河北省保定市部分高中2023-2024学年高三年级上册开学数学试题（含答案）

河北省保定市部分高中2023-2024学年

三上学期开学数学试题

高三数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

n|n黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

淤

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

圜一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

施1.已知集合A==||H|V3},B={H|2—工>0},则AQB=

A.(—3,2)B.(2,3)C.(0,3)D.(-oo,3)

2,复数之的虚部为1,且句=；，则z=

脚

A.2+iB.—2+iC.1+iD.-l+i

K3.若tan6=西，贝1]cos26=

A-AB—2C—D.4

-5.3L5

4.函数/•（工）=尸一工3的图象在点（一1J（一D）处的切线方程为

A.丫=工+3B.?=7工+9

郭C.y=-z+1D.y=一lx-5

5.已知抛物线C：/=2力了">0）的顶点为O,经过点A（z0,2）,且F为抛物线C的焦点，若

葡|AF|=3|OF|，则/>=

A.yB.1C.V2D.2

1Q__Q

6.已知a〉0,且。工1,函数/（幻=1/'、'在R上单调，则Q的取值范围是

Ilog”（z—1）—1,x>2

A.（1,+°°）B.,-T-lC.,1）D.[4-t1）

Ou<JO

7.一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为生，将锥顶倒置，如图

②所示，水面高度为自，已知该封闭的圆锥形容器的高为人且阳+色=心忽略容器的厚度，

都

8,已知正项等差数列{a,J的前〃项和为S.，若后:一后=2,则的=

A.1B.2C.3D.4

【高三数学第1页（共4页）]•HEB•

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求,全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某公司统计了2023年1月至6月的月销售额(单位：万元)，并与2022年比较，得到同比增长

率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是

注：同比增长率=(今年月销售额一去年同期月销售额)+去年同期月销售额X100%.

月销售额

同比增长率

A.2023年1月至6月的月销售额的极差为8

B.2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为8

C.2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5

D.2022年5月的月销售额为10万元

10.已知函数/(x)的定义域为R,f(z+y)+2Hk/(x)+/(>),/(1)=2,则

A./(0)=0B./(-2)=-10

C.y=/(H)+zZ是奇函数=是偶函数

11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》

中用图画描绘了筒车的工作原理(图1).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水

筒都做匀速圆周运动.如图2,将筒车抽象为一个半径为10的圆O,设筒车按逆时针方向每

旋转一周用时120秒，以筒车的中心O为原点，线段OA,OB所在的直线分别为工，y轴建立

如图所示的直角坐标系(A,B为圆。上的点)，分别用表示，秒后两点的纵

坐标，则下列叙述正确的是

A.将函数/(,)的图象向左平移三个单位长度可以得到

函数gG)的图象

B.函数》=/«)•g(r)的最大值为50

C.函数¥=八，)+8(，)在(60,90)上单调递减

D.当怅口25,1451时，不等式/a)+g(Q)5代

12.如图，在正方体ABCD—AIBIGA中,AD=4,点E,F分别为43,BC的中点，点P满足

瓦卢=久而+//瓦簿■,a6[0,1],〃6[0,口，则下列说法正确的是

A.若4+〃=1,则四面体PEFDi的体积为定值

B.若则GP_L平面EFR

C.平面EFDi截正方体ABCD—A出GD|所得的截面的周长为

5+4724-3V5

D.若入=1,〃=0,则四面体PEFD,外接球的表面积为甯

【高三数学第2页(共4页)】-HEB-

三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量a=(l,—，若(a—则m—A

14.位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长

度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为"I■，若前一次向右移动一个单位长度，则后一

M

次向右移动一个单位长度的概率为春,若粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为

0

:，则粒子A第二次向左移动的概率为▲.

O

15.已知实数a"满足b-a=l,aV0V仇则中一发的最大值为▲.

16.已知Fx,F2分别为双曲线E：5一营=l(a>0,6>0)的左、右焦点，过原点O的直线I与E

交于A,B两点(点A在第一象限)，延长AF,交E于点C,若==

O

则双曲线E的离心率为▲.

四、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知｛4｝为正项等比数列也记S,,为数列｛4｝的前，，项和,8=3,53=7.

|a,,+2,w为偶数，

(D求｛&｝的通项公式;

(2)求S2„.

18.(12分)

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6cosC+ccos5=2-73sinA.

(1)求△ABC外接圆的面积；

⑵记AABC内切圆的半径为r,若B=5,6=2后，求AABC的面积.

19.(12分)

“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则如下:第一次在装有2个红

球、2个白球的A袋中随机取出2个球,第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的B袋

中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的

颜色与获得的积分对应如下表.

所取球的情况三球同色三球均不同色其他情况

所获得的积分100600

(1)设一次摸奖中所获得的积分为X,求X的分布列和期望；

(2)记甲在这次游戏获得0积分为事件M,甲在B袋中摸到黑球为事件N,判断事件M,N

是否相互独立，并说明理由.

【高三数学第3页(共4页)】

20.（12分）

如图，在正四棱台ABCD-AiBG。中，AB=2A|B|=4.

（D证明：AC^BDi.

（2）若正四棱台ABCD—AiBiGR的高为3,过BQ的平面a与CG

平行,求平面a与平面BCGB夹角的余弦值.

21.（12分）

已知椭圆C：£+£=l（a>b>0）的右顶点为M（2,0）,点P在圆D：（工一3a>+丁=2〃上强

运动，且|MP|的最大值为6.

（1）求椭圆C的方程；/

（2）不经过点M的直线，与C交于A,B两点，且直线MA和MB的斜率之积为1,求直线I

被圆D截得的弦长.沁

S-

为

隅

22.（12分）

呕

已知函数f（z）=哼三,工6（0,河，/（工）是人工）的导函数.

（1）证明：/（工）存在唯一零点.

（2）若关于x的不等式/'（H）+4+a40有解，求a的取值范围.

X

【高三数学第4页（共4页）］

高三数学考试参考答案

1.A【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.

A=(-3,3),B=(-8,2),则ADB=(-3,2).

2.D【解析】本题考查复数的有关概念，考查数学运算的核心素养.

设之="+式“£1<),则z=a—i,由之1=之，可得(4+1万=0—1,化简可得一1+泊=々一「所以a

=-1•则N=­1+i.

3.B【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.

cos汨一sin21-1-52_

cos20=cos26—sin2^=

cos汩+sin?。1+tan2<91+5E

4.D【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养.

V/(j;)=Y4—x/'(i)=4二一3/，.=/(一］)=2,/"(一］)=—7,

・•・所求的切线方程为、-2=-7(1+1),即y=-7x-5.

5.C【解析】本题考查抛物线，考查直观想象的核心素养.

由|AF|=3|OF|,可得了。十g=华，所以工。=加则4=2".解得力=倍

6.D【解析】本题考查函数的单调性，考查数学抽象的核心素养.

显然》=/(了)在R上单调递增不符合题意，故y=/(z)在R上单调递减，所以

0<a<l,

解得

3a—2)log“1—1,

7.B【解析】本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力.

因为"+生=八且图①和②内所装水的体积相等，所以根据相似可知(牛尸=春，即/^泪

ri乙ri2

8.D【解析】本题考查等差数列，考查逻辑推理的核心素养.

设等差数列｛〃,,｝的公差为“，则S“=3〃2+(aL5)〃.又商"一很=2,所以6=2〃+

〃?，即S”=4”'+，所以w=0,则S“=4"，,所以©=S1=4.

9.ACD【解析】本题考查统计，考查数据分析的核心素养.

对于A,2023年1月至6月的月销售额的极差为8,故A正确；对于B,因为6X60%=3.6,所

以2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为11,故B错误；对于C,2023年1月至6

月的月销售额的中位数为9.5,故C正确；对于D.设2022年5月的月销售额为万元，则

"=X100%=10%,解得z=10,故D正确.故选ACD.

10.ABC【解析】本题考查抽象函数，考查逻辑推理的核心素养.

令_r=y=0,可得/(0)=0.故A正确；令了=»=1,可得/(2)=2,令z=-2,»=2,可得

/(0)—8="2)+/(—2).则/(-2)=-10,故B正确；

由/(z+y)+2zy=/(z)+f(y),可得/(z+y)+(z+yT=/(才)+二+/(»)十/，令g(2)

【高三数学•参考答案第1页(共7页)】-HEB-

=/(丈)+*,则g(z+y)=g(z)+g(“，令z=y=O,可得g(0)=0,令jy=-a•，贝Ug(0)=

g(.r)+g(一工)=0,所以g(ir)是奇函数，即，=/(了)+*是奇函数，故C正确；

因为/(2)—22片/(一2)—(—2)2,所以》=/(m)一/不是偶函数，故D错误.

11.BD【解析】本题考查三角函数，考查数学建模的核心素养.

由题意可知■^■=120,且3>0.解得<o=^-(rad/s),

\a>\60

所以f(.t)=lOsin^,/f(r)=10sin(-^-+^)=10cos繇

6026060

对于A.将/⑺的图象向左平移假个单位长度后，所得图象对应的函数为y=10sin(部+忌)

Z00I/O

关g(z),故A错误；

对于B,y=/()•g(t)=50sin表最大值为50,故B正确；

对于C,y=/⑺+g⑴=lO后in喘+含在(6O,9O)上不是单调函数.故C错误；

对于D,由/⑺+g(/)>5疝，可得sin喘+：)>亨•解得/6[5+1204,25+120幻&CZ),

故D正确.

12.BD【解析】本题考查正方体以及点、线、面的位置关系，考查直观想象和数学建模的核心素养.

如图1.取AB的中点G,连接DG.易得C\E〃DG,取CD的中点

H.连接易得3H〃DG,再取CH的中点M,连接FM.D.M,

则所以FM〃RE,则FM是平面EF"与正方体底面

ABCD的交线.延长MF,与AB的延长线交于N,连接EN,交BB1

于P,则=3BP,且五边形D.EPFM即平面EFDt交正方体

ABCD-A.B.GD,的截面，计算可得EDl=2^,DiM=5,MF=

西，EP=学，PF=g^，所以平面EFD)截正方体ABCD-

A.B.C,D,所得的截面的周长为学+红磐+3后故C：错误.

对于A,因为#=/万方+〃瓦第\；1+〃=1,

所以P,D，4三点共线，所以点P在AQ上，因为AQ与平面

EFD,不平行，所以四面体PEFR的体积不为定值，A错误.

对于B,如图2,以A为原点，分别以AB,AD.AA1所在直线为z,

»2轴建立空间直角坐标系，则再。=卷K75+4祸=(0,2,1),

寸=3+Q=(一4,一2,—3),取=(2,—4,0),即=(2,2,—4),则6•7575=0,

9­9=0,所以C.P,平面EFD,，故B正确.

对于D,若义=1,2=0,则点P即点D.易知DDi^QE,则四面体PEFD,的外接球与四棱

【高三数学•参考答案第2页(共7页)】-HEB-

锥F-ED｝DG的外接球相同，在△GFD中，GF=2&,GD=2同,FD=2而，则△GFD外

接圆的半径为上2*4=皆,所以四面体PEFD,外接球的半径R=/（蜉

)2+22=

371023V3

10

尊，即四面体PEFD1外接球的表面积为斗兽,D正确.故选BD.

oy

13.-j【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养.

由（a—〃出）J_b,可得（a—，汕）•b=a,=0.则一2—■4，〃=0,解得m=—

14.y【解析】本题考查全概率公式，考查逻辑推理的核心素养.

所求的概率p=4><4+4x4-=4.

OOOOt/

15.-3【解析】本题考查基本不等式，考查逻辑推理的核心素养.

由b—a=1,aV0V6,可知b£（0,1）,（—1,0）,

则”E1—4=4—与£='+子—1W—2—1=—3,当且仅当a=-6时,取得最大值.

ababab

16.V3【解析】本题考查双曲线的离心率，考查直观想象的核心素养.

结合双曲线的对称性可知，NF|AFz='|AB|=|AC|,所以△ACF；为等边三角形，

则|AF,I=|CF,|,则AC_LBB,由双曲线的定义，得|AB|—|AB|=2a,

所以|AF1|=4u,\AF1=2a,则5却=1=tan-y=73.

2IAr2ILa3

17.解：（1）设等比数列｛6｝的公比为（/“>0）也=备一1=3,即心=4,..............1分

S3=61+62+63=ci\-1+即+2+。3-1=卬+生+。3=7,........................2分

所以^4+34+4=7,..........................................................3分

qq

9

解得q=2或＜?=一•!■(舍去).....................................................4分

o

所以数列｛a,J的通项公式是4=4•2"T=2"T..................................5分

(2)Sz”=4+仇+…+必”=(m+a2+…+色”)+〃................................1分

=V^r+«=22,,+w-1-...................................................10分

评分细则：

【1】第一问，也可正确求出q的值得2分，正确求出m=1得2分，写出｛a,,｝的通项公式得1分.

“伊1一1,〃为奇数，、-4"-1

【2】第二问，写出1>„=\不得分，求出仇+&+…+阮」=%二一”，得2

|2"-'+2,”为偶数，3

分，求出仇+仇+…+瓯=2（4“3"1）一+2”,得2分，求出&“=22"+”-1,得1分.

'f-【高三数学•参考答案第3页（共7页）】•HEB-

18.解：(1)设△ABC外接圆的半径为R,

因为Z>cosC+ccos8=2乃sinA,所以2K(sinBcosC+sinCeosB)=2i/3^sinA,.......2分

所以2Rsin(B+C)=2痣sinA,解得R=痣，....................................4分

所以△ABC外接圆的面积为37t............................................................................................5分

(2)因为/45=2①，所以〃=3,故厂=§........................................6分

sin13c

由余弦定理可得a?+,2—=〃=9,则(a+c)?=9+3ac..................................................8分

又SAA比•=:acsin_B=+(a+A+c)•厂,ac=a+c+3,.....................................................9/}

fz，_|_r)2_Q

贝！］---------=a+c+3,所以a+c——3=3,即a+c=6・..................................................10

所以△ABC的面积•>=/X9X^=竽..................12分

评分细则：

若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.

19.解：(1)X的可能取值有100,60,0,...........................................................................................1分

911

P(X=100)=^XJ=.......................................................................................................2分

AQCICI12Q公

PpCrvX=60)=-^-X—=—,...................................................................................................3分

2

p(X=0)=l-P(X=100)-P(X=60)=y,......................................................................4分

所以X的分布列为

X100600

22

PV

.....................................................................................................................................................5分

19199A

所所以以EE((XX))==11OOOOXX^^++66OOXX11++OOXX；；==等等............................................................................77分分

9

⑵由(1)可知P(M)=仔,.......................................................................................................8分

O

1211

又P(N)=卷,P(MN)=^X~^=卷，.........................................10分

则P(MN)#P(M)P(N),所以事件M,N不相互独立..........................12分

评分细则：

【1】第一问总共7分，正确写对分布列可得5分，求出数学期望得2分.

91

【2】第二问总共5分，求出P(河)=?得1分，求出口(乂2=看得2分,说明件不相互

Otz

'f-【高三数学•参考答案第4页(共7页)】•HEB-

独立得2分.

20.(1)证明：连接BD,Bi。，设正四棱台的上、下底面的中心分别为0-0,则0-0分别为

的中点，连接O0.因为ABCD-ABGR是正四棱台，所以平面A3-

CD,又ACU平面ABCD,所以O|O_LAC......................................2分

因为A8CD为正方形.所以ACJ_BD,.........................................3分

乂BDn(X)i=O,所以AC,平面DBBiQ,.....................................4分

因为BDU平面,所以AC^BD......................................5分

⑵解：设BC,AB的中点分别为F,G,连接OF,OG,易知OG,OF,OQ两两垂直.

则以。为坐标原点，分别以OG,OF,OQ所在直线为_r,y,z轴建立如吠]《

图所示的空间直角坐标系，

则0(0,0,0),B(2,2,0),4(—1,一1,3),C(—2,2,0),3(—1,1,3),卜工一

13,(1.1.3),,[2二一,港盘：^7

所以砒=(-3,-3,3)*岚=(-4,0,0),砒=(-1,-1,3),反7=

(1,-1.3).................................................................6分

设平面BCG场的法向量为”=(为，皿，4),

；n•fid=-4.r,=0,

则,——取Z|=1,则%=3,zi=0,所以〃=(0,3,1).......8分

\n•BBi=一必—y}+3为=0,

设平面Q的法向量为桃=(1232，之2)，

jtn•BDT=-3^2―3y2+3之2=0，

则1―壬取力2=1，则》2=—2,。=—1，所以机=(1,—2,—1).

m•CC7=生一丁2+3之2=0，

......................................................................10分

设平面。与平面8CGB的夹角为小贝IJcose=Icos〈〃,〃z〉I=」1个

|w|m\yioxV630

所以平面a与平面BCGBi夹角的余弦值为筌^..............................12分

评分细则：

【1】在第一问中,也可以延长8场，。口，设二者相交于从而证明AC,平面DBM.得4

分，进而证出ACJ_BD1,得1分.

【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.

21.解：(1)由题可知a=2,........................................................1分

圆D：(①一3a)2+1y2=2〃的圆心为D(3a,0),半径厂=展6,......................2分

所以|MP「x=|MD|+厂=2a+V^=6,所以b=a,............................4分

22

所以椭圆C的方程为号+修=1..............................................5分

(2)当直线/的斜率不存在时，显然不符合题意，

'f-【高三数学•参考答案第5页(共7页)】•HEB•

故设A5，例),3(12,y2)，直线AB：y=ka-\-m,

联立J42-‘消去?整理得(1+2/)/+46ml+2〃/-4=0,

y=k.x+m,

方程(1+2S)/2+4无〃1+2m2-4=0的判别式△=32/+16—即〃2〉0,

4knj

皿+生-1+2P

则＜7分

2m2—4

1+2Q

因为•4MB=1,所以~~=1，

71—ZJC2一9乙

所以（公—1）2'］工2+（氏7〃+2）（11+i2）-T//?2—4=0,

所以（/—1）•71H.4+（痴+2）•（一:吗\）+/一4=0,

1+2"1+2介

整理得（〃?+24）（加+64）=0.....................................................9分

若切=—24，则y=kx——24=Hz—2）,则直线I过定点M（2,0）,与题意矛盾；

若加=—64,则、-64=/（z—6）,则直线/过定点（6,0）....................10分

因为圆。的圆心为（6,0）*半径==2,所以直线/被圆D截得的弦长为4.........12分

评分细则：

【1】在第一问中，求出。=2得1分,求出6=成■得3分