概率统计大题综合-2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺

专题04首届新高考-概率统计大题综合（首届新高考江西、

广西、贵州、甘肃专用）

一、解答题

1.（2023•山东日照•三模）某学校有48两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一

家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐

厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.

（1）计算王同学第二天去A餐厅用餐的概率；

（2）王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，，?（〃*2,〃€N+）种中式点心，

王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为X,求尸（X=l）的最大

值，并求此时〃的值.

2.（2023•云南保山•统考二模）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医

药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健

康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x（单

位：克）与药物功效$（单位：药物功效单位）之间具有关系j=10x-x2.

（1）估计该味中药的最佳用量与功效；

（2）对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标

准差为2,估计这批合成药的药物功效3的平均值.

3.（2023・江苏苏州•模拟预测）数据报告显示，2018-2022年期间，某公司旗下一款软

件产品的年度活跃用户数每年都保持着较为稳定的增长态势，具体数据如下表.

年份代码X12345

活跃用户数了（单位：亿）11.5112.2512.5813.6718.01

（1）根据上表的数据，可用函数模型，=晟+£拟合＞与x的关系，请建立＞关于x的回归

方程（计算方的值时精确到0.01）,并预测2025年的活跃用户数；

（2）公司规定，活跃用户数大于12.00（单位：亿）的年份为“企业腾飞年”.在企业腾飞年

中，将活跃用户数低于13.00的视为良好，赋1分；将活跃用户数不低于13.00的视为

优秀，赋2分.现从企业腾飞年中任取两年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学

期望.

_5孙

（参考数据：7«13.60.2＞戊=218.48,h=^---------）

•5m

i=l

4.（2023•黑龙江大庆•大庆实验中学校考模拟预测）某学校为了解学生对航天知识的知

晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的

测试成绩，按照［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］分组，得到如下所示的样本

频率分布直方图：

［频率

O60708090100成绩（分）

（1）根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数；

（2）从测试成绩在［90,100］的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随

机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选

拔,在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.记

甲、乙两人中进入复赛的人数为求J的分布列及期望.

5.（2023•重庆•重庆南开中学校考模拟预测）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服

务、个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球

主要经济体中首个实现“物超人”的国家.下图是2018-2022年移动物联网连接数■与年

份代码,的散点图，其中年份2018-2022对应的，分别为1-5.

（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数（精确到0.01）,并推断

它们的相关程度；

（2）求卬关于/的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.

（叱-动.£&-7）（吗-功

附：样本相关系数2=/“—仁—,b=------------，a=vv-ft-F，

J1740分41.7

6.(2023•江苏・金陵中学校联考三模)一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别

标有数字0~9,先后从袋中随机取两只小球.用事件A表示“第二次取出小球的标号是2”,

事件B表示“两次取出小球的标号之和是加”.

⑴若用不放回的方式取球，求P(N)；

(2)若用有放回的方式取球，求证：事件Z与事件8相互独立的充要条件是m=9.

7.(2023・广东珠海・珠海市第一中学校考模拟预测)某大学平面设计专业的报考人数连

创新高，今年报名己经结束.考生的考号按0001,0002,……的顺序从小到大依次排

列.某位考生随机地了解了50个考生的考号，具体如下：

0400090407470090063607140017043204030276

0986080406970419073502780358043409460123

0647034901050186007904340960054304950974

0219038003970283050401400518096605590910

0558044206940065075707020498015602250327

(1)据了解，这50名考生中有30名男生，20名女生.在某次模拟测试中，30名男生平

均分数是70分，样本方差是10,20名女生平均分数是80分，样本方差是15,请求出

此50人该次模拟考试成绩的平均分和方差；(考生个人具体分数不知晓)

(2)请根据这50个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数N,并说明理由.

8.(2023•湖南邵阳二中学校考模拟预测)为了丰富学生的课外活动，学校羽

毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一

场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛

的情况，得到如下统计表：

乙丙T

比赛的次数606050

甲获胜的次数203040

以上表中的频率作为概率，求解下列问题.

(1)如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛.

(i)求甲至少胜一场的概率：

(ii)如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为X,求X的分布列与期望；

(2)记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为P,那么以什么样的出场顺

序才能使概率P最大，并求出〃的最大值.

9.（2023•山东威海•统考二模）乒乓球被称为中国的“国球”.20世纪60年代以来，中

国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军.乒

乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再

由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为

胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10:10平后，发球权的次序仍然不变，但实行每

球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒

乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为:，乙发球时甲得分的概率为上，各球的

结果相互独立，已知某局比赛甲先发球.

（1）求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；

（2）求该局比赛结束时，双方比分打成11:1且甲获胜的概率；

（3）若在该局双方比分打成10:10平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“X44”

的概率.

10.（2023•重庆沙坪坝•重庆八中校考二模）某市为了更好的了解全体中小学生感染新

冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检

测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为X,

并以此为样本得到了如下图所示的表格：

疼痛指数XX<1010<<90X290

人数（人）10819

名称无症状感染者轻症感染者重症感染者

其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.

（1）统计学中常用心=隽2表示在事件4发生的条件下事件B发生的似然比.现从样本

P{B\A）

中随机抽取1名学生，记事件A:该名学生为有症状感染者，事件B:该名学生为重症

感染者，求似然比工的值；

（2）若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似的服从正态分布

N（50Q2）,且尸（丫290）=、.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3

名，设这3名学生中轻症感染者人数为丫，求丫的分布列及数学期望.

11.（2023•辽宁大连•大连二十四中校考模拟预测）为庆祝中国共产党成立102周年，

加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，

坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，我校举办了党史知识竞赛.竞赛规则是：

两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得

一个积分.已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是P1和科，

且每道题答对与否互不影响.

|3

(1)若Pl=夕22=:,求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；

4

(2)若0|+夕2=：，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得7个积分，那么

理论上至少要进行多少轮竞赛？

12.(2023・湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测)杭州2022年第19届亚运会(The

19thAsianGamesHangzhou2022)将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运

会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时，在保持40个大

项目不变的前提下，增设了电子竞技项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛

制“双败赛制'’赢得了许多赛事的青睐.

传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍

只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，

淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即

为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者

组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个

队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最

后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只

要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来

从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真

的如此呢？

这里我们简单研究一下两个赛制.假设四支队伍分别为48,C,。，其中A对阵其他三

个队伍获胜概率均为P,另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为g.最初分组时48

同组，同组.

2

(1)若p=§,在淘汰赛赛制下，4C获得冠军的概率分别为多少？

(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用P表示)，并据此简单分析一下双败赛制

下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

13.(2023•湖南•校联考模拟预测)为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校

组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩(满分100分)进行

分析，把他们的成绩分成以下6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100].整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值并估计全校学生的平均成绩".(同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表)

(2)在(1)的条件下，若此次知识竞赛得分X〜N(〃,122),为了激发学生学习禁毒知识

的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分

但不超过81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过81分但不超过93分的可获得

学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15元.试估计全校1000名学

生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元.(结果四舍五入保留整数)

参考数据：尸(〃-b<XW〃+b)”0.6827,尸(〃-2a<XW〃+2o■卜0.9545,

P(/j-3a<X<〃+3cr)=0.9973.

14.(2023•广东韶关•统考模拟预测)研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可

能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群,

要多加防范.某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人

数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新

增感冒就诊的人数，得到数据如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差X(℃)47891412

新增感冒就诊人数y(位)凹为为

%y4

66

参考数据：24=3463,2（必-N）=289.

»=1

(1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随

机抽取2位，其中男生人数记为X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率为之，求随

机变量X的分布列和数学期望；

(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数r=称，请用最小二乘法求出V关于x的经

验回归方程3=八+&,据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增感冒就诊的学生人数.

.£（占-可（%-歹）

参考公式：Z=弋^;—，r=r„'';r

毕「可庶㈤心"）

15.（2023•江苏常州•江苏省前黄高级中学校考模拟预测）中日围棋擂台赛是由中国围

棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外

开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举

办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984年

开始至1996年停办，共进行了II届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对中

国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日

围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用

打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺

序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国

围棋队各有〃名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的"名队员按出场的先后

顺序记为4,%,La„,日本队的〃名队员按出场的先后顺序记为乙也，…〃.假设”,胜

勺&）=1,2,3,…"）的概率为p为常数）.

（1）当"=5时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的

概率；

（2）记中国队被淘汰=2,3…“）人且中国队获得擂台赛胜利的概率为匕，求月的

表达式；

（3）写出中国队获得擂台赛胜利的概率PQ）的表达式（不用说明理由）.

16.（2023・江苏盐城学校考三模）2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我

国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.

（1）已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中

率均为g,一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随

机变量X,求X的分布列和数学期望；

（2）若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有加⑺21）发为实弹,

其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假

设每次射击相互独立且均随机，在进行eN）次射击后，记弹巢中空包弹的发数为X,,,

①当keN”时，请直接写出数学期望£（匕）与E（X,i）的关系;

②求出E（X“）关于”的表达式.

17.（2023・福建福州•福州三中校考模拟预测）某市为了传承发展中华优秀传统文化，

组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽

取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.

O3040506070H0901U0竞赛成绩/分

（1）求该100名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）

（2）从竞赛成绩在（40,50］,（50,60］的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，

现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在（40,50］的学生人数为X,求X的分布列

和数学期望E（X）；

（3）以样本的频率估计概率，从［30,50］随机抽取20名学生，用尸（女）表示这20名学生中

恰有女名学生竞赛成绩在［30,40］内的概率，其中％=0,1,2,…,20.当尸⑻最大时，求有

18.（2023•云南•校联考模拟预测）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣

传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质

平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门可叫为了了解全民对于“学

习强国”使用的情况，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N

名员工，其中2:是男性，（3是女性.

（1）当N=20时，求抽出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时;超几何分布近似为二项分布.现

在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男

性员工恰有2人的概率记作耳；在二项分布中（即男性员工的人数X~8（3,|））男性

员工恰有2人的概率记作£.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即

<0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：7578=24.04）

19.（2023•黑龙江哈尔滨•哈师大附中校考模拟预测）生产某种特殊零件的废品率为P

(O<P<1),优等品的概率为0.4,若20个此特殊零件中恰有4件废品的概率为/(p),

设/(P)的最大值点为丹.

⑴求％;

(2)若工厂生产该零件的废品率为2.

⑴从生产的产品中随机抽取”个零件，设其中优等品的个数为X,记4=P(X=左)，

%=0,1,，已知X=5时优等品概率《最大，求”的最小值；

(ii)已知合格率为80%,每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时

对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价格

出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5,工厂希望一个零件至少获利50

元，试求一个零件的修复费用最高为多少元.

20.(2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测)有3台车床加工同一型号的零件,

第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在

一起，已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率(结果用分数表示)：

(3)参照第(2)问给出判断，求第1,2,3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.

21.(2023・安徽合肥・合肥市第六中学校考模拟预测)在上海举办的第五届中国国际进

口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展

品”.体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%,重量仅约2克，拥

有强大的电池续航能力，配合兼容L5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能.在起

搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产

品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智

能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数

字相加，若和小于3,则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.

(1)求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；

(2)当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设

p.(〃eN”)表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若H恒成

立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没

有该项奖励资金.请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由.

22.(2023・安徽亳州•安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)某中学对学生钻研理工课

程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称

为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：

理工迷非理工迷总计

男243660

女122840

总计3664100

（1）根据a=0.010的独立性检验，能否认为“理工迷''与性别有关联？

（2）在人工智能中常用“8|/）=缁4表示在事件A发生的条件下事件8发生的优势,

在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生是非理工迷”，B表

示“选到的学生是男生“请利用样本数据，估计“8|力）的值.

（3）现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里

再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数X的概率分布列及数学期

望.

参考数据与公式：

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

K=(a+b)(c+d)(a+c)0+d)'其中〃=。+6+。+"

23.（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）现有4个除颜色外完全一样的小

球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）.

（1）记盒子乙中的小球个数为随机变量X,求X的数学期望；

（2）对于两个不互相独立的事件M,N,若P（M）＞0,P（N）＞0,称

）P（N）为事件M,N的相关系数.

①若p（MN）＞0,求证:P（M|N）＞P（M）；

②若事件M:盒子乙不空，事件N:至少有两个盒子不空，求p（M,N）.

24.（2023•辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测）在2005年世青赛中，被称作“超白金一代”

的中国男足U23代表队打出了中国男足在世界舞台上的最好表现.球队的战术核心，

来自沈阳的陈涛入选了奏事最佳阵容.世青赛的赛制分为小组赛、淘汰赛两个阶段.小

组赛中，参赛的32支代表队被分为8各小组，每个小组4支球队，按照单循环赛制选

出两支球队进入淘汰赛.淘汰赛中16支球队捉对厮杀，败者淘汰胜者晋级，通过4轮

比赛决出最后的冠军.

(1)已知在小组赛中，每赢一场记3分，打平一场记1分，输一场记0分.小组赛阶段中

国队与巴拿马、土耳其、乌克兰三支球队分在同一组.首战中中国队惊险战胜了欧洲亚

军土耳其队，在小组赛占据了优势.面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马对，根据

赛前球探报告分析，中国队都有实力优势，可以近似认为后两场比赛中国的获胜的概率

都为0.5,打平的概率都为0.2,输球的概率都为0.3.设中国队三场小组赛之后的总积

分为随机变量X,求出其分布列和期望.

(2)10号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重.过往数据

表示，在所有陈涛出场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中80%的场次，

陈涛在其代表中国队出场的40场比赛中，有30场比赛完成了进球或者助攻.在本届比

赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队.已

知在淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努力，

仍然不敌强大的德国队，遗憾告别世界杯.那么，若以过往的数据估计概率，请估计陈

涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率.

25.(2023•浙江•校联考三模)为贯彻落实习近平总书记关于学生近视问题的指示精神

和《教育等八部门关于印发〈综合防控儿童青少年近视实施方案〉的通知》以及《中国防

治慢性病中长期规划(2017-2025年)》等文件要求，切实提升我省儿童青少年视力健康

整体水平，实施了，"明眸'’工程.各中小学为推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展

了近视原因的调查.其校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品

习惯的关系，在己近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了

100人,得到如下数据：

长时间使用电子产品非长时间使用电子产品

近视4555

未近视2080

(1)能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？

(2)据调查，某校患近视学生约为46%,而该校长时间使用电子产品的学生约为30%,

这些人的近视率约为60%.现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生,

求他患近视的概率.

2

n/12n(ad-bc)...,,

HJJX—7i\/»x/\/»j\，中〃=o+b+c+d

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

第一轮甲VS乙丙VS丁

第二轮甲VS丙乙VS丁

第三轮甲VS丁乙VS丙

规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记。分，平局两队各记1分，三轮比赛结

束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设

甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为(，丁的水平较弱，面对

其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为k5.每场比赛结果相互独立.

623

(1)求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；

(2)若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3,0,3,0,求丁以6分

的成绩出线的概率.

27.(2023•山东泰安・统考模拟预测)现有一种不断分裂的细胞X,每个时间周期7内

分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞

消失，设每次分裂成一个新X细胞的概率为P,分裂成两个新X细胞的概率为1-P；

新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的X细胞,

在第一个周期T中开始分裂，其中

(1)设27■结束后，X细胞的数量为久求4的分布列和数学期望；

⑵设结束后，X细胞数量为机的概率为匕(〃).

(i)求6(〃)；

8

(ii)证明：^(«)<yp-.

28.(2023•湖北黄冈•淹水县第一中学校考三模)甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规

定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队

得0分：两人都答错，该团队得一1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为

32

4,3-

(D记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X)；

(2)假设该团队连续答题〃轮，各轮答题相互独立.记门表示“没有出现连续三轮每轮得

1分''的概率，？,=徒"+64_2+。匕一3(〃24),求a,h,c；并证明：答题轮数越多(轮

数不少于3),出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.

29.(2023•浙江•校联考模拟预测)为了解中学生的阅读情况，现随机抽取了某重点中

学100人，调查他们是否喜爱阅读，统计人数如下表：

喜爱阅读不喜爱阅读共计

女生4550

男生15

共计

(1)根据2x2列联表中数据判断是否有97.5%的把握认为“喜爱阅读与性别有关”？

(2)现进行一项阅读答题测试，测试规则：若该同学连续三次答对，则测试通过，答题结

束；若出现连续两次答错，则未通过测试，答题结束.其余情况下可以一直答题，直至

出现前面两种情况.已知该同学每次答对的概率为]，求该同学通过测试的概率.

参考附表：

P[K2>k)0.0500.0250.010

k3.8415.0246.635

2

”2n(ad-be)4,

参考公式：Z-=7币—----VAJ\'其中〃=4+b+c+d

[a+b)\c+a)[a+c)\b+a)

30.(2023•安徽合肥中学校考模拟预测)在一个典型的数字通信系统中，

由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送

到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传

输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值王,々，…，毛的随机变

量，分别记作X和y.条件概率尸(y=x,lX==，描述了输入信号和输出

信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X的平均信息量定义为:

"(X)=p(X=占)1鸣p(x=X,).当〃=2时，信道疑义度定义为

1=1

22

〃(y|x)=-ZZp(x=_y,y=w)log.y=号|x=@

J=1/=】

=-[p(x=%,y=xJiog2P(y=Mx=xj+尸(x=x”y=x2)bg2P(丫=乙1x=xj

+P(X=x2,Y=x[)\og2p(<Y=xl\X=x2)+P(X=x2,Y=x2)\og2p(Y=x2\X=xJ]

(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰

子向上的面出现的点数X的平均信息量(1暇3"59」鸣5x2.32,logj«2.81)；

(2)设某信道的输入变量X与输出变量丫均取值0,1.满足：

P(X=O)=<y,0(y=l|¥=0)=p(y=0|X=1)=MO<0<1,O<P<D.试回答以下问题：

①求P(Y=0)的值；

②求该信道的信道疑义度”(KX)的最大值.

专题04首届新高考-概率统计大题综合（首届新高考江西、广

西、贵州、甘肃专用）

一、解答题

1.（2023•山东日照・三模）某学校有48两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐

厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6;如果第一天去8餐厅，那

么第二天去A餐厅的概率为0.8.

（1）计算王同学第二天去A餐厅用餐的概率；

（2）王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，〃（〃22,〃eN+）种中式点心，王同

学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为X,求P（X=1）的最大值，并求

此时〃的值.

【答案】⑴0.7

（2）”=9或10时，P（X=1）有最大值为普

【分析】（1）根据条件概率公式和全概率公式求解即可；

（2）利用超几何分布表示出P（X=1）,列出不等式即可求最大值.

【详解】（1）设4="第一天去A餐厅用餐”，及="第一天去8餐厅用餐”,

4="第二天去/餐厅用餐”，

根据题意得P（4）=尸（4）=05P（414）=06P（41片）=0.8,

由全概率公式，得：尸（4）=尸（4）尸（4|4）+尸（修）尸（4|，）=0.5X0.6+0.5X0.8=0.7,

所以，王同学第二天去/餐厅用餐的概率为07

（2）由题意，X的可能取值有：0,1,2,3,

C[c：_

由超几何分布可知P（X=1）

C：*s("+5)(〃+4)("+3)'

15〃(〃一1)

打〃(〃+5a)(〃—+--4--)-(--〃---+---3-)--‘----若-----最-----大，则

15〃(〃-1)>15(〃+1»

(〃+5)(〃+4)(〃+3)(〃+6)々+5)[+4)

,解得9W〃W10,

\5n^n-1)15(n-1-2)

(〃+5)(〃+4乂〃+3)-(〃+4)R+3)[+2)

又..・〃£N,所以〃=9,10,

易知当〃=9和〃=10时、P（X=1）的值相等,

所以当"=9或10时，P（X=1）有最大值为非，

即当”的值为9或10时，使得P（X=1）最大.

2.（2023•云南保山•统考二模）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的

统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中

华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x（单位：克）与药

物功效j（单位：药物功效单位）之间具有关系$=10x-x2.

（1）估计该味中药的最佳用量与功效；

（2）对--批含有这味中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准

差为2,估计这批合成药的药物功效$的平均值.

【答案】（1）该药物使用量为5克时可达最大功效25.

（2）20

【分析】（1）根据用量x与功效j之间具有关系$=10x-x2,结合二次函数的性质，即可求

解；

（2）根据题意求得斗=6,结合则亍=]_£必=]_£00匕一七2）,即可

n»=i九f=i〃/=in；=i

求解.

【详解】（1）解：由题意，某味中药的药用量X与药物功效3之间具有关系$=10x-x2,

可得3=10万一/=一。-5）2+25，所以当X=5时，3nm=50-25=25,

即该药物使用量为5克时可达最大功效25.

2

（2）解：由题意，得1=1£占=6,?=l^.r；-x=4,所以」，＞,2=40,

则y=_£乂=_£（1。茗一X：）=10——=60-40=20,

〃/=|〃/=I〃/=1〃z=l

这批合成药的药物功效平均值为20.

3.（2023•江苏苏州•模拟预测）数据报告显示，2018-2022年期间，某公司旗下一款软件产

品的年度活跃用户数每年都保持着较为稳定的增长态势，具体数据如下表.

年份代码X12345

活跃用户数V（单位：亿）11.5112.2512.5813.6718.01

（I）根据上表的数据，可用函数模型£=以+£拟合夕与x的关系，请建立y关于x的回归方程

（计算Z的值时精确到0.01）,并预测2025年的活跃用户数；

（2）公司规定，活跃用户数大于12.00（单位：亿）的年份为“企业腾飞年在企业腾飞年中，

将活跃用户数低于13.00的视为良好，赋1分；将活跃用户数不低于13.00的视为优秀，赋

2分.现从企业腾飞年中任取两年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望.

5___

5-2孙,-5孙

（参考数据：1*13.60,=218.48,3=卡------—）

T1＞；一5（耳

1=1

【答案】⑴3=1.45%+9.25，2025年的活跃用户数约为20.85亿；

（2）分布列见解析，数学期望为3.

【分析】（1）根据最小二乘法计算可得回归方程，代入年份代码即可预测2025年用户数；

（2）根据条件得出得分的分布列，由期望公式计算即可.

【详解】（1）由表格计算可得：X=-2-^-4-5=3,

5

＞；_5卜）2=0+4+9+16+25）-5x9=10,

/=i

5

因为y413.60,£答»=218.48,5xy«204,

X=1

5-

crN?石再以一5盯218.48-204

所以b=---------=---------=1.448M.45.

2片-5@10

/=1

因为卜M满足，=&+£，即klBSO-MSxBug.ZS，

所以y关于X的回归方程是$=1.45x+9.25.

令x=8,得3=1.45x8+9.25=20.85,所以2025年的活跃用户数约为20.85亿.

（2）由表格可知：企业腾飞年有4个，其中计分为1分的年份有2个，计分为2分的年份

有2个，所以X的可能取值有2,3,4,

则尸（X=2）=m=5P（P=3）=若■=）P（P=4）系=*,

所以X的分布列为：

I7I

所以数学期望为£（X）=2X-+3X；+4X-=3.

636

4.（2023•黑龙江大庆•大庆实验中学校考模拟预测）某学校为了解学生对航天知识的知晓情

况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩,

按照［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］分组，得到如下所示的样本频率分布直方图:

O60708090100成绩(分)

(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数；

(2)从测试成绩在［90,100］的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑

选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，在这

6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.记甲、乙两

人中进入复赛的人数为J，求J的分布列及期望.

【答案】(1)82

4

(2)分布列见解析，E(^)=-

【分析】(1)利用平均数的计算方法，即可求解；

(2)由题意可求，甲乙分别进入复赛的概率，然后求出4=0,1,2时的概率，即可得到分布

列和期望.

【详解】(1)平均数1=(65x0.01+75x0.03+85x0.04+95x0.02)x10=82,

所以该校学生测试成绩的平均数为82.

(2)由题意可知，从6道题中选4题共有C：=15,

因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有C：C；+C：=9；

所以甲能进复赛的概率为E9，3，则甲不能进复赛的概率为1-3(=(2,

因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有C；C；=3；

所以乙能进复赛的概率为高=6，则乙不能进复赛的概率为=

依题可得，J的可能取值为0,1,2,

由4_8342114

所以尸(J=0)=-x-=—>尸(J=n1)=7X7+三xv,

JJ乙JJJJJ/J

c/匠313

P(^=2)=-x-=—,

V75525

则分布列为：

go~n~~

8143

P

252525

贝ljE（A）=0x-^+lx^+2xC4

v72525255

5.（2023•重庆•重庆南开中学校考模拟预测）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、

个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济

体中首个实现“物超人”的国家.下图是2018-2022年移动物联网连接数3与年份代码，的散

点图，其中年份2018-2022对应的f分别为1-5.

co/亿户

（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数（精确到0.01）,并推断它们

的相关程度：

（2）求w关于，的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.

fa,-7）（吗-丘）.-7）（吗-动

附：样本相关系数4=I""—I"，b=-----------------,a=w-b'T»

曲-（叱一寸

V1740®41.7

【答案】（1）0.98,两个变量具有很强的线性相关性

（2）w=4.1/+2.7,2024年移动物联网连接数31.4亿户.

【分析】（1）由散点图可判断是否线性相关，再根据已知数据计算相关系数即可;

（2）由数据计算回归方程，并由方程计算预测即可.

【详解】（1）由图可知，两个变量线性相关.

1+2+3+4+5,7+12+13+19+24y

由已知条件可得：T==3,w=-------------------=15,

5

5

所以叱一讨）=16+3+0+4+18=41,

i=\

2

叱一刃J=164+9+4+16+81=V174，^（rf-7）=,4+1+0+1+4=710，

4141

所以相关系数厂=而石々行"098,

因此，两个变量具有很强的线性相关性.

*41人

(2)结合(1)可知,/>=—=4.1,&=刃一6了=15-4.1x3=2.7

所以回归方程是：的=41+2.7,

当f=7时,有/=4.1x7+2.7=31.4,即预测2024年移动物联网连接数为31.4亿户.

6.(2023•江苏•金陵中学校联考三模)一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有

数字0~9,先后从袋中随机取两只小球用事件N表示“第二次取出小球的标号是2“，事件8

表示“两次取出小球的标号之和是加

⑴若用不放回的方式取球，求尸(/)；

(2)若用有放回的方式取球，求证：事件/与事件8相互独立的充要条件是加=9.

【答案】⑴5；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，利用全概率公式计算作答.

(2)利用列举法求出概率，结合独立性推理判断充分性，再利用条件概率公式推理判断必

要性作答.

1—9

【详解】(1)用C表示“第一次取出小球的标号是2“，则P(X|C)=0,P(C)=—,

P(mO］，

所以尸(，)=0(。+*)=00升。俘)=P(C)xP(HC)+P(C)xP(H。)

1八911

=—x0+—x—=—.

1010910

(2)记第一次取出的球的标号为x,第二次的球的标号为外用数组(x,y)两次取球，则

n(Q)=100,

充分性：当〃?=9时，

事件B发生包含的样本点为(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1),(9,0),

因此尸出)=喘=黑=上，事件48发生包含的样