概率知识梳理-2024届高三数学一轮复习

概率知识梳理

1.随机试验的概念与特点

(1)概念：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.例如，抛

一枚硬币、掷一个均匀的骰子等，都可以看成.

(2)随机试验的特点：

①试验可以在相同条件下重复进行；(可重复性)

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(可预知性)

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.(随机性)

2.样本点和样本空间

(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为,全体样本点的集合称为试验E的样本

空间.

(2)表示：一般地，我们用Q表示样本空间，用0表示样本点.

(3)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果用，02,•以，则称样本空间Q={例，华,…,4}

为有限样本空间.

说明：样本点的探求方法

(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.

(2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所

包含的样本点数.列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法.

(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点

间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的

题目.

3.随机事件的有关概念

(1)基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件.

(2)随机事件:我们将样本空间Q的子集称为随机事件，简称事件,随机事件一般用大写字母A,B,C,表示.

(3)事件A发生：在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现.

⑷必然事件:Q作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以。总

会发生，我们称&为必然事件.

(5)不可能事件:空集0中不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称0为不可能事件.

说明：

①必然事件和不可能事件具有确定性，在一定条件下能确定其是否发生，随机事件是在一定条件下可

能发生也可能不发生的事件.当然，条件的不同以及条件的变化都可能影响事件发生的结果，要注意从问

题的背景中体会条件的特点.

②必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的

两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Q的一个子集.

4.事件的关系与运算

定义符号表示图形表示

一般地，若事件A发生，则事件8一定发生，我们就称

包含关系

事件B包含事件4(或事件A包含于事件B)(或

如果事件2包含事件A,事件A也包含事件8,即

相等关系A=B

且则称事件与事件相等

A8n

一般地，事件A与事件2至少有一个发生，这样的一个

并事件AUB

事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件8中，我

(或和事件)（或A+5）

们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)Q

一般地，事件A与事件8同时发生，这样的一个事件中

交事件AHB

的样本点既在事件A中，也在事件2中，我们称这样的

(或积事件)（或AB）

一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)Q

一般地，如果事件A与事件8不能同时发生，也就是说

互斥事件AH8是一个不可能事件，即力FI8=0,则称事件A与事ACI5=00@

件B互斥(或互不相容)c

一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅

有一个发生，即且4Cl6=0,那么称事件A

对立事件AAB=0

与事件B互为对立.事件A的对立事件记为了Q

说明：事件间运算的方法

(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行

事件间的运算.

(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果

在图中列出，进行运算.

注意：

事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生;对立事件是指在一次试验中，

两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生.因此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是

互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以

上事件而言的.从集合的观点来判断：设事件A与2所含的样本点组成的集合分别是A,B,若A,B互

斥，则AnB=0,若A,8对立，则AnB=0,且即.互斥事件A与B的和A+

8可理解为集合AU及

5.古典概率

⑴概率的定义

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

⑵古典概型的定义

①有限性:样本空间的样本点个；②等可能性:每个样本点发生的可能性.

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(3)古典概型的判断标准

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：和,并不是所

有的试验都是古典概型.

下列三类试验都不是古典概型:：

①样本点(基本事件)个数有限,但非等可能；

②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；

③样本点(基本事件)个数无限,也不等可能.

⑷古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事

件A的概率P(A)=-=22，其中n(A)和n(Q)分别表示事件A和样本空间Q包含的.

用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A

与基本事件的关系，有利于理解公式尸(A)=].如图所示，把一次试验中等可能出现

基本事件/事件4

的〃个结果组成一个集合/,其中每一个结果就是/中的一个元素，把含上个结果的

事件A看作含有左个元素的集合，则集合A是集合/的一个子集，故有P(A)=\

(5)古典概型的解题步骤：

①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果；

②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；

③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.

5.概率的基本性质

性质1对任意事件A,都有P(A巨0;

性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(O)=1；P(0)=O；

性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=；

推论如果事件Ai,A2,...,Am两两互斥，那么事件AjUAsU...UAm发生的概率等于这m个事件分别发

生的概率之和，即P(AiUA2U...UAm)=P(Ai)+P(A2)+...+P(Am).

性质4如果事件A与事件2互为对立事件，那么P(B)=,P(A)=;

性质5如果AU8,那么P(A)SP(B)；

性质6设48是一个随机试验中的两个事件，我们有尸(AUB)=.

说明：

(1)如何应用互斥事件的概率加法公式

①将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率，然后利用互斥事件的概

率加法公式求出结果.

②运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆

为几个互斥事件，且做到不重不漏.

③常用步骤：i确定各事件彼此互斥；ii求各个事件分别发生的概率，再求其和.

(2)对立事件与尸(A)+PCB)=1的关系

①若A,8是对立事件，则P(A)+P(B)=1.

②若尸(A)+P(8)=l,则事件A和8不一定对立.例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，

事件2为出现1点或2点或3点，则尸(A)+P(8)=3+^=1，显然事件A与事件B不互斥，也不对立.

6.事件的相互独立性

(1)定义:对任意两个事件A与B,如果________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称

为独立.相互独立两个事件的发生彼此互不影响.易知，,、竺事件可能事件0与任意事件相互独立.

(2)性质:如果事件A与事件B相互独立，那么A与耳,何不与B,入与B也相互独立.

(3)判断两个事件是否相互独立的方法：

①直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

②定义法：如果事件A,8同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件2发生的概率的积，则事件

A,B为相互独立事件.即P(AW=P(A)P(B).

推广：

(4)w个事件相互独立

对于"个事件4,A2,A,”如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则

称”个事件4,4，…，4相互独立.

(5)独立事件的概率公式

①若事件48相互独立，则尸(AB)=P(A)P(8).

②若事件事,42，…，4相互独立，BOP(AIA2...A„)=P(AI)P(A2)...P(An).

7.相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件互斥事件

事件4或B)是否发生对事件8(或A)发生的概

条件不可能同时发生的两个事件

率没有影响

互斥事件A,8中有一个发生，记作AU3

符号相互独立事件A,8同时发生，记作

(或A+B)

计算公式尸(A3)=尸(A)尸(3)产(AUB)=P(A)+P(B)

总之，相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，是从概率的角度来定义的；而互斥事件是指

在同一试验中，两个事件不会同时发生，是从事件本身的角度来定义的.

8.频率与概率

(1)频率与概率的关系:在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概

率，而且，试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.概率是频率的稳定值.

(2)频率的稳定性:大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随

机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐

稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)大数

定律阐述了随着试验次教估计概率P(A).

(3)对概率的正确理解：

①概率是一个常数，是事件的本质属性，是客观存在的，与试验次数无关.概率反映了事件发生的可

能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例.

②任何事件的概率都是区间［0,1］上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1,表

明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0