高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用精练阶段自测卷（四）

阶段自测卷（四）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.（2019•衡水中学考试）已知等差数列｛斯｝的公差为2,前〃项和为S“且Sio=lOO,则田

的值为（）

A.IIB.12C.13D.14

答案C

解析由Sio=lOO及公差为2,得10"|+1°义"°~0x2=100,所以m=l.所以a,t—2n—\,

2

故“7=13.故选C.

2.（2019•四川诊断）若等差数列｛飙｝的公差”W0且。3,的成等比数列,则丝等于（）

a\

321

A.-B.-C.~D.2

232

答案A

解析设等差数列的首项为内，公差为力

则43=m+2d,Q7=QI+6".

因为m,。3,。7成等比数列，

所以（0+2d）2=Q]（〃i+6"）,

解得m=2d所以丝=@*=3.故选A.

4712d2

3.（2019・四省联考）已知等差数列｛劣｝的前〃项和为S”若S6=30,SIO=1O,则S[6等于（）

A.-160B.-80C.20D.40

答案B

解析由于数列为等差数列，故F+1W-30,

110m+45"=10,

解得“1=10,d=-2,故Si6=16m+12（W=16X10+120X（—2）=-80,故选B.

4.记等比数列｛a,,｝的前〃项和为S”若$3=2,$6=18,则粤等于（）

05

A.-3B.5C.-31D.33

答案D

。1（1一一）

解析由题意知公比qWl,1>=[+展=9,

S3m（l―—）

i—q

；.0=2,—=—皿—=1+垢=1+25=33.

Ssm（l―—）

i—q

5.（2019湖南五市十校联考）已知数列｛斯｝满足2斯=飙_1+0+1（〃22）,，+。4+。6=12,at

+03+05=9,则。1+。6等于（）

A.6B.7C.8D.9

答案B

解析由数列｛“”｝满足2a“=a"_i+a"+i（〃N2）得数列｛斯｝为等差数列，所以〃2+。4+46=3°4

=12,即04=4,同理。|+。3+。5=3。3=9,即。3=3,所以。|+。6=。3+44=7.

6.（2019•新乡模拟）为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的

训练计划：第1天跑5000m,以后每天比前1天多跑200m,则这个同学7天一共将跑（）

A.39200mB.39300mC.39400mD.39500m

答案A

解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5000,公差为200

的等差数列，则这个同学7天一共将跑5000X7+3^X200=39200（m）.故选A.

7.等差数列｛。“｝的前〃项和为S”已知而_1+如+1—4=0,S2*I=38,则，”等于（）

A.38B.20C.10D.9

答案C

解析因为｛〃“｝是等差数列，所以。,1+加+户2%”

—

由am-1+am+1—0,得2。卅一Q需=0,

由52w-i=38知斯1#0,所以4〃尸2,

又距一尸38,即鱼日@土山=38,

2

即（2〃L1）X2=38,解得加=10,故选C.

8.（2019青岛调研）己知各项均不相等的等比数列｛的｝,若3a2,2a3,四成等差数列，设S”

为数列｛〃■｝的前〃项和，则也等于（）

。3

137

A.-B.-C.3D.1

99

答案A

解析设等比数列｛〃〃｝的公比为夕，

・・・3。2,2S,以4成等差数列,

2X2a3=3〃2+。4,

；・4。2g=342+029〉,化为12—4q+3=0,

解得q=l或3.

又数列的各项均不相等，

“GT）

当q—3时，星=3—1=口.故选A.

内0义99

9.（2019•广东六校联考）将正奇数数列1,3,5,7,9,…依次按两项、三项分组，得到分

组序列如下：（1,3）,（5,7,9）,（11,13）,（15,17,19）,称（1,3）为第1组，（5,7,

9）为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中的（）

A.第404组B.第405组

C.第808组D.第809组

答案A

解析正奇数数列1,3,5,7,9,…的通项公式为°“=2〃-1,则2019为第1010个奇

数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组

序列中的第404组，故选A.

10.（2019•新疆昌吉教育共同体月考）在数列｛m｝中，01=2,其前〃项和为S”.若点I"'"+J

在直线y=2x—1上，则°9等于（）

A.1290B.1280C.1281D.1821

答案C

由已知可得落

解析

又F一］=a|一］=1,

所以数列J是首项为1,公比为2的等比数列，

所以1=2厂1,得q=〃（1+2"一1）,

n

=n2

当“22时，anSti—Sn-\=（n+1）2~+1,

故09=10X128+1=1281.

11.（2019•长沙长郡中学调研）已知数列｛斯｝的前〃项和为S",且S,=〃2+4〃，若首项为;的

数列｛儿｝满足」一一；=%，则数列｛5｝的前10项和为（）

bn+\bn

AA.-----BD.—C.-----D.-----

26488264264

答案A

解析由S〃=/+4〃，可得a“=2〃+3,

1

根据•如=2〃+3,结合题设条件，应用累加法可求得;=层+2〃,

btt+1bnbn

11Ip--T~\

所以bn=---------=----------n+2j,

n2+2nn(n+2)2

所以数列｛瓦｝的前〃项和为Tn

]—1+1—1+・・・+]----!—1

=u324n77+2J

2

，故选A.

nx

12.已知数列｛飙｝的通项。〃，〃£N*，若----FQ2018Vl，

(x+l)(2x+1),,,(«%+1)

则实数x可以等于（)

A.4B.511

C.

1260

答案B

nx

解析an

(x+l)(2x+l)…(nr+l)

1

(心2),2T----------H42018

(x+l)(2x+1)…[〃(x—1)+1](x+l)(2x+1)…(〃x+1)

X.11

x+\x+1(x+l)(2x+1)-(2018x+l)

1

=1

(x+l)(2x+1)-(2018x+l)>

71

当工=一：时，x+l>0,〃x+l〈0(2W〃W2018,〃WN*),此时1

(x+l)(2x+1)-(2018x+l)

当工=---时，x+1>0,x+2>0,nx+1O(3W〃W2018,〃£N*),此时1一

12

<1;

(x+l)(2x+1)-(2018x+l)

ia

当x=----时，x+1>0,x+2>0,x+3>0,〃工+l〈0(4，W2018,〃£N*),

48

此时1>1;

(x+l)(2x+1)…(2018x+1)

当x=一豆时，x+1>0,x+2>0,x+3>0,

x+4>0,

60

x+5>0,〃x+l<0(6W〃W2018,

此时［―----------------------->1.

(x+l)(2x+1)-(2018x4-1)

故选B.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.设等差数列｛小｝的公差为以其前〃项和为S”若a4+mo=O,2sm=S2+10，则〃的值

为.

答案一10

解析由44+00=0,2512=52+10,

+3d+m+9d=0,

得Li⑵|+肾可=如+小。，解得占”

14.(2019•沈阳东北育才中学模拟)等差数列｛〃“｝,｛8｝的前〃项和分别为S,和T“，若%=

2/+1小产+41】+419

3〃+2''i7+615

129

答案

130

解析原式=3aii=32〃ii=3。1+。21=3S21=32X21+1=129

~2bu~22b}\2b}+b2}~27'21-23X21+2-130)

y+2019rtj

15.(2019•荆州质检)已知数列｛如｝的前〃项和为S〃，若〃〃=(2〃-l)sin1,贝IS2019

答案2020

Qp^+20193

解析•.•斯=(2〃-l)sin12J

=(l-2〃)siny,

••ax,。2,…，斯分别为一1,0,5,0,—9,0,13,0,—17,0,21,0,…，

归纳可得，每相邻四项和为4,

5*2019=504X4+^2017+<22018+^2019

=2016+[(1-2^2017)+0+(2x2019-1)]

=2016+4=2020.

16.(2019•长沙长郡中学调研)已知点列尸i(Lyi),尸2(2,次),P3(3,g)，…，尸田(〃+1,yn+\)

在X轴上的投影为a，Q,…，。〃+1,且点尸用满足刈=1,直线R盟+1的斜率七0=2〃.则

多边形尸]。笈〃+1尸“+i的面积为.

答案3X2"一〃一3

解析根据题意可得丹+i—%=2",结合"=1,应用累加法，可以求得力+I=2"+I—1,

根据题意可以将该多边形分成〃个直角梯形计算,

且从左往右，第n个梯形的面积为S“=M±皿=3X2"i-l,

2

总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S=3(2»-l)-n=3X2"-«-3.

三、解答题(本大题共70分)

17.(10分)已知｛④｝是以a为首项，g为公比的等比数列，S,为它的前〃项和.

(1)当S,S3,S4成等差数列时，求g的值；

(2)当S“，S“S成等差数列时，求证：对任意自然数左，a**,an+k,也成等差数列.

(1)解由已知，得I因此

5i=a,$3=a(l+g+q2),54—«()+^+^2+^3).

当Si,S3,S4成等差数列时，S4—S3=S3—Si,

可得aq3=ag+ag2,化简得六―]=0.

解得q=畔.

(2)证明若夕=1,则｛a”｝的各项均为a,

此时而+*,a”+k,a/+*显然成等差数列.

若qWl,由金，S„,S成等差数列可得S"+S=2S“，

即心一1)।。(/-1)=2如"-1)

q—1q—1q—1

整理得q,n+ql=2qn.

因此即+«+*=aqkr(qm+/)=2aqn"一】

—2a〃+k,

所以am+k9a〃+k,Qi+k成等差数列.

18.(12分)(2019•安徽皖南八校联考)数列｛斯｝的前〃项和记为S〃，且4Sa=5a〃一5,数列｛儿｝

I两足bn—10g5Q〃.

(1)求数列｛〃〃｝,｛儿｝的通项公式；

⑵设以=」一，数列｛以｝的前n项和为Tn,证明Tn<\.

bnbn+\

==

(1)解•.•4S〃=5a〃-59/•4tzi5ci\—5,d?i5.

当时，4s〃_1=5斯_]—5,/.^an=5a,-5an_\,

••a”—5。”—1,

・・・｛〃〃｝是以5为首项，5为公比的等比数歹人

/.。〃=5,5"一1=5".

・・6”=logs5”=儿

1

(2)证明・・・

n(n+1)nn+1

=1———<1.

〃+1

19.（12分）（2019•安徽皖中名校联考）已知数列｛%｝满足：斯+1=2为一〃+1,m=3.

（1）设数列｛如｝满足：bn=a-n,求证：数列｛4,｝是等比数列；

（2）求出数列｛诙｝的通项公式和前n项和Sn.

⑴证明，+「。"+|一（"+l）=2a“一月+1—（〃+1）

bna,,~nan-n

=2(a“一”)=2

an-n

又加=m—l=3—1=2,

二｛儿｝是以2为首项,2为公比的等比数列.

(2)解由(1)得儿=2",；.。“=2"+",

I2,,l2n

.,.SH=(2+1)+(2+2)H------|-(2+??)=(2+2H-----F2)+(1+2+3H------Fn)

=2(1-2")।12I“("+1)

1-222

20.(12分)(2019•湖南衡阳八中月考)已知数列的前n项和为S”且S“=2a“一WN*).

(1)证明：｛4+1｝是等比数列；

⑵若数列6“=log2(a“+1),求数列J21•岳“+｝的前n项和T,,.

⑴证明当〃=1时，51=2^1—1,=

S,t=2Q“一〃，,S〃+1=2。,?+】一(〃+1),

,•。〃+1-2。〃+1y

/.aw+i+l=2(。”+1),

・・・｛z+1｝是以m+1=2为首项，2为公比的等比数列.

⑵解由(1)得〃〃+1=2〃,

**•=log22"=n,

/.-------------=---------------------=-4.2/7-12/7+1J

岳〃_1也〃+1(2〃—1)(2w+1)2

1[1_1+1_1+...+_1——q

3352n~l2n+lJ

~2n+1

21.（12分）（2019•青岛调研）已知数列｛〃〃｝的各项均为正数，其前〃项和为S〃.

（1）若对任意〃金N*,S〃=---都成立，求斯;

（2）若4]=1,42=2,6〃=。2〃一1+。2〃，且数列｛5｝是公比为3的等比数列，求$2”.

解⑴由S尸七尹，

得S_i=H+〃,”>2,两式相减得如=〃，n>2,

2

,〃=1,

又m=Si=K不满足斯=〃,

2

,〃22.

（2）S2〃=41+42+-，+。2”=（。1+。2）+（。3+。4）+・・・+（〃2〃1+。2"）=/>]+62+・・・+儿，

・・・从=0+。2=3,｛儿｝是公比为3的等比数列，

••Sin—b\~\~bl~\~***~\-bn=~^~----=~（3n—1）.

1-32

22.（12分）（2019・湖南岳阳一中质检）已知数列｛④｝的前〃项和为租,Sn=2an-2.

⑴求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）设数列｛仇｝的前〃项和为7.,h\=\,点（7；+i，T.）在直线——一上，若存在“GN*,

n+1