2023届高考数学 全国卷中的创新题与命题背景汇编

全国卷中的创新题与命题背景汇编

1.二进制问题

一.重要结论

L定义：设整数〃>1,则每个正整数〃可唯一表示为〃…+6〃+4，

其中《满足OKqKp-l,ieN+,%*0,则称为为正整数〃的p进制表示中的数码.特

别地，当p=2时就可得到正整数〃的二进制表示.

2.二进制的运算性质.

k

(1)若〃=4-2"+a*_/2i+…+a/2+4,则称。(〃)=工^,为正整数〃的2进制表

/=0

示中的数码和，显然次2"'•〃)=©；〃).

证明：由于〃=a/2*+%_/2*T+…+。/2+旬，则2'"•〃=£4：㈡'""'，显然可得

i=0

。(2"'-〃)=0(〃)

(2)二进制的加法运算：“逢二进一”.待会通过例题予以分析.

(3)旗2"'-〃+f)=0(〃)+0(f),其中正整数f的二进制展开式中最高次数小于m.

证明：由于〃=4-2"+4_/2i+…+6-2+旬，则另一方面，令

/=0

/

t=£b「27,则co(2"'-n+t)-3(”)+3。).

J=o

例如：写出11的二进制表示.

解析：由于11=1x23+0x22+1x21+2°,故(11)2=1011.

注：可以看到，一个正整数的二进制表示其实就是以2为底的幕级数展开的系数.

二.典例分析.

例.(2021新高考2卷)设正整数〃=4-2"+4T+…+a/2+4，其中a,G{0,1},

k

记0(〃)=Z4,则()

/•=0

A.G(2〃)=co(n)B.以2〃+3)=以〃)+1

C.69(8/2+5)=69(4H+3)D.颂2〃-1)=〃

解析：由上述性质(1),A正确.

由于72=q•2"+%_]•2"।4-----Fa1•2+%,贝!)

k

2〃+3=2•Z+21+2°=2°+(%+1)•21+q•2?+…+4•2*+,,

1=0

故。(2〃+3)=3(〃)+2,则B错误.同理可证，C正确.

最后，由于2"-1=2°+2]+…+2",故次2"-1)=〃，D正确.

2.分支过程与灭绝概率

一.概率母函数m

1.设X是非负整数值的离散型随机变量，其概率分布列为p*=P{X=A}M=0,l,2一,则

k

定义嘉级数。(s)=£pks,\s|<1,称为随机变量X的概率母函数.

k=0

2.主要性质CZ

(1)随机变量的概率分布由它的母函数唯一确定.即：

弧(S)=册⑹QP(X=k)=PQ=k)

(2)EX=°x⑴,4X2)=痘⑴+4(1).

二.分支过程m

设最初有〃。个物种，每隔一单位时间，一个物种可以分裂成/(/=0,1,2…)个物种，设其对

应的概率为Pi：Pi»0,£p/=1.

/=0

假设这些物种分裂是相互独立且具有相同的分布，令X向J表示在时刻〃存在的第，个物种

在下一时刻(第〃+1时刻)分裂成的物种个数，Z〃表示时刻〃中总物种的个数，则

Z。=〃o

7=1z.

"Z,r之X”

六1

下图说明具体的分裂过程

Z0=s

4=乂(0)+…+x.(o)

z,=^,(l)+-+%Zi(l)

z.=x—..+Xzi(〃-i)=Wx,(〃-i)

三.分支过程的母函数E

分支过程z“,〃=0,1,2…任一代的任意一个个体繁衍概率母函数均为：o(s)=£PF.

J=0

四.灭绝概率：分支过程的灭绝概率「是方程。(s)=s的最小正根.

注：由四可知，关于该物种分裂的灭绝概率研究等价于去研究方程。(s)=s的最小正根.

五.典例分析

例(2021新高考2卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生

物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代

繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设¥表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

P(X=i)=p；(i=0,l,2,3).

(1)已知％=0.4,PI=0.3,「2=0.2,P3=0.1,求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

PO+P[X+P2X2+P3X3=X的一个最小正实根，求证：当E(X)41时，P=l,当E(X)>1时,

P<1;

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

解析：(1)£(X)=0x0.4+1x0.3+2x0.24-3x0.1=1,

(2)设“*)=。3^3+「2/+(冒一1)”+「0,因为P3+P2+P1+PLI，故

/(x)=府+P/2-(0+A)+科)％+Po，若E(X)41,贝！I口+2P2+3%41，故外+2P34Po.

/'(x)=3必/+20X-(2+PO+P3)，因为/'(O)=-(P2+Po+n)<°，

尸(1)=0+2仅一。04°，故/(x)有两个不同零点占,电，且不<。<14%,

且x«-00,%）5孙+°°）时，/'（x）＞0;时,r（x）＜0;

故/（X）在（30,与），（々,+8）上为增函数，在（%,々）上为减函数，

若*2=1，因为“X）在（法一）为增函数且"1）=0,

而当4«0,々）时,因为/（X）在（43上为减函数，故/（x）＞"s）=/⑴=0,

23

故1为Po+P1X+P1X+P3X=X的一个最小正实根，

若*2＞1,因为/1⑴=0且在（0,工2）上为减函数，故1为4+夕|*+02/+03*3=》的一个最小

正实根，综上，若E（X）41,则P=l.

若E（X）＞1,则乌+2P2+3「3＞1,故Pz+2p3＞Po.

此时f'（O）=—（P2+P0+P3）＜O,f'（l）=p2+2P3-p0＞0,故/（x）有两个不同零点0七，

且工＜0＜七＜1，且XG（f°，W）（X4，+°°）时，r（x）＞0;xw（w，xj时，r（x）＜0；

故〃x）在（—，动，（七,内）上为增函数，在（髭,毛）上为减函数，而/⑴=o,故/（看）＜0,

又/（0）=%＞0,故“X）在（0,又）存在一个零点P,且0＜1.所以P为

Po+PiX+PzV+psx=x的一个最小正实根，此时p＜l,故当E（X）＞1时，p＜\.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后

代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.

注L此题实际就是分支过程的经典应用.

注2.在最多分裂三个的情况下，EX=0+2p2+3p3,若使得EX＞1,明显让外，。3越

大，EX就越大，物种的灭绝概率就会小于1,持续生存下去，这可能就是生二胎，生三胎

的一个最直观的解释！

参考文献：［1］孙荣恒.随机过程及其应用［M］.北京：清华大学出版社，2003.

3.数阵问题

--重要结论

4」

。2,1，。2,2

“3、1，〃3.2，〃3,3

ak,\，4,2，4,3，…W,"l，ak.k

性质L显然，第一行一个数，第二行两个数，以此类推，第左行有左个数，这样的话，前

攵行一共有处w个数

2

性质2.记Tkt表示第Z行的前/个数之和，则，」=£akjA<t<k,tEN\

；=i

性质3.记S人表示前k行所有数之和，则“=£7；.

;=1

性质4.三角数阵的前N项和.设存在整数/,使得：Nw[竺2++2)],进一步,

22

记t=N—则三角数阵的前N项和SN=H+7；+9

典例分析

例.(2017年全国1卷12题)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为

激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的

激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8…，其中第一项是2°,接下来

两项是2°,2),再下来三项是2°,2',22,以此类推，求满足如下条件的最小整数N:N>100,

且该数列的前N项和为2的整数塞.那么该款软件的激活码是()

解析：由题意得，数列如下：

1,

1,2,

1，2,4',则该数列的前1+2++左=%3项和为：

1,2,4,,21

S(^^)=l+(l+2)++(1+2++2k-')=2k+'-k-2,要使有火214,此

时％+2<21，所以上+2是第A+1组等比数列1,2,,2,的部分和，设

k+2=\+2++2'-'=2'-\,所以上=2'-3214,贝！|，25,此时&=2$-3=29,

所以对应满足条件的最小整数汽=学3+5=440,故选A.

4.全概率公式与随机游走

1.转移概率：对于有限状态集合S,定义：%=P(X“+g"Xg)为从状态，到状态j的转

移概率.

2.马尔可夫链：若P(X“+f|Xg,X“_ET，…,X°%)=P(X,»|XQ=P0,即未来状态

x,1+1只受当前状态X”的影响，与之前的x,i，x“_2,…,X0无关.

3.完备事件组：如果样本空间Q中一组事件组｛A,A2,…A“｝符合下列两个条件：

(1)4cAj=0,i=1,2,…〃；

(2)UA=Q-

k=\

则称｛A,…A,｝是。的一个完备事件组，也称是。的一个分割.

4.全概率公式：设｛4,4,…AJ是一个完备事件组，则有

P(B)=£P(4)P(6|4)

2=1

二.典例分析.

例.(2019全国1卷).为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更

有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对

于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下

一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认

为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠

治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以

甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、

乙两种药的治愈率分别记为a和“，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,a=0,l,,8)表示“甲药的累计得分为i

a

时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，贝!I%=0,Pg=1，Pi=Pi-\+bPi+cpM

(i=l,2,,7),其中。=2(乂=一1),。=尸(乂=0),。=尸(乂=1).假设々=0.5,4=0.8.

(i)证明：｛加一化｝。=0,1,2,,7)为等比数列;

(ii)求。4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

解析：(1)由题意可知X所有可能的取值为：-1,0,1

...P(X=-l)=(l-a)y0;p(X=0)=c^+(l-a)(l-/7);P(X=1)=夕(1—4)

则X的分布列如下：

X-101

P(1-a)夕ap-夕)a(l-夕)

(2)a=0.5»2=0.8

a—0.5x0.8=0.4,b-0.5x0.8+0.5x0.2=0.5,c=0.5x0.2=0.1

(i)Pi=api_l+bpi+cpM(z=l,2,•••,7)

即Pi=0.4p(._j+0.5p,.+0.lpM(z=1,2,­••,7)

整理可得：5B=4pi_1+pM(z=l,2,-,7)：.pM-Pi=4(Pj-pi)(i=l,2,…,7)

{RM—“(i=0,1,2,…,7)是以p「p0为首项,4为公比的等比数列

(ii)由(i)知：Pi+i—Pi=(Pi-Po》《=&•4

Ps-Pi=Pr4'*PI-P6=P/46,……,PLPO=P_4。

]—4848_]

l7

作和可得：〃8-〃0=Pi-(4"+4+---+4)=——p,—p,=1

1-4J

3

・”声

4

/,(),!“2”3\1-44—1311

RP「P°=P「(4+4+4-+4)=而

“4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为

0.8时，认为甲药更有效的概率为04=看”0.0039,此时得出错误结论的概率非常小，

说明这种实验方案合理.

5.卡特兰数

卡塔兰数：—1/

n+l

例.已知玉€｛-1,1｝,，=1,2屋-2",并且满足M+马+…+七NO。=1,2,…2〃-1),

%+…+=°，求有序数组U，/，…%,』的个数G,•

解:依题,x,中共有八个1,”个一1,先不考虑$+7+…+%20«=1,2,…2〃-1)记为

(*)式，贝！I共有种，接下来考虑排除法，若｛不々，“2“｝不符合(*)式，则一定存在

一个的自然数s(s«"),使得：

产+々+~+尤21=°,现将玉,马,…々ST全部改变符号，即有了：

/2S-1=-1

(%!,•-,%21-1>X2s>'''X2il)—J^(一再，---X25-l'X2s<''X2n)，对应后则有"+1个1，〃一1个一1,

反之，对任一个〃+1个1,〃-1个-1组成的有序数组(用,々，…当”)，其必然存在一个最小

的自然数S,满足%+马…+%2.1=1•

作对应g：&,••%_],X2s，…工2")-^->(_占，…_*2.1，*2s，…*2")，显然，f与g互为逆映

射，从而不满足(*)式的个数，就是由〃+1个1,个-1组成的有序数组的个数，从

而C〃=。2〃-。2〃.

点评：卡塔兰数在组合数学中常出现在各种计数问题中，其前几项为1,1,2,5,14,42,…，其

A(0)=h(l)=1

满足、5T//.X//1・、或〃(〃)=-----------------

/?(〃)=£〃(/)〃(〃-1-Z)〃+1

.>=0

(2016年全国三卷)定义“规范01数列”｛《｝如下：伍“｝共有2，〃项，其中，九项为0,m

项为1,且对任意人42加，q,外，…，4中0的个数不少于1