高考物理带电粒子在复合场中的运动压轴难题综合题附答案解析

高考物理带电粒子在复合场中的运动压轴难题综合题附答案解析

一、带电粒子在复合场中的运动压轴题

1.如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场.取垂直于纸面

向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t=0时刻，一质量为

m、带电荷量为+q的粒子（不计重力），以初速度%由。板左端靠近板面的位置，沿垂直

于磁场且平行于板面的方向射入磁场区.当为和”取某些特定值时，可使。=0时刻入射

的粒子经加时间恰能垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述机、q、d、%为已知

3

（2）若△/=]",求粒子在磁场中运动时加速度的大小；

（3）若线=电沙，为使粒子仍能垂直打在P板上，求心。

qd

【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科综合能力测试物理（山东卷带解析）

亠mvr.3后兀d（7i

【答案】（1）—^（2）芈（3）「或彳+arcsm彳丁

【解析】

【分析】

【详解】

（1）设粒子做匀速圆周运动的半径飞，由牛顿第二定律得

>°稣二等①

K\

据题意由儿何关系得

%=d.........②

联立①②式得

B—•…③

qa

（2）设粒子做圆周运动的半径为R2,加速度大小为。，由圆周运动公式得

④

据题意由几何关系得

34—d........⑤

联立④⑤式得

0=甄……⑥

d

(3)设粒子做圆周运动的半径为&,周期为T，由圆周运动公式得

2兀R

TT=------……⑦

%

由牛顿第二定律得

nmvl

⑧

q%Bo=KF

由题意知为=*字，代入⑧式得

qa

d=4R……(§)

粒子运动轨迹如图所示，。1、。2为圆心，。|、。2连线与水平方向夹角为。，在每个TB

71

内，只有48两个位置才有可能垂直击中P板，且均要求0＜，＜一,由题意可知

2

2—7=组……⑩

20~2

设经历完整”的个数为〃(〃=0,1,2,3....................)

若在B点击中P板，据题意由几何关系得

7?+2(/?+/?sin0)n=d........⑪

当"=0时，无解；

当n=l时联立⑨⑪式得

IT1

'=一或（sin6=—）...⑫

62

联立⑦⑨⑩⑫^得

……⑬

“o

当〃22时，不满足0＜夕＜90"的要求；

若在B点击中P板，据题意由几何关系得

7?+27?sin9+2（/?+/?sin=d.......Q

当〃=0时无解

当〃=1时，联立⑨须得

0=arcsin-或（sin9=L）.......⑰

44

联立⑦⑧⑨©短式得

当〃22时，不满足0＜夕＜90°的要求。

【点睛】

2.利用电场和磁场，可以将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领

域有重要的应用.如图所示的矩形区域ACDG（AC边足够长）中存在垂直于纸面的匀强磁

场，A处有一狭缝.离子源产生的离子，经静电场加速后穿过狭缝沿垂直于GA边且垂直

于磁场的方向射入磁场，运动到GA边，被相应的收集器收集.整个装置内部为真空.已

知被加速的两种正离子的质量分别是mi和牝（团1＞牝），电荷量均为q.加速电场的电势差

为U，离子进入电场时的初速度可以忽略.不计重力，也不考虑离子间的相互作用.

离子源

⑴求质量为mi的离子进入磁场时的速率vi；

（2）当磁感应强度的大小为8时，求两种离子在GA边落点的间距s；

⑶在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定宽度.若狭缝过宽,

可能使两束离子在GA边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离.设磁感应强度

大小可调，GA边长为定值3狭缝宽度为d,狭缝右边缘在A处.离子可以从狭缝各处射

入磁场，入射方向仍垂直于GA边且垂直于磁场.为保证上述两种离子能落在GA边上并被

完全分离，求狭缝的最大宽度.

【来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试物理卷（北京）

【答案】（1）产（2）忤（向-版）⑶3整平厶

，町>2ymi-4巧

【解析】

（1）动能定理Uq=-znivi2

2

（2）由牛顿第二定律和轨道半径有:

mv2cmv

qvB=------,R=f

RqB

利用①式得离子在磁场中的轨道半径为别为（如图一所示）：

两种离子在GA上落点的间距5=2（/?1-/?2）=

（3）质量为m1的离子，在GA边上的落点都在其入射点左侧2母处，由于狭缝的宽度为

d,因此落点区域的宽度也是d（如图二中的粗线所示）.同理，质量为m2的离子在GA

边上落点区域的宽度也是d（如图二中的细线所示）.

图二一

为保证两种离子能完全分离，两个区域应无交叠，条件为2（RI-R2）>d...@

利用②式，代入④式得：2%（1-

Ri的最大值满足：2Rim=L-d

得：(2-d)(l-J--)>d

Y町

求得最大值:dm=

-y[rn^

3.质谱分析技术已广泛应用于各前沿科学领域.汤姆孙发现电子的质谱装置示意如图，

M、N为两块水平放置的平行金属极板，板长为丄，板右端到屏的距离为D,且。远大于

L,0'0为垂直于屏的中心轴线，不计离子重力和离子在板间偏离。'。的距离.以屏中心

。为原点建立X。），直角坐标系，其中X轴沿水平方向，y轴沿竖直方向.

（1）设一个质量为加0、电荷量为%的正离子以速度%沿O'O的方向从0'点射入，板间

不加电场和磁场时，离子打在屏上。点.若在两极板间加一沿+y方向场强为E的匀强电

场，求离子射到屏上时偏离。点的距离方;

（2）假设你利用该装置探究未知离子，试依照以下实验结果计算未知离子的质量数.

上述装置中，保留原电场，再在板间加沿一丁方向的匀强磁场.现有电荷量相同的两种正

离子组成的离子流，仍从。'点沿O'O方向射入，屏上出现两条亮线.在两线上取y坐标

相同的两个光点，对应的x坐标分别为3.24mm和3.00mm,其中x坐标大的光点是碳12

离子击中屏产生的，另一光点是未知离子产生的.尽管入射离子速度不完全相等，但入射

速度都很大，且在板间运动时O'。方向的分速度总是远大于x方向和y方向的分速

度.

【来源】2018年9月29日《每日一题》一轮复习-周末培优

q“ELD

【答案】

（1）%加。片

（2）m2«14u

故该未知离子的质量数为14

【解析】

：（1）离子在电场中受到的电场力

尸v=q°E①

离子获得的加速度

离子在板间运动的时间

L-

4=一③

%

到达极板右边缘时，离子在+y方向的分速度

V.v=«/0④

离子从板右端到达屏上所需时间

犷=2⑤

%

离子射到屏上时偏离o点的距离

由上述各式，得

y产笆⑥

(2)设离子电荷量为9,质量为“2,入射时速度为V,磁场的磁感应强度为8,磁场对离

子的洛伦兹力

%=qvB⑦

已知离子的入射速度都很大，因而离子在磁场中运动时间甚短，所经过的圆弧与圆周相比

甚小，且在板间运动时，O'O方向的分速度总是远大于在X方向和y方向的分速度，洛伦

兹力变化甚微，故可作恒力处理，洛伦兹力产生的加速度

.财⑧

m

%是离子在x方向的加速度，离子在％方向的运动可视为初速度为零的匀加速直线运动，

到达极板右端时，离子在X方向的分速度

匕=年=迪(与=幽⑨

mvm

离子飞出极板到达屏时，在x方向上偏离。点的距离

幽咼二理2⑩

mvmv

当离子的初速度为任意值时，离子到达屏上时的位置在y方向上偏离。点的距离为y,考

虑到⑥式，得

mv,"

由⑩、(11)两式得

，k,、

x-=一八2)

m

甘宀,qB2LD

具中人=^-----

E

上式表明，攵是与离子进入板间初速度无关的定值，对两种离子均相同，由题设条件知，

X坐标3.24mm的光点对应的是碳12离子，其质量为网=12",x坐标3.00mm的光点对

应的是未知离子，设其质量为机2，由(12)式代入数据可得

m2»14M(13)

故该未知离子的质量数为14.

4.如图所示，在xOy坐标平面内，虚线PQ与x轴正方向的夹角为60。，其右侧有沿y轴

正方向的匀强电场；左侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为8.一质量为

m,带电量为q的带负电的粒子自坐标原点。射入匀强磁场中，经过一段时间后恰好自虚

线PQ上的M点沿x轴正方向进入匀强电场，粒子在电场中的运动轨迹与x轴的交点为

N.己知。、M两点间的距离为百L；。、N两点间的距离为(@+1)L,粒子重力不

2

(1)带电粒子自坐标原点。射入匀强磁场的速度大小；

(2)匀强电场的电场强度大小；

(3)若自。点射入磁场的粒子带正电，粒子的质量、带电量、初速度等都不变，则在粒

子离开。点后的运动中第二次与虚线PQ相交的交点坐标.

【来源】2019年山东省德州市高三一模物理试卷

【答案】(1)幽；(2)坦工；(3)(且丄，丄L).

inm62

【解析】

【详解】

2

(1)粒子在磁场中运动时钟8二生匕，y/3L=2rsin60°

解得粒子自坐标原点。射入匀强磁场的速度大小

m

(2)粒子自M到/V做类平抛运动

沿电场方向：百Lsin6(T=些彳

2m

垂直电场方向；（Y-+1）L-y/3Lcos600=vti

2

得电场强度£=加工

m

（3）若自。点射入磁场的粒子带正电，粒子在磁场中逆时针转过240。后自R点垂直于电

、3

o

y坐标：yR=-（r+rs'm30）=—£

粒子进入电场后自R到S做类平抛运动

垂直电场方向；xRs=vt2

沿电场方向：y&=

2m

tan60°=^-

XRS

解得：厶=友"，XRS=^L,yRS=2L

3qB3

第二次与虚线PQ的交点5的X坐标：X=XKS+XK=^-L

6

y坐标：y=yRs+yR=；L

则第二次与虚线PQ的交点5的坐标为(昱L，-L)

62

5.实验中经常利用电磁场来改变带电粒子运动的轨迹.如图所示，気(：“)、笊

(；4)、氣(：“)三种粒子同时沿直线在纸面内通过电场强度为£、磁感应强度为8的

复合场区域.进入时気与気、気与瓶的间距均为d,射出复合场后进入y轴与MN之间

(其夹角为垂直于纸面向外的匀强磁场区域I,然后均垂直于边界MN射出.虚线

MN与PQ间为真空区域II且PQ与MN平行.已知质子比荷为乌，不计重力.

m

(1)求粒子做直线运动时的速度大小匕

(2)求区域I内磁场的磁感应强度81；

(3)若虚线PQ右侧还存在一垂直于纸面的匀强磁场区域III,经该磁场作用后三种粒子均

能汇聚于MN上的一点，求该磁场的最小面积5和同时进入复合场的気、僦运动到汇聚点

的时间差At.

【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期末阳光指标调研考试物理试题

、EmE（7r+20）Bd

【答案】⑴万⑵萩⑶

E

【解析】

【分析】

(1)粒子在电磁复合场中做直线运动是匀速直线运动，根据电场力与洛伦兹力平衡，可求

粒子的速度大小；

(2)由粒子的轨迹与边界垂直，可求轨迹半径，由洛伦兹力提供向心力，可求磁感应强度

的大小；

(3)由僦粒子圆周运动直径可求磁场的最小面积.根据気、氣得运动周期，结合几何关

系，可求気、僦到汇聚点的时间差.

【详解】

(1)由电场力与洛伦兹力平衡,

Bqv=Eq

解得v=E/B.

(2)由洛伦兹力提供向心力,

v2

Bivq=m—

由几何关系得r=d

mE

解得Bi=一正.

qaB

(3)分析可得瓶粒子圆周运动直径为3r

磁场最小面积S=-n

2

解得S=Jtd2

山题意得Bz=2Bi

,271r2兀m

由T=——得丁=

vqB

0271m

由轨迹可知△力=(33一TJ—,其中「=f

2万qB、

12兀m

At2=-(3T2-T2),其中Tz=—

2qB]

3，目AAIAQr+26)Bd

解得\t=AZ.+Afj=-——=—

6.如图所示，在第一象限内存在匀强电场，电场方向与x轴成45。角斜向左下，在第四象

限内有一匀强磁场区域，该区域是由一个半径为R的半圆和一个长为2R、宽为内的矩形

2

组成，磁场的方向垂直纸面向里.一质量为m、电荷量为+q的粒子(重力忽略不计)以速度

v从Q(0,3R)点垂直电场方向射入电场，恰在P(R,0)点进入磁场区域.

⑴求电场强度大小及粒子经过P点时的速度大小和方向；

(2)为使粒子从AC边界射出磁场，磁感应强度应满足什么条件；

⑶为使粒子射出磁场区域后不会进入电场区域，磁场的磁感应强度应不大于多少?

【来源】【市级联考】山东省泰安市2019届高三第二次模拟考试理综物理试题

52

【答案】⑴£=卫匕；内,速度方向沿y轴负方向

4qR

8y/2mv2\{2mv2>/2(V7-ij/wv

5qRqR3qR

【解析】

【分析】

【详解】

(1)在电场中，粒子沿初速度方向做匀速运动

L.=-^——2/?cos45°=2V2/?

cos45°

k=vt

沿电场力方向做匀加速运动，加速度为Q

L,=2/?sin45°=V2/?

r12

厶=—at

-2

”囲

m

设粒子出电场时沿初速度和沿电场力方向分运动的速度大小分别为匕、v2,合速度M

片=u、v9=attan—

9v

联立可得七=立丝二

4qR

进入磁场的速度M==0V

8=45。，速度方向沿y轴负方向

(2)由左手定则判定，粒子向右偏转，当粒子从A点射出时，运动半径

2

,,Dmv'242mv

由"4=------得耳=-------

厶qR

当粒子从c点射出时，由勾股定理得

2

,,Dmv'z8A/2ZHV

由qvB,=-------得5,=------------

-r2-5qR

根据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断，当延竺迤竺时,

5qRqR

（3）为使粒子不再回到电场区域，需粒子在CD区域穿出磁场，设出磁场时速度方向平行

于X轴，其半径为弓，由几何关系得看=R2

解得r_（S+l）j

14

,mv'22y/2（y/7-l}mv

由qy名=----得B,=------------

433qR

磁感应强度小于四,运转半径更大，出磁场时速度方向偏向x轴下方，便不会回到电场中

7.如图所示,在直角坐标系xOy平面内有两个同心圆，圆心在坐标原点。，小圆内部（I区）和两

圆之间的环形区域（II区）存在方向均垂直xOy平面向里的匀强磁场（图中未画出）,1、II区域

磁场磁感应强度大小分别为B、28。a、b两带正电粒子从0点同时分别沿y轴正向、负向

运动，已知粒子a质量为m、电量为q、速度大小为v,粒子b质量为2m、电量为2q、速度

大小为粒子b恰好不穿出1区域，粒子a不穿出大圆区域,不计粒子重力，不计粒子间相互

作用力。求：

⑴小圆半径&；

⑵大圆半径最小值

(3)a、b两粒子从。点出发到在x轴相遇所经过的最短时间t(不考虑a、b在其它位置相

遇)。

【来源】重庆市2019届4月调研测试(第二次诊断性考试)理综试卷物理试题

【答案】⑴/?,=—(2)鸟而“=出匕”"(3)——

qB2mm2qBqB

【解析】

【详解】

解：⑴粒子b在I区域做匀速圆周运动，设其半径为“

2m(^)2

根据洛伦磁力提供向心力有：2qVB：2

2厶

由粒子b恰好不穿出I区域：&=2rb

cmv

解得:R1=-

(2)设a在I区域做匀速圆周运动的半径为蜀，

mv2

根据洛伦磁力提供向心力有：qvB=——

%

mv八

解得：%=行=及

设a在H区域做匀速圆周运动的半径为ra2,

mv2

根据洛伦磁力提供向心力有：qv・2B=——

rai

mv1八

解得：・南=丿

设大圆半径为凡，由几何关系得：凡之正K+丄4

22

，

所以，大圆半径最小值为：R七1m™"G2+qB””

e2兀mfTim

⑶粒子a在I区域的周期为II区域的周期为42二一丁

qBqB

粒子a从。点出发回到。点所经过的最短时间为：&=gzu

17im

解得…F

27rm

粒子b在I区域的周期为：Tf

ln7im

讨论：①如果a、b两粒子在0点相遇，粒子a经过时间：t=nt=——=l,2,3…

aa}6qBn

2k7VTTl

粒子b经过时间：。=虹1,=—―k=l,2,3...

qB

In

厶=厶时，解得：-=2k

6

144加

当％=7,几=12时，有最短时间：4=——

qB

②设粒子b轨迹与小圆相切于P点，如果a粒子在射出小圆时与b粒子在P点相遇

八5TT/(21〃+8)利〃

则有：%=zZ，i+l2+〃6&=n=l,2,3...

63qB

Qk-1)T(2k-\)7tm

粒子b经过时间：tb=-——^=-——士—k=l,2,3…

2qB

时，解得：2左一1=笞龙

ab不能相遇

③如果a粒子在射入小圆时与b粒子在P点相遇

，亠7___,(21〃+13)乃川

则有：%=74+2(2+〃6幻=---———n=l,2,3...

63qB

(2)1-1)7；(2左一1)乃〃？

粒子b经过时间：th=——=---------k=l,2,3...

2qB

,…।21〃+13

%=J时，解得：2k-1=-------

ab不能相遇

14乃〃?

a、b两粒子从0点出发到在x轴相遇所经过的最短时间为一^

8.如图，竖直平面内(纸面)存在平行于纸面的匀强电场，方向与水平方向成氏60。角,

纸面内的线段MN与水平方向成a=30。角，MN长度为d.现将一质量为m、电荷量为

q(q>0)的带电小球从M由静止释放，小球沿方向运动，到达N点的速度大小为心

(待求)；若将该小球从M点沿垂直于MN的方向，以大小匕丫的速度抛出，小球将经过

M点正上方的P点(未画出)，已知重力加速度大小为g,求：

(I)匀强电场的电场强度E及小球在N点的速度上；

(2)M点和P点之间的电势差；

⑶小球在P点动能与在M点动能的比值.

【来源】【市级联考】江西省南昌市2019届高三下学期4月第二次模拟考试理综物理试题

【答案】(1)y/2gd(2)号4(3)y

【解析】

【详解】

解：(1)由小球运动方向可知，小球受合力沿MN方向，如图甲，由正弦定理：

mg_F_Eq

sin30sin30sin120

得:E=M~

甲

合力：F-mg

从A/fN,有：2ad=u；

得：vN^y[2gd

(2)如图乙，设MP为h,作PC垂直于电场线，小球做类平抛运动:

\/c

3必

/M

乙

Acos60=—ar

2

〃sin6()=vNt

UMC=E〃cos3()

得:3等

(3)如图乙，作PD垂直于MN,仄MfP,由动能定理：FSMI)=EKP-EKM

SMD=/?sin30

EKM=^mvN

EKP_FSMD+4“_2

9.如图所示，地面上方足够大的空间内同时存在竖直向上的匀强电场和水平向右的匀强磁

场，磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为q的带正电小球(大小可忽略)恰好静

止在距地面高度为h的P处。现在给小球一个垂直磁场方向竖直向下的速度V,已知重力

加速度为g，空气阻力不计，求：

A

(1)电场强度E的大小;

(2)若〃=正竺，小球从P点运动到地面的时间。