4n2

απ=Iog22^=2/2-4,bn=4~9其中〃为正整数.……8分

高三数学质量调研第1页共4页

且4+1-4=2>0（常数），al=-2t故｛%｝是首项为一2、公差为2的严格增的等差数列;

-fh=4>l,故｛“｝是首项为1、公比为4的严格增的等比数列.……10分

b〃44

易得qθo=196,4∣o3=202且%=4=4,QlO="=16,a34=b5=64<202,

a130=⅛6=256>202,.......12分

所以££=却,-他+”+4）=—电°2+（-2）】_84=1026…14分

<=|（=12

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由题设条件，得每个盒中均有5个球，故从3个盒子中任取3个球的取法共有C；C；种…2分

要使得所取到的白球数不少于2个，根据题设条件，只有如下2种情形：

①取到的白球数恰为2个，共有C；G种取法；……3分

②取到的白球数恰为3个，共有C；C；+C；种取法.……4分

故任取一个盒子并从中任取3个球取到的白球数不少于2个的概率

/C"（C产+《）J...................6分

3C；3

012

113

O分

（2）由题设条件，得X=OJ,2,3,其分布为---

62

10

13

故E（X）=OX—+lx-+2x3+3χ-=1.2…・・•13分

621030

答：从三个盒子中任取一个盒子并从中任取3个球取到的白球数不少于2个的概率为:，取到白球数的期

望为1.2……14分

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

解（D（I）由题设条件，得「右焦点的坐标为（J"/-1,0）,故C（Jm2-],；）……2分

再由C在「上，得亡1+J=1,解得，”=2..............4分

"4

（2）将，"=√∑代入「的方程并整理，得.d+2∕=2

y=kx+2

设直线。。的方程为y=Ax+2,与「的方程联立，得:，八，消去7并整理，

X+2y=2

高三数学质最调研第2页共4页

得（1+242口2+8履+6=0,由△＞（）解得《＜一如或”＞逅.（*）……6分

22

Sk

-2=一,

设C(x∣,M),D(x,y),由(*),得，

226

∖+2k2

J

故yiy2=(2+2)(Ax2+2)=AXIX2+2k(X∖+x2)+4=......8分

—,------------11

则OC=(XI,必)，OD=(x,y),故0C∙OΣ>=x∣X2+M%=

221+2Λ*^

3117—►—.(1\

又由(*)得公>彳，故-1<——τ-l<-.即OCOO的取值范围是-1,一.……10分

2l+2k24I4)

(3)由梯形HBC。及IZ81=21。I,得。、C分别为K4、"8的中点.

当∕M=√2时，椭圆「方程为q→∕=1,设A(xl,yl),M(x0,y0),则B(-xl,-yi),

2

Jo--VXp(xo+x'

1(*)10分

22

2

由(*)得(x；+X∣2)+2(M/+yj)=8,又由x；+2y；=2,得x。？+2乂：=6…①

再由(*)得XIXO+2yJ。=。，再由M=AX1,得Xo+2@O=O.....②

√3(l+2⅛2)

3(1+2/)

故M到直线AB的距离d=J~.1=14分

Jl+公∖+k2

由IrXJ2'得∕=Γ⅛'故历2昕7=2Ql不=2料*………:!6分

SMB=；MBM=；x2x『晨2）XF；：%）=瓜（定值）

所以当4变化时，△M∕3的面积是定值后............18分

（注：其他解答方法,均按步给分）

高三数学质量调研第3页共4页

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2题满分6分，第3小题满分8分)

解：(1)把α=1、6=0代入/(x)=α∙χ2-6∙lnx,得f(x)=χ2(x>0),于是[(x)>XT变为V>x^l

且x>0,……2分解得x>l,故不等式的解集为(1,+8).……4分

(2)/(X)=4X--=4Λ~H,由XW(0,1],b>O,得4χ2-b<0,4x-h<0

XXX

即/(x)<0,故函数y=∕(x)在区间(0刀上为严格减函数，于是/(x)m,n=/⑴=2;……6分

.21

g(x)=2c÷-,因为歹=2以一一7在区间(0,1]上为增函数，所以g(x)=g⑴=2c-l及任意

XX