复变函数与积分变换期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分)

1.以下复数中,位于第三象限的复数是()

A.1+2,B.-1-2/C.1-2/D.-l+2z

2.以下等式中,不成立的等式是U

3.以下命题中,正确的选项是()

A.闫>1表示圆的内部B.Re(z)>0表示上半平面

7T

0<argz<i表示角形区域D.Im(z)v0表示上半平面

7

4.关于。=lim—^以下命题正确的选项是U

Zf02+Z

A.①二0B.口不存在D.0)=1

5.以下函数中，在整个复平面上解析的函数是1)

6.在复平面上，以下命题中，正确的选项是□

A.cosz是有界函数B.Lnz1=2Lnz

7.在以下复数中，使得•成立的是〔)

8.Z3=l+，，那么以下正确的选项是U

04

9.积分k3H的值为“

A.8MB.2C.2MD.4加

10.设C为正向圆周|z|=4,那么dz等于()

C(Z-7TZ)10

12m2Tli-2TTZ

A.----B.-----C.-----D.-------

10!10!9!9!

11.以下关于级数的命题不正确的选项是□

n

003+2/00(1

A.级数ZI是绝对收敛的B.级数X一+是收敛的

〃=072"〃(〃一1),

C.在收敛圆内，基级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛

12.z=0是函数——---的()

z(l-cosz)

A.可去奇点B.一级极点

C.二级极点D.三级极点

13.——-——在点z=8处的留数为

z(z-2)

]_1

A.0B.1D.----

22

14.设C为正向圆周|z1=1,那么积分—丝等于()

J。sinz

A.2JiB.2miC.OD.一2m

15.尸3)=4"⑺],那么以下命题正确的选项是〔)

A.齐—2)]=e2mB.02叫/⑺=仁|[r3+2)]

C.如"⑵)]=2/(2⑼D.<F[e27，./(O]=F(0-2)

二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕

16.设4=1—z；Z2=l+J^,求]至卜.

17./(Z)=(法2+,2+%)+,(〃町+y)在复平面上可导，那么〃+b=.

18.设函数/(z)=11cos以入那么/(z)等于.

J0

CO/_Q\n

19.幕极数£JLz11的收敛半径为.

n=ln

20.设。=z3,那么映射在z0=l+i处的旋转角为,伸缩率为.

20.设函数/«)=产5也7,那么/«)的拉氏变换等于.

三、计算题〔本大题共4小题，每题7分，共28分〕

21.设。为从原点到3—4i的直线段，计算积分/=「[(%-丁)+2孙〃dz

22.设/"(z)=^—+cosz.⑴求/(z)的解析区域，[2)求尸(z).

z-i

24.w(x,=x2-y2+4x,求一解析函数/(z)="(x,y)+/v(%,y),并使/(0)=3

23.将函数/(z)=-----1-----在点z=0处展开为洛朗级数.

(z-l)(z-2)

dz

25.计算j.

(z+l)2(z+j)(z—4).

四、综合题〔共4小题，每题8分，共32分〕

「2兀I

25.计算「-------de.

J。5-4cos。

26.求分式线性映射G=/(Z),使上半平面映射为单位圆内部并满足条件/(2，)=0,arg/(O)=l.

-2,-l<Z<0

27.求函数/«)=<t,0</<1的傅氏变换。

0,其它

28.用拉氏变换求解方程了⑺+y«)=e'，其中y(0)=L

一、选择题

1.B.2.C,3.A4.D5.B6.D7.A8.C9.B10.Dll.B

12.D13.C14.A15.B

二、填空题

JIJI

16.z=cos——l-/sin—,17.1,18.3(zez-ez+1),

66

-1-73+(73-l)z

19.1,20.------———-----

4

三、计算题〔本大题共4小题，每题7分，共28分〕

21.设。为从原点到2+3i的直线段，计算积分/=Jj(x-2y)+Wy]dz

解：设曲线C的参数方程为C:z=(2+3)O<Z<1.

22.设/(z)='。+cosz.(1)求/(z)的解析区域，(2)求尸(z).

4-z-

解：(1)由方程4—z2=0得z=i2,故/(z)的解析区域为C\{2,—2}.

ez(4—z2+2z)

⑵/'(z)=-sinz.

(4-z2)2-

23.将函数/(2)=----------在点z=0处展开为泰勒级数.

(z-l)(z-2)

--------=-----1----=------1----

(z—l)(z—2)(z—2)(1—2)2(1，)(l—z)

1

24.将函数/(z)=在圆环0<|z—1]<8内展开成洛朗级数.

(Z—1)2

1

oon]1ooI]

解："的泰勒展式为y=工二，故e◎的罗朗展式为60=工:二

«=0几•n=0

-z_11001001

所以f(z)=—7=—y————=y------------

(z-1)2(z-1)2n=0"•n=0m(z-1尸

四、综合题〔共4小题，每题8分，共32分〕

25.u(z,y)=x2-y2+2x,求一解析函数/(z)="(x,y)+z'v(x,y),并使/(0)=2i。

解：由柯西一黎曼方程得

一二—当=2y,所以v(x,y)=「lydx+C(y)=2盯+C(y).

oxdyJ0

修=2x+C'(y)=丝=2x+2,所以C(y)=「C'(y)公+C=2y+C.

dydx%

所以v(x,y)=2xy+2y+C.

从而/(z)=x2-y+2x+(2xy+2y+C)z.

又又0)=C7=21.所以C=2.所以/(z)=x2-y+2x+(2xy+2y+2)i.

2&计算Q