2024年上海市虹口区高三年级上册高考一模数学试卷含答案

虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试

高三数学试卷2023.12

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试卷，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的

相应位置，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第L6题每题4分，第7-12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1,已知集合人={0,1,2,3,4,5},3={即％-2归1},则Ac3=.

2.函数y=lg（尤-2）+/L=的定义域为.

3.设等比数列{%}的前力项和为5“，若电=1，5=4,则limS“=.

2〃一＞00

4.已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积为15兀，则该圆锥的体积为.

5.在（尤丫的二项展开式中x项的系数为.

6.已知cosx=-±且x为第三象限的角，则tan2x=.।'

7.双曲线/一3=1的两条渐近线夹角的余弦值为.

8.已知函数/3=33+9）（0＞0,|夕|＜今）的部分图像如0p

右图所示，则/（x）=.（第8题图）

9.已知y=/（x）是定义在（-1,1）上的函数,若/（x）=3x+sinx,S.f（l-a2）+f（l-a）＜0,

则实数。的取值范围为.

10.将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概

率为.（结果用分数表示）

11.设aeR,若关于尤的方程2彳国-（“-2）x+国-a+l=0有3个不同的实数解,则实数a

的取值范围为.

12.设q,%,%,4,伪，年是平面上两两不相等的向量，若-。2卜|〃2•-。3卜,3-。1|=2,且对

任意的i,jG{1,2,3},均有)-gW{1,百}，则|瓦_闻++2_&|+W_可=.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13・14题每题4分，第15-16题每题5分)

每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.

2—i—

1

13.设i为虚数单位，若.二27,贝JZ=()

1+1"-1

(A)l-2i(2)l+2i(C)2-i(D)2+i

14.空气质量指数AQ/是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:

AQ/指数值0-5051〜100101〜150151〜200201〜300>300

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处

测得10月1日—20日AQI的数据并绘成折线图如下：

(A)这20天中AQ/的中位数略大于150

(8)10月4日到10月11日，空气质量越来越好

(C)这20天中的空气质量为优的天数占25%

(Q)10月上旬AQ/的极差大于中旬AQ/的极差

15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全(第15题图)

相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如右上图所示，将正方体沿同一

顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、

6个面为正方形的一种半正多面体.若AB=6,则此半正多面体外接球的表面积为()

(A)4届(B)12兀(C)述兀(D)8兀

3

16.已知曲线r的对称中心为。，若对于r上的任意一点A,都存在r上两点3,c,使

得。为AABC的重心，则称曲线r为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：

①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”.

则()

(A)①是假命题，②是真命题(8)①是真命题，②是假命题

(C)①②都是假命题(。)①②都是真命题

三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.

17.(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)

设△ABC的内角A,8,C所对的边分别为a,c,若7〃=(sinA+sin8-sinC,sinA),

〃=(c,b+c-a)>且mIIn.

(1)求角8的大小;

(2)若△ABC为锐角三角形，求y=sinA+sinC的取值范围.

18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

如图，在三棱柱ABC—A31cl中，侧面A41GC为正

方形，AB=AC=4；设M是CG的中点，满足,

N是BC的中点，尸是线段A5上的一点.

(1)证明：AM_L平面4PN；

(2)若3c=4五，4尸=1，求直线A3与平面

(第18题图)

所成角的大小.

19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废

水池.该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每

月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨.

(1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？

(2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂从

2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月

提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化?

20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

己知点M(利4)在抛物线「：f=2py(p>o)上，点尸为「的焦点，

过点厂的直线/与「及圆/+(y-l)2=l依次相交于点如图.

(1)求抛物线「的方程及点M的坐标；

(2)求证：|4。卜忸力为定值；

(3)过A8两点分别作「的切线A，Z2,

且4与6相交于点尸，求与△3OP的

面积之和的最小值.

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

已知y=/(x)与y=g(x)都是定义在(o，+°o)上的函数,若对任意为,%2e(o，+8),当西〈尤2时，

都有g(X])w/C0)一“X2)vg(x2),则称y=g(x)是y=/(x)的一个“控制函数”.

(1)判断y=2%是否为函数〉=%2(%>0)的一个控制函数，并说明理由；

(2)设=的导数为〃⑴，Q<a<b,求证：关于％的方程以“一在

b-a

区间(a,b)上有实数解；

(3)设〃x)=_rlnx,函数y=是否存在控制函数？若存在，请求出y=〃x)的所有

控制函数；若不存在，请说明理由.

参考答案和评分标准2023年12月

一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）

1.{1,2,3}2.（2,5）3.14.12/5.5606.一半

7.28.cos（2x-^）9.[1,72）10.111.（9,+oo）12.3

二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13.A14.C15.D16.B

三、解答题（本大题共5题，满分78分）

17.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

解：（1）因为所以（sinA+sin6-sinC）・（b+c-a）=c-sinA,....2分

由正弦定理，可得(a+b-c)•。+c-a)=ac,即ac^a2+c2-b2....4分

于是，由余弦定理得cos丁=■1■，又5«0,»)，所以B=W.....7分

2ac2J

(2)由(1)可_知A+C告27所r以

y=sinA+sinC=sinA+sin(^^—A)=^sinA+^-cosA=A/3sin(A+^-)...H分

TV27r7171.7171.7T27r

由△ABC为锐角△，得0<A<3,且0<3--4<5，所以不<4<,,从而］<4+7<7一

所以？=5也4+5111。=否5111（74+工）的取值范围为（巨，73....14分

6（2J

18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

证：(1)取AC中点。，连接AiD.

因A4i=AC,AD=CM,ZAiADZACM=90°,

故4AiAD^AACM....2分

从而又因/AAiZ)+/AiZM=90。,

故/CAM+ZAiDA=90。.所以AM±A1D.

由于AALLAiBi及AiBinA,£>=A，因此

平面A/iD4分

因。，N分别为AC,8C的中点，故DN〃AB,从而。N〃AIi，

于是4，P,Bi，N,。在同一平面内，故4朋_1面4/汽6分

解：（2）因为4B=AC=4,BC=4版,所以z

故AB_L4C.

因AM_LAiBi，AiBi//AB,故AM_LAB；

又因AMG4C=A,所以A8_^ACGAi,

从而A8_LA4i；因此AB,AC,A4i两两垂直.

以A为原点，以AB,AC,A4i分别为x,y,

X(第18题图2)y

建立空间直角坐标系，如图.8分

则由条件，相关点的坐标为

M(0,4,2),NQ,2,0),P(1,0,4),S(4,0,4).

设平面MNP的一个法向量为n=（羽y,z）,则

"•MN=(x,y,z>(2「2,-2)=2x-2y-2z=0i/y=z，mz=i,得“=(2,1,1).......“分

n-MP=(x,y,z)■(1,—4,2)=x—4y+2z=0,1尤=2z,

因明=(4,0,4),设直线4月与平面PMN所成的角为仇则

•n=|(4,0,4).(2,l,l)|=12=叵

sin0=|cos<AB},n>|='

AB^-\n_|(4,0,4)|.|(2,1,l)|-472.V6~2

故直线AB】与平面PMN所成角的大小为工.……14分

3

19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

解：（1）设从2023年1月起第〃个月处理后的废水排放量为a“吨，则由已知条件知：

数列｛4｝是首项为10,公差为2的等差数列，故4=2〃+8.……2分

当之a“2800+2”时，即虫2±生网z800+2”,……4分

i=i2

化简得"+7〃—80020,解得〃N25,或〃<—32;由〃是正整数，则〃之25.

故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕.……6分

（2）设从2023年1月起第九个月深度净化的废水量为2吨.

由已知条件，4=,•=%=0,当“27时，数列｛么｝是首项为5,公比为1.2的等

0,1<n<6,

比数列,故勿=<（"为正整数）.8分

5xl.2"-7,n>7,

显然，当1W〃W6时，an>bn.

当〃之7时，由〃得2〃+8V5x1.2"".(*)……10分

设c,=2〃+8—5xl.2"-7,则孰―C“T=2—1.2"-8,所以当7W〃W11时，数列｛c,J是严

格增数列，且c“〉0；当〃之12时，数列｛c“｝是严格减数列.12分

由于q9aL42>0,。20合一5・50<0.所以不等式（*）的解为w220（”为正整数）.

故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化.......14分

20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

解：（1）易知抛物线r的焦点F的坐标为（0,5），准线为y=-光，由抛物线的定义，得

4+|=|MF|=5,故p=2.所以，抛物线F的方程为V=4y............2

分

将M（m,4）代入F的方程，得彳=±4,所以点M的坐标为：（4,4）,或（T,4）.

...........4分

（2）由（1）知尸（0,1）,又由条件知直线/的斜率

存在，设直线/的方程为丁=左％+1,并设A（3，M）,

B（x2,y2）,则

y=kx+l,

由^^x2-4fcc-4=0,

尤=4y,

2

故△=16(^+1)〉0,且石+々=4k,XjX2=-4.

......7分

由抛物线的定义，可知|4同=%+1,怛同=%+1.又因圆产+0—1）2=1的圆心为F（0,1）,

半径为1，于是|AC|=|^|-1=^,\BD\=\FB\-l=y2.

所以|4。卜忸。=%%=，-］=^^=1.......10分

（3）由f=4y得＞=；,而y=fx.故过点A（x“!）的抛物线「的切线乙的方程为

y—£=£（x—%）,即xxx-2y-^-=0.①......12分

同理，过点的抛物线r的切线4的方程为x2x-2y-^-=0.②

由①，②可得：xp==2k,=；（尤］+/此,—%=：不/=—L

即P（2左1）.……15分

一依-2左一（一1）+1|「-

L

所以点尸到直线/：左无一y+1=0的距离为d=J——_=2AM2+1.

于是Ss+S^DP=^AC\-d+^\BD\-d=g（|AC|+忸必）.d

=；（%+%）-［=；［七^/=：［（玉+々）2_2平2”

="（16—+8）.2，1+/=2（2/+1）.，1+22

故当％=0,即直线/为y=l时，S^ACP+S^BDP有最小值2.……18分

21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

解：（1）由于对任意再,%e（0,+8）,当为＜彳2时，都有2占W号+修42%；...2分

即有2巧＜立二且V2与，故由控制函数的定义，y=2x是函数y=/的控制函数....4分

国一x2

证：⑵关于X的方程竺”也=!在区间（a,b）上有实数解＜"纪吧＜工

b-axbb—aa

i7ib-al/，+l<0

\nb-\na<----

a-aa

oa(in〃—Ina)<b—a<Z?(lnZ?—Intz)o<7分

1i,a-b

Ina—In。<----ln---+l<0

bbb

记/(x)=ln)—%+1,则F'(A:)=—-1=-——，当x£(0,l)时Ff(x)>0,尸⑴在(0,1)上

严格增；当%£（1,+8）时尸⑺<0,网力在（1,+8）上严格减.

而0<4<1<2,故/4幺］〈尸（1）=0,尸（2］〈尸（1）=0,于是所要证的结论成立…….10分

ba\b）\a）

另证：关于X的方程InbTna=J.在区间向⑼上有实数解=<lnZ?"lna<1

b-axbb—aa

[a\nb-b+a-a\na<0

o々(inb-lna)vb-a<0(lnb-ln〃)7分

[bina-a+b-b\nb<0

记尸（x）=alnx-x+a-alna,则/⑺=@—1,当句时尸（x）40,故尸⑺在［a,/?］

上严格减，F（b）<F（a）=0.

记G（x