2020-2023年高考数学真题分类汇编七 平面向量【含答案解析】

1.(2023•新课标I卷第3题)已知向量”=(1,1),1=(1,-1).若(4+")_13+〃坂),则()

A.2+//=lB.九+〃=—1C.A/z=1D.力=-1

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积运算，结合向量垂直，向量的数量积为0,为较易题.

【解答】

解：(a+Ab)-(a+/.ib)=a2+(A+ju)(a-b)+A/.ib2=2(1+A/u)-0,所以办=一1；故选。.

2.(2023•新课标H卷第13题)已知向量a,人满足|a—6|=6，|a+b|=|2"—以，则|=

【答案】＞/3

【解析】

【分析】

本题考查向量模及向量数量积的运算，属于基础题.

将两等式分别平方，然后化简计算即可.

【解答】

解：将原式平方：

I一化简可得：卜=3.

||n+fe=|20-fc|I"a2_2d.b=U

即82=3，故/|=Ji

3.(2023•新课标I卷第17题)已知在45c中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

⑴求sinA；

(2)设AB=5,求AB边上的高.

TT

【答案】解：(1)A+3=3C,.•.万一。=3。，解得。二一.

4

/.2sin(A-Q=sinBnJ化为2sin(A--)=sin(%---A),

44

即2sin(A--)=sin(--A),

44

展开得：x/2sinA-^cosA=—cosA+—sinA,整理得sinA=3cosA,

22

将cosA=gsinA代入sin2A+cos2A=1,得令sin?A=1,

..2x_9-.3y/10

••sinA———,sinA=----.

1010

(2)由(1)知sinA=>cosA=—sinA=—,C=—,

103104

.^./W边上的高^=ACsinA=2^x^^=6.

【解析】本题考查了三角恒等变换与解三角形的相关知识，属于中等题.

⑴根据题意，结合A+8+C=〃可直接求出C,再将C代入2sin(A-C)=sinB进行恒等变换得

sinA=3cosA,最后再结合同角三角函数的基本关系即可求解;

(2)结合三角恒等变换、正弦定理，分别求出sin8和AC,即可得AB边上的高ACsinA的值.

4.(2023•新课标II卷第17题)记_>$。的内角A,B,C的对边分别为a",c,已知面积为追，

。为8C的中点，且45=1.

TT

(1)若NAZ)C=—,求tanB；

3

⑵若b?+c2=8,求b,c.

【答案】解：(1)5Age=6,。为8c的中点，

:.S即,A£>.CL>.sinNAOC=」xlxa)x正=@，解得CZ)=2,则37)=2.

ADC22222

过点A作AE_LCD于点E,则在“M)£中，AE=—,DE=-,

22

..在RJA砂中，BE=BD+DE=h,tanB=—==—.

2BE55

2

E

D

A

(2)在A/WC中，AO=g(A6+AC),

AD|2=-(AB+AC)2=-(|AB|2+|AC|2+2AB-AC)=-(c2+b2+次cosA),

444

1=—(8+2/?ccosA),即匕ccosA=-2,

4

又S.ABc=g"csinA=A/5，，0csinA=2\^，

.Z?csinA26/-

tanA=----------=------=73，

becosA-2

2万\J?>

..A=,sinA=—,be—4.

32

4

再将匕=一代入〃+C2=8,即可解得匕=C=2.

c

【解析】本题考查了解三角形的综合应用，属于中等题.

(1)结合三角形面积和中点关系进行求解；

(2)观察题目所给条件，结合中线的向量表示和三角形面积进行求解.

L2022年真题】

5.(2022•新高考I卷第3题)在，/山。中，点。在边AB匕8D=2ZM记C4=〃?，CD=n>则CB

()

A.3m-2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+?>n

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题.

【解答】

21

解：CD^-CA+-CB,CB=3CD-2CA=-2m+3n.

6.(2022•新高考H卷第4题)已知向量。=(3,4),b=(l,0),c=a+tb，若<a,c>=<b,C>,则实

数f=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算和夹角运算，属于基础题。

【解答】

解：由已知有，=(3+人4),cos<a,c>=cos<b,c>,

9+3/+163+f

故下而'

解得f=5.

7.(2。22・新高考I卷第18题)记的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知霁

(1)若。=——，求8;

3

a2

(2)求的最小值.

【答案】

2A..2A

cos----sin--

cosAsin23222sinBcosB

解：⑴且cosB工0,

2Al•2•AA1+2cosB—1

1+sinA1+cos23cos—Fsin—F2sin—cos—

2222

A.A1A

cos-----sin—.1-tan-

2sinBnA

21—tanB,tun(--------)=tanB,

c"+sidcosB1A4?

1+tan-—乙

222

71A

又A,Be(0,zr),---------e吁"去"

42

T7厂2汽.c兀.n"

又C=—，A+B=—:.B=—

33f6

b

(2)由正弦定理

sinAsinBsinC

[oA1-cos2(------)

siYA+sii??犷心百吁勺1-cos2A'42

a2+b22+2-

得一二面少十多

1-cos2(A+?-g)

2

1-cos2A+l-sinA_2sin123A-sinA+l

1+sinA1+sinA

Ae（0,万）

71

"A八=>/l€（0,—）,令l=l+sinAe（l,2）,

-----二B£（0,4）2

142

则），=2（"1）2一（"1）+1;2一5+±ze（i,2）,

tt

y=2f—5+3在fe（l,、右）时递减，在re（、/2,2）时递增，

t

因此，=应时，％m=40-5.

【解析】本题主要考查三角恒等变换的综合应用及利用余弦定理和对勾函数解决最值问题，属于中档题.

⑴由二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切函数公式化简得tan（2-4）=tan5,即可求

42

B；

（2）由正弦定理，二倍角公式化简得巴二二2sm41smA+l,令，=1+5山4,利用对勾函数性质即

c1+sin71

可得解.

8.（2022•新高考n卷第18题）记JLBC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,

b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S-S,,邑，且s—工+邑=走，sinB=-.

23

⑴求二ABC的面积;

(2)若sinAsinC=史^，求b.

3

【答案】

解：(1)边长为。的正三角形的面积为立/,

4

St-S2+S3=手(。2―/+。2)=*,即accosB=l，

由sin6=」得：cosB;也13V2

/.ac=

33cosB4

故S-Lcsin6=k^x'=^.

ABC22438

3V2

b2工93-1

(2)由正弦定理得:—j=~=G故6=_sinB=一

sin2BsinAsinCsinAsinCV2422

V

【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形

(1)利用余弦定理与正三角形的面积求得比，继而利用面积公式求解

(2)利用正弦定理进行变形，即可求解

[2021年真题】

9.(2021•新高考I卷第10题)(多选)已知。为坐标原点，点6(cosa,sina),£(cos民—sin，),

P3(cos(«+/?),sin(a+/?)),A(l,0),则()

A.\OP,\=\OP2\B.\AP^\=\AP2\

C.OAOP3=OPXOP2D.0Aop'=OP]OP、

【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，及三角恒等变换，属于中档题.

根据题意，由向量的坐标运算公式及三角恒等变换公式依次分析选项，即可得答案.

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：

对于4、|O[|=|Og|=l,A正确；

对于8、|AFJ|=J(cosa-1)』+sin2a=j2-2cosa，

1/：\—…I、山•,v2L…，B不正确；

对于C、OA-OP3=cos(a+/?),

OPXOP2=cosacos/3-smasinp=cos(cr+/?),C正确;

对于。、OA-=cosa,OR・OQ=cosPcos(a+/?)-sin/sin(a+/?)=cos(a+2/?),。不正确；

故选AC

10.(2021•新高考I卷第19题)记JRC的内角A,B,。的对边分别为mb,仁已知〃2=〃。，点。

在边AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b.

(2)若AZ)=2OC,求cos/ABC

【答案】

〜<2sinC

证明：(1)BDsinZABC=tzsinC,:.BD=~~~

sinZABC

babsinA

由正弦定理可知,./人得sin/ABC=--------，

sinZABCsinAa

cnasinCa2sinCac

/.BD=—；---=---------=——

「sinA人sinAb，

a

又「b2=ac9BD=b.

h2b

解：(2)AD=2DC,.•・可知。。=一，则AO=一，

33

从+(竺)2一,2^-c2

1Q

在.ABD中，cosZADB=-------%——=—,

2ba枷

33

b2+

在..BCD中，cosZCDB^——,…，

2—"

33

ZADB=7i-Z.CDB，cosZADB=-cosNCDB,

1382210〃2

-----c------a

即工，=一一%—，整理得6a2-1+3/=0,

4b-2b

亍7

又。2=ac，贝!16a2—1lac+3c2=0，

即二，：.U,可得a=—或a=£,

23

当a=—时，b=~-c>

22

/3cV+<J_M

在.ABC中，由余弦定理可得5,.“小（>

GOB_

20r"丁

2x—xc

2

当时，b=2c,止匕时h<c—a,不合实际，则舍去，

33

7

故：cosZABC=—.

12

【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理，属中档题.

…asinC

⑴由题可得皿=；1^菽,再借助正弦定里即可得证;

（2）根据NAO3=»-Na>3,即cosNAO8=-cosNCDB,分别在ABD和BCD中，利用余弦定

理可建立等式6/一1仍2+3。2=0,又由〃=ac，则6/—llac+3c2=0,可得a==或a=；,进而

23

分类讨论求解cosZABC.

11.（2021新高考II卷第15题）已知向量a+0+c=0，W=1，W=，|=2,a・b+b・c+c・a---------

9

【答案】一大

2

【解析】

【分析】

本题考查了向量数量积的运算，合理转化是关键，属于中档题.

由已知可得(a+8+c『=0,展开化简后可得结果.

【解答】

解：由已知可得

(a+/?+c)=a+b+c^+2^a-b+b-c+c-aj=9+2^a-b+b-c+c-a^=0,

--9

因此，a-b+b-c+c-d=——.

2

9

故答案为：—.

2

12.(2021•新高考H卷第18题)在“1BC中，角A8,C所对的边长分别为。也c/=a+l,c=a+2.

⑴若2sinC=3sinA,求一ABC的面积；

(2)是否存在正整数。，使得一ABC为钝角三角形？若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

【答案】

解：⑴因为2sinC=3sinA,

根据正弦定理可知2c=2(。+2)=3。,

则a=4,故〃=5,c=6,

a2-c2

cosC=>0

2ab4

所以c为锐角，IjiijSinC=Vl-cos2C=—

8

因此，SABC=-^sinC=-x4x5x^=l^..

ABC2284

(2)显然c>6>a,若一ABC为钝角三角形，则C为钝角,

,b~c~<r♦(a+19-(o+2)*a*2a-3

由余弦定理可得「小「，一

2a(a+I)2a(o+1)

又〃>(),则2a—3v0，即(a+l)(a—3)v。,

解得—lv〃<3,则0vav3,

由三角形三边关系可得a+a+l>〃+2,可得。>1,

aeZf故。=2.

【解析】本题考查了正余弦定理与同角三角函数的基本关系，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

(1)由正弦定理可得出2c=3a,结合已知条件求出”的值，进一步可求得氏c的值，利用余弦定理以及同

角三角函数的基本关系求出sinC,再利用三角形的面积公式可求得结果；

(2)分析可知，角C为钝角，由cosC<()结合三角形三边关系可求得整数。的值.

[2020年真题】

13.(2020•新高考I卷第7题)已知P是边长为2的正六边形4BCOE厂内的一点，则APAB的取值范围

是()

A.(—2,6)B.(—6,2)C.(—2,4)D.(-4,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积，属于综合题.

根据投影的几何意义即可解答.

【解答】

解：|研.四].«B<1TR>=2|则见〉,

由投影定义知，当点尸与点F重合时，

APA8取最小值W.房2.

当点P与点C重合时，AB取最大值…I/1AH2.人:।*.

故AP-AB的取值范围是(一2,6)・

故选A

14.(2020•新高考H卷第3题)在一ABC中，。是A8边上的中点，则CB=()

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查向量的表示，考查向量加法减法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

利用向量加法减法法则直接求解.

【解答】

解：在4ABe中，。是43边上的中点，

则CB=C£>+=CD+AO=CO+（AC+CD）=2CD-CA.

故选：c.

6（2020•新高考I卷第17题、II卷第17题）在①ac=G，②csinA=3,③c=&这三个条件

中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在cABC,它的内角A,8,C的对边分别为a,h,c,且