2023-2024学年人教A版必修第二册 直线与直线平行 学案

8.5.1直线与直线平行

【学习目标】（1）理解并掌握基本事实4,并会应用其解决相关直线与直线平行问

题.（2）理解等角定理，并会应用其解决有关问题.

题型1基本事实4

【问题探究1】

动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开，观察这些折痕有怎样的位置关系，并推测

平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立.

例1如图，在正方体4%》/B'CD'中，E,F,E',F'分别是4?,BC,A'B',

B'C的中点，求证：EE'//FF'.

一题多变将本例的条件改为“若必”分别是4D',CD'的中点”，求证：四边

形/aw是梯形.

学霸笔记：用基本事实4证明直线a〃c时，只需找到直线b,使得a〃b,同时b〃c,

进而由基本事实4即可得到a〃c.

跟踪训练1如图所示,在空间四边形4?切(不共面的四边形称为空间四边形)中,£,凡

G,H分别为AB,BC,CD,加的中点.

(1)求证：四边形"烟是平行四边形.

(2)如果/0=初，求证：四边形〃诩是菱形.

题型2等角定理

【问题探究2】

AC,

c

观察长方体461G2T四，4与N61G4的两边分别具有什么关系，两角大小关系

如何？再观察长方体461G”-/戊/，/。4笈与/物8的两边分别具有什么关系，两角大小关

系如何？

例2如图所示，在正方体481a〃中，E,F,R,月分别为棱49,AB,BG,G"

的中点.

求证：AEA,F=AExCFx.

学霸笔记：运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向

是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反

之则互补.

跟踪训练2

如图，三棱柱46俨4SG中，M,N,户分别为44,BB\,CG的中点.求证：/MC\N=/APB.

随堂练习

1.若NAOB=/Aa®,且如〃44,如与方向相同，则下列结论正确的有（）

A.如〃且方向相同

B.0B〃6B\,方向可能不同

C.必与481不平行

D.如与。出不一定平行

2.

如图所示，在长方体木块/G中，E,尸分别是夕。和G。的中点，则长方体的各棱中与

斯平行的有（）

A.3条B.4条C.5条D.6条

3.

如图，在三棱柱/册45a中，E,F,G分别为棱4G,BC,合8的中点，则/由G与

ZABCA

A.相等B.互补

C.相等或互补D.不确定

4.

如图，在三棱柱A6俨46K中，E,6分别是形上的点，且AE：EB=AF：FC,则项

与BQ的位置关系是—

课堂小结

1.基本事实4及其应用.

2.等角定理及其应用.

8.5.1直线与直线平行

问题探究1提示：平行，成立.

例1证明：：£,E'分别是46,A'夕的中点，

：.BE=B'E'.

'：BE//B'.•.四边形旗5'E'是平行四边形，

：.EE'//BB',同理可证犷"//BB'.

：.EE'//FF.

一题多变证明：在正方体中，MN//A'C,且历仁仅'C,

因为/C//AC,且4C=AC,

所以椒〃/C,且仞

又/〃与GV不平行，故四边形4CW是梯形.

跟踪训练1证明：(D因为空间四边形4%/中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA

的中点，

所以厮〃/GHG//AC,EF=HG=［A3

所以EF〃HG,EF=HG,

所以四边形厮曲是平行四边形.

(2)因为空间四边形切中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,加的中点，

所以EH//BD,EH=：BD.

因为斯='乙AC=BD,所以EH=EF.

又因为龙烟是平行四边形，所以四边形母烟是菱形.

问题探究2提示：N24区与NAG2的两边分别平行，两角大小互补.

/几4必与N7Z45的两边分别平行，两角大小相等.

例2证明：如图所示，在正方体力及/-4AG4中，取48的中点〃，连接掰FM

则BF=AM

又,/BF//A.M,四边形47W为平行四边形，

:.A\F〃BM.

而见〃分别为GO,的中点，则人〃统G瓦

而GA统BC,：.FMBC,：.四边形同监C为平行四边形.砌〃CF\.又,：BM〃AF,

同理，取4〃的中点用连接mE、N,则有4£〃值.

NEAF与NE&R的两边分别对应平行，且方向都相反，

：.4EA\F=/E\CF\.

跟踪训练2证明：因为“P分别是隔，CG的中点，所以阿统GR所以四边形"GN

为平行四边形，所以QN//BP.同理可证QM//AP.

又/加与//期方向相同，所以/掰为¥=//阳.

［随堂练习］

1.解析：如图，

当//如笈时，且如〃物与的方向相同，出与a合不一定平行.故选

D.

答案：D

2.解析:由于£,尸分别是8。，G。的中点，故EF〃BC,因为和棱81G平行的棱还有

3条：AD,BC,4".所以共有4条.故选B.

答案：B

3.解析:由于£,F,G分别为4G,BC,烟的中点，所以EF〃4Bi〃AB,FG//BG,

所以&与//因的两组对边分别平行