考前模拟检测一（解析版）-高考数学总复习资料

考前模拟检测一

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知集合4=｛小2—2%＞0｝，3=3一小＜%＜小｝，则（）

A.AnB=0B.AUB=R

C.B^AD.A^B

【解析】因为4={小>2或x<0},因此AU3={x|x>2或x<0}U{x|一小<x<小}=R.故选B.

O—I—.

2.已知复数z=£（i为虚数单位），那么z的共辗复数为（）

33

A-2+2iB-2~21

33.

D.

【解析】由题意知":=2+2I"I—1=；+1b所以―卜寺,故选B.

3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉

古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献，这10部专著中5部产生于魏晋南北朝

时期，某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材，则所选2部专著

中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）

72

A.gB.g

能点

“9

—Cl2

【解析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A,所以P（A）=e=g.

-27

因此P(A)=1-P(A)=1一.故选A.

4.设a=(l,2),6=(1,1),c=a+S若办_Lc,则实数化的值等于()

■3「5

A.—2B.—

C.1D.1

【解析】c=a+必=(1,2)+Z(l,1)=(1+/:,2+左)，因为。，c,所以"c=0,"c=(l,1)-(1

3

+匕2+左)=1+左+2+左=3+2左=0,所以k=—/.故选A.

5.2020年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新

性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲

家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭

即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为（）

A.48B.72

C.120D.240

【解析】若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有CJA£=48种不同的分配方法.若甲、乙2个

家庭的5张票不连号，则有A3A3=72种不同的分配方法.综上，这8张门票共有48+72=120

种不同的分配方法.故选C.

小cos2。

6.若=A/§sin26,则sin28=()

(Ji'

cosl-^-+0

12

AB.

-33

21

D.

C.33

2(cos2。一sir?。)

【解析】由题意知=^/3sin20,

cossin0

所以2(cos6+sin8)=/sin26,

则4(1+sin20)=3sin220,

2.

解得sin23=—W或sin26=2(舍去).

故选C.

7.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高/为"的卡马圆柱，上、下两

端均是半径厂为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔.化（不考虑过程

中的原料损失），熔成一个实心球，则该球的直径为（）]

A.3B.4

C.5D.6

4461

【解析】设实心球的半径为R，实心金属几何体的体积V=2n/+n3，=§口X8+nX4X—=

12541255

-7-n.因为二-,所以R=-，所以该球的直径为2H=5.故选C.

OJOnz

8.已知函数人x)为定义在R上的奇函数，当x》0时，<>+3)=-»，且当%e(0，3)时，

»=x+l>贝I次一2023)+^2024)=()

A.3B.2

C.1D.0

【解析】因为函数人x)为定义在R上的奇函数，

所以八一2023)=一火2023).

因为当xNO时，有/(x+3)=-/(x)，

所以/(x+6)=—/(x+3)=/(x)唧当xNO时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.

又当xG(O，3)时，五x)=x+l，

所以火2023)=A337X6+l)=AD=2，

fi2024)=汽337X6+2)=汽2)=3.

故人一2023)+/2024)=一火2023)+3=1.

故选C.

二、多选题(共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分)

9.已知函数«v)=sin(x—4(x©R),则下列结论正确的是()

A.函数人x)的最小正周期为27r

B.函数人x)在区间［O,或TT上是增函数

C.函数人x)的图象关于直线x=0对称

D.函数人x)是奇函数

【解析】由题意，可得兀0=—COSX,

27c

对于选项A,T=—=2TI,所以选项A正确；

7T7T

对于选项B,y=cosx在［0,2上是减函数，所以函数火了)在区间［0,或上是增函数，所以选项

B正确；

对于选项C,/(—%)=—COS(—X)=—cosx=flx),所以函数是偶函数，所以其图象关于直线X

=0对称，所以选项C正确；选项D错误.故选ABC.

10.抛物线C：y2=2pxg>0)的焦点为R，过点R的直线I交抛物线C于A，3两点，交抛物线

C的准线于D点，若防=2标>\FA\=2，则()

A.F（3，0）

B.直线A3的方程为丁=

C.点3到准线的距离为6

D.△A03（。为坐标原点）的面积为34

【解析】如图，不妨令点B在第一象限,设点K为准线与x轴的交点，分别过点A,B作抛物

线C:VnZpMpX））的准线的垂线，垂足分别为G，E，因为发）=2/，所以点尸为3。的中点，

又=，所以|5£|=氐8。|，所以在RtAEBD中，NBDE=30°，所以|AD|=2|AG|=2|A/q

=2X2=4，所以储W=|AD|+|物|=6，所以|3用=6，则点5到准线的距离为6，故C正确；因

为储用=6，所以|Kf]=3，所以p=3，则从|，0），故A错误；由NB£）E=30°，易得/BFx

=60°，所以直线A3的方程为尸tan60°•\—|[=#口一|]，故B正确；连接。4，05，S

1Q1Q

AAOB=SAOBF+SAAOF=yX-X6Xsin60°+yXyX2Xsin60°=3小，故D正确.故选BCD.

11.如图所示，正方体ABCD-AiBiCiDi中，M，N分别为棱CLDI，CC的中点，下列说法正

确的有（）

A.直线AM与CCi是相交直线

B.直线AM与3N是平行直线

C.直线3N与MB是异面直线

D.直线AM与DDi是异面直线

【解析】因为点A在平面CDDCi外，点M在平面CDDiCi内，直线CC在平面CDDiCi内，

CCi不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；取。的中点E，连接AE（图略），则

BN//AE，但AE与AM相交，故B错；因为Bi与BN都在平面BCCiBi内，M在平面BCCiBi

外，BN不过点、Bi，所以BN与MB是异面直线，故C正确；同理D正确，故选CD.

12.给出下面四个推断，其中正确的为()

A.若a,6@(0’+8),则’+圻2

B.若x，y@(0，+8)，则［g%+lgy»21lgx•1gy

4

C.若。GR，aWO，则1+心4

D.若x，yGR，xy<0，则"+&W—2

【解析】对于A项,因为。，。6(0，+°°)>所以2+空》2、I驾=2,当且仅当,即a=b

ClD\/aDClD

时取等号»故A项正确；对于B项，当光，y£(OT)时,1gx5lgy£(—8,o)，此时1gx+lg

y22\jlgx•1gy显然不成立，故B项错误；对于C项，当a<0时，显然不成立，故C

项错误；对于D项,若光，y£R,xy<0,则一—^>0,所以:+)=—+W—

2\^(一：)•(一§=—2，当且仅当一：=一(,即尸一y时取等号,故D项正确.故选AD.

三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13.若［3x+加”展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项的值是.

6

【解析】因为展开式的二项式系数之和为2"=64,所以〃=6,即|3x+.其展

133

开式的通项为Tr+i=Cg-(3x)6-r.(x-］y=36-r.C&x6—1厂，当6—］厂=0时，r=4,所以展开式中

的常数项的值为36^4-Ct=9X15=135.

14.已知曲线丁=：+等在尤=1处的切线/与直线2x+3y=0垂直，则实数。的值为.

-A-Ci-

【解析】y=~~2+~,当x=1时，y=­1+1.由于切线I与直线2x+3y=0垂直，所以

JC~cuea

(—1+0-1,解得丁=|.

15.已知圆Ci：%2+丁2—2加元+4'+机2—5=0与圆C2：x1+y2+2x—2my+m2—3=0，若圆Ci

与圆Q相外切，则实数机=.

【解析】对于圆Ci与圆C2的方程,配方得圆Ci:(%—m)2+(y+2)2=95圆C2:(x+l)2+(y—

m)2=4，则圆Ci的圆心Ci(m，-2)，半径n=35圆C2的圆心C2(—1,rri)，半径相=2.因为

圆Ci与圆。2相外切，所以@。2|=厂1+厂2，即2+(m+2)2=5，m2+3m—10=0)

解得m=~5或771=2.

x2v2

16.如图，为和仍分别是双曲线”一方=1(。>0，。>0)的两个焦点，人和3是以。为圆心，以

|。八|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△叫43是等边三角形,则双曲线的离心率为

【解析】设产ig=2c，连接AB，因为△私钻是等边三角形，且尸〃2是。。的直径，所以24仍为

=30°，ZFIAF2=90°，所以|A乃|=c，依丹=/c，

2a=y/3c-c，e=：=君丁市+L

四、解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤)

17.数列｛词的前几项和记为S”，ai=l，a”+i=25+l(〃Nl)・

⑴求｛z｝的通项公式；

(2)等差数列｛瓦｝的各项为正数1其前n项和为4且73=15，又ai+历，或+岳，的+九成等比

数列，求Tn.

【解析】⑴由a"+i=2S”+l，可得a“=2Si+l(〃>2)>

两式相减，得<7"+1—Un=2(ln,。〃+1=3。"(〃三2).

又因为s=2S+l=3)

所以ai=3a\.

故｛为｝是首项为1，公比为3的等比数列，

所以an=3n~l.

⑵设｛瓦｝的公差为d，

由乃=15，得。1+。2+。3=15，可得。2=5，

故可设。1=5—d，03=5+d.

又。1=1，02=3，03=9，

由题意可得(5—d+l)(5+d+9)=(5+3)2.

解得di=2，t/2=—10.

因为等差数列｛儿｝的各项为正数，

所以d>0，所以d=2.

Yl(n——1)

Tn=3〃+——2——x2="+2n.

18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且。2+C2—/=生卓历.

⑴求sinA的值；

(2)若△ABC的面积为明，且啦sinB=3sinC,求△ABC的周长.

【解析】(1)因为b2-\-c2—a2=2bccosA,

4、历

所以2bccosA=^~bc,

所以cosA=2f,

所以在ZWBC中，sinA="\J1—cos2A=

⑵因为445。的面积为行，所以TocsinA=，?=啦，

所以bc=6yl2.

因为gsin3=3sinC,所以由正弦定理得审b=3c,

所以6=3啦，c=2,

所以次=。2+°2__20ccosA=6,所以a=y[4.

所以△ABC的周长为2+3表+加.

19.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织了“这个冬天不再

冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项：①到各班宣传，倡议

同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况，只参与

其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：

到班级宣传整理、打包衣物总计

20人30人50人

⑴如果用分层抽样的方法从这50名志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有

1人是参与班级宣传的志愿者的概率；

⑵若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示女生

人数，写出随机变量X的分布列及数学期望.

【解析】（1）用分层抽样的方法，抽样比是磊=上，

所以5人中参与班级宣传的志愿者有20X七=2（人）,

参与整理、打包衣物的志愿者有30X七=3（人）,

C?7

故所求概率尸=1一6|=元,

（2）X的所有可能取值为0,1,2,

则P（X=0）=f|=||,

P（X=D=警喘,

P(X-2)-C^O-95,

所以X的分布列为

X012

334814

P

959595

334814

所以X的数学期望£1(X)=0X—+1X—+2X—=

20.如图所示，在菱形A3CD中，NA3C=60°，AC与3。相交于点。，平面A3CD，

CF//AE，AB=AE=2.

（1）求证：3。，平面ACRE；

（2）当直线R9与平面BED所成的角为45°时求异面直线OR与3E所成角的余弦值的大小.

【解析】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，

所以AC

因为平面ABC。，BDU平面A3CD，

所以

又因为ACnAE=A，AC，AEU平面ACRE

所以3D，平面ACTE.

⑵以。为原点，04，03所在直线分别为x轴，y轴，过点0且平行于CF的直线为z轴（向

上为正方向），建立空间直角坐标系，

设CF=a（a>0），则5（0，,，0），D（0，一小，0），£（1，0，2)>F(-l>

05a）（a>0），标=（—1，0，〃）.

设平面EBD的法向量为n=（x，y，z），

n-OB=Q，即尸0，

则有“

[x+2z=0,

n-OE=Q，

令z=l，则n=（—2，0，］），

\OF-n\_|2+r/|_^2

由题意得sin45°=|cos(OF，|=

\OF\\n\.小2

解得a=3或。=一g（舍去）.所以赤=（—1，0，3），BE=（1>一小，2），

cos〈源，踮〉=品蒜等

故异面直线OF与BE所成角的余弦值为［一.

21.已知A（0，也），B他，1）是椭圆C：。狼=l（a>Q0）上的两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵设。为坐标原点，〃为椭圆C上一动点，点尸（3>0），线段的垂直平分线交y轴于点Q，

求|。。|的最小值.

2

【解析】（1）由题意知代入A，B两点坐标得讲=1，

解得〃=6，b2=2，

?2

所以椭圆C的标准方程为卷+*=1.

o2

（2）设线段的中点为N，根据题意知直线PM，QN的斜率存在且不为0.

设点M坐标为（期，yo），

则不+m=1，即"=6一3角.①

线段PM的中点，kpM•kQN=—15

3-xo

即KQN=一；-，

所以直线3：厂学=文书xo+3

乙yo

人八、，八人小a,日V0.9yp-3_3京-3—2y8

，X=0'开”曰①式传殁=5+2yo=l+-2^—=一不―

ra=M=|^^|=肃+1例＞2y肃・|yo尸加'

3

当且仅当f―;=|yo|，