2024年新高中数学考试大题训练-解三角形的实际应用（答案版）

解三角形的实际应用

1.（2023秋•新疆・高二兵团第三师第一中学校考阶段练习）在ABC中，角B,C的

_,rtri=tT-up2c—bCOSB

对边分别是a,b,c,右-----=-----

acosA

（1）求角力的大小；

（2）若a=2,求中线长的最大值（点。是边5c中点）.

2.（2023•新疆乌鲁木齐•乌市一中校考三模）已知..ABC内角48,C的对边分别为a,

b,c,A+C=2B,ABC的面积S=^a.

4

（1）求边c；

⑵若ABC为锐角三角形，求。的取值范围.

3.（2023•海南・海南中学校考三模）在「ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

S.b2+c2=a2-be■

（1）求A；

（2）若加inA=4sin8,且lgb+lgc21-2cos（3+C）,求ABC面积的取值范围.

4.（2023春•北京•高三汇文中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,

AB=276,CD=娓,cosA=当，cosZA£）B=1.

(1)求cos/BDC；

(2)求BC的长.

5.（2023•江苏•高三专题练习）如图，在平面四边形/5CD中，AB=1,AD=43,CD=2,

BC=-Ji.

⑴若3cLeD,求sinZADC；

(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为A和S2,求S；+S；的最大值.

6.(2023•全国•高三专题练习)在4/2。中，角/,2,C的对边长依次是a,b,c,b=2币,

sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B■

(1)求角2的大小；

(2)当△NBC面积最大时，求N8/C的平分线的长.

7.(2023・全国•高三专题练习)已知，ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,

asinB+A/3COSB

且AHB.

bsinA+J^cosA

(1)求NC的大小；

(2)若NC的平分线交AB于点O,且CA=2A/L求。+2b的取值范围.

8.(2023春•江苏连云港•高一校考期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为

b,c,且csinA=6a+6acosC.

⑴求角C的大小;

(2)若c=26,角A与角3的内角平分线相交于点。，求面积的最大值.

9.(2023・山西•校联考模拟预测)在ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,

且5sin3sinC-3=5cos_BcosC+cos2A.

⑴求角A的大小；

(2)若°=有，求助+C的最大值.

10.(2023春・辽宁大连•高一大连二十四中校考阶段练习)已知锐角MC的内角A,3,

且』a

C的对边分别为。，b,

cos(B+C)

①求角A的大小;

(2)若a=6,求6+c的取值范围.

1L(2023春•河北•高三校联考阶段练习)在一ABC中，AC=A/13,。为ZA3C的角平分

线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若NAOC=150,AD=2.

(1)求ZMC的面积;

⑵若NABC=120,求80的长.

12.(2023•四川绵阳•绵阳中学校考二模)在ABC中，角4,B,C的对边分别为eb,

c,c=6.

(1)若cosA=-g,。为AC边的中点，BD=4拒,求a；

(2)若万sin2c=6sin6,求,ABC面积的最大值.

13.(2023•全国,高三专题练习)在ABC中，角所对的边分别是。也c.已知

b+c=20cosB.

TV

(1)若2=在，求A；

(2)求^------△-------L的取值范围.

ac

14.(2023春•河南周口•高一统考期中)平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形

不具有这一性质.如图所示，四边形A3CD的顶点在同一平面上，已知

AB=BC=CD=2,AD=2G.

⑴当长度变化时，J§cosA-cosC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说

明理由.

(2)记AABD与八BCD的面积分别为5和S2,请求出S；+S；的最大值.

15.(2023•全国•高三专题练习)在①右(a-Zx:osC)=csinB,②2a-c=2/?cosC,③

(a-b)(a+b)=(a-c)c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

在ASC中，内角AB,C的对边分别是a,b,c,且满足,6=2后.

(1)若a+c=4,求，ABC的面积；

⑵求ASC周长/的取值范围.

16.(2023・全国•高三专题练习)如图，在平面四边形ABCD中，△BCD的面积是

的面积的倍.ZDBC=2ZABD,AB=1,BC=2.

D

(1)求一ABD的大小；

TT

(2)若点及。在直线AC同侧，ZAEC=~,求AE+EC的取值范围.

17.(2023春•广西防城港•高三统考阶段练习)在4ABe中，角，，B,C的对边分别是

a,b,c,满足(b+2a)cosC+ccos3=0.

(1)求C;

(2)若角C的平分线交于点。，且8=2,求2a+b的最小值.

18.(2023•江苏盐学校考三模)如图，在平面四边形ABCD中，

⑴若。8平分/AT>C,证明：A+C=TT；

(2)记△ABD与ABCD的面积分别为5和S2,求S；+S；的最大值.

19.(2023秋•湖南邵阳•高二校考阶段练习)在ABC中,4)为ABC的角平分线，且

AD=2.

2兀

⑴若ABAC=—,AB=3,^..ABC的面积；

(2)若80=3,求边AC的取值范围.

20.(2023春•福建厦门•高一福建省厦门第二中学校考阶段练习)如图，某巡逻艇在A

处发现北偏东30。相距#+0海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45。的方向以3海

里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2及海里/小时的速度沿着正东方向直线

追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即

改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3亚海里/小时的速度沿着直线

追击

⑴当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里

(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船

参考答案:

,、兀

1.%

⑵布

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和得正弦公式即可求出结果;

⑵利用余弦定理求出/+°2=儿+422儿，再利用平面向量关系化简即可求出结果.

,、洋kF、z、e、r2c—bcosB

【详解】（1）因为-----=-

acosA

2sinC-sinB_cos3

由正弦定理可得:

sinAcosA'

即(2sinC-sinB)•cosA=sinAcosB,

2sinCcosA=sin(A+5)=sin(兀一C)=sinC,

因为。£（0,兀），所以sinC>0,

所以COSA=L

2

因为A«0,兀），所以A=1.

（2）由（1）得A=g，

则COSA=^+C2-"2

2bc2

所以，2+。2=历+422历，即bc44,

当且仅当b=c=2时等号成立,

因为点。是边8C中点,

所以2AO=AB+AC,

22

两边平方可得：4|AD|2=|AB|2+|AC|I+2ABAC=b+c+2bc-cosA,

贝ij41Az=b2+c2+bc=bc+4+bc=2bc+4<12,

所以|相）归右,

中线长的最大值为6.

2.(1)1

(2)P2

【分析】(1)根据A+C=23,结合三角形内角和定理求得B=g,由三角形面积公式结合5=/“，求得答

34

案；

(2)由正弦定理表示。=工+4—,由三角形为锐角三角形确定即可求得答案.

22tanC(62)

【详解】(1)因为A+C=23,A+B+C=n,所以B=1；

因为S=—acsinB=^-ac=^-a，所以c=l.

244

(2)在ABC中，由正弦定理一一=—J,

sinAsinC

jr—sinC+cosC

由（1）知8=7，c=l,代入上式得：sinA

3a=------2-----2----------=—I-----------

sinC22tanC

因为ASC为锐角三角形，则A+C=m，A=4-C<],所以Ce

所以tanC£

立473

丁丁

【分析】(1)由。2+/=/一历得出cosA,结合OVAVTT,即可得出答案；

(2)由Z?sinA=4sin5得出〃=4,由余弦定理得出?，再由lg/?+lgcNl-2cos(5+C)及A=?得出

bc>l,结合三角形面积公式，即可得出面积的范围.

【详解】(1)因为〃+。2="一儿，

所以加+C?-。2=-be-

2

A+62/1

由余弦定理得cosA="

因为OvAv兀，

所以A=亨2冗.

(2)由Z?sinA=4sinB及正弦定理，得ab=4b,

所以a=4,

由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA>2bc-i-bc，

所以脱岑

当且仅当6=c=延时，等号成立，

3

因为lgb+lgc21-2cos(_B+C),

所以lg(bc)Nl+2cosA=0,贝!

所以1WA当，

因为ABC的面积为L/?csinA=，

24

所以一ABC面积的取值范围是学理

4.(1)逅；(2)ViT.

9

【分析】(1)计算出sinA、sinZADB,利用两角和的余弦公式可求得cosNB£)C=cosZ4BD的值;

(2)在△AB。中，利用正弦定理可求出5。的长，然后在△BCD中利用余弦定理可求得的长.

【详解】(1)因为cosA=逅，cosZADB=；,则A、XADB均为锐角,

3

所以，sinA=A/1-COS2A=，sinZADB=Vl-cos2ZADB=

3

cosZABD=cos—A—ZADB）=-cos（A+ZADB）=sinAsinZADB-cosAcosZADB

_V|2A/2V61_V6

~~i3Fi-V，

QAB//CD,则NBDC=ZAB。，因此，cosZBDC=cosZABD=；

ABBD

(2)在△Afi。中，由正弦定理可得

sinZADBsinA

ABsinA2^x—

可得=3,

sinZADB272

F

在△BCD中，由余弦定理可得=502+002—23。.CDCOSN5OC=9+6-23・几班

=11,

9

因止匕BC=ViT.

【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

定理得到答案，要选择“边化角"或"角化边"，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边"；

（2）若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理"边化角"；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理"角化边"；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

5.⑴逅

3

【分析】（工）先求出AD,再运用余弦定理求出COS/AD3,再利用两角和公式求解;

（2）先运用余弦定理求出NDCB与/DAB的关系，再根据三角形面积公式求解.

【详解】(1)VBC1CD,：.JBD=^/4+2=^/6,

6+3—182后

cos/ADB=sinZADB=-,

2-76-736点一33

sinABDC=>cosXBDC=~^=-,

3V63

sinNADC=sin^BDC+/ADB)=sinZBDCcosZADB+cosZBDCsinZADB

A/32A/2A/613A/6V6

=-----X---------1------x——=-------=------;

333393

2

(2)^ZBAD=afNBCD=0,：.BD=3+1-2A/3cos<z=4+2-4A/2COS^,

4^2cos0-2百cosa=2,20cos0-V3COSa-\,①

2

S；+S；=[g石xlxsina[•2忘xlxsin[3|=^sin2cif+2sin2y0

|+

U+石cosa

=—sin2a+2(l-cos2/7)=—sin2a+2

4174

32J3521

——cosa------cosa+—=+一

2228

当且仅当cosa=-----,cos尸=时取最大值?；

688

综上'"以女/'Sf的最大值是曰.

27r

6.(1)8-

【分析】（1）由正弦定理角化边，再应用余弦定理可解得角A

（2）由余弦定理与重要不等式可得△/BC面积最大时a、c的值，在中应用正弦定理可解得的值.

【详解】(1)sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B,

22

・•・由正弦定理可得/+c-b=-ac,

由余弦定理得cosB="-+L*

2ac2

又•••840,兀)，AB=y.

2

(2)在△45。中，由余弦定理得。2=a2+c2-2accosB=>12=a2+c2-2accos—7c,

即a2-I-c2+ac=12.

丁a>0,c>0,

Aa2+c2>2ac,当且仅当时取等号,

・>12=a2+c2+ac23ac=>acW4,当且仅当a=c=2时，1rax=4,

又丁△48。面积为S=—acsinB=—acsin^^=^-ac,

2234

当且仅当a=c=2时△45C面积最大.

当a=c=2时，ZBAC=ZC=^7i--171^=-^-.

TT

又：AD为NBAC的角平分线，/BAD=ZDAC=—

]LjIj।

・•・在△45。中，ZADB=ZDAC+ZC=-+-=-

1264

4£）22x—

・••在△45。中，由正弦定理得一厂-------=>AD=—7=^—=戈.

.271sin巴也

sin——

342

7.呜

⑵14&+6,+oo

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得sin（2A-Sj=sin28-《J,再根据角

的范围分析运算；

（2）根据三角形的面积关系整理得±+7=1,结合基本不等式求范围.

ab

【详解】（1）V-=sin'+省c°s',由正弦定理可得包上=sin'+省cos',

bsinA+V3cosAsin8sinA+A/3cosA

则sin?A+A/3sinAcosA=sin2B+^sinBcosB,

—r夕日1—cos2A5/3._1—cos25^/3.

可得--------+—sin2A=------------+—sin2B，

2222

整理得sin（2A-=sin128-

注意至U0<A,B（无，且AHB，贝U-=<2A-巴，28—巴〈也，且2A-工工28-四，

666666

可得„+„=%或,用+（28司=3兀，

冗

解得A+5=鼻2或A+B=5£7r>兀（舍去），

故C=7r-(A+5)=,

jr

(2)若1C的平分线交AB于点。，^\ZACD=ZBCD=~,

6

：SS，则;

•S*BC=^ACD+ABCDxAC-BC,sinZACB=|xAC-C£>sinZACD+|xBCCD-sinZBCD,

BP-=-Z;x2V3x—+—ax2^x-,整理得,+]=1,

222222ab

则a+26=(a+2b)[2+2]=竺+2+622/竺x2+6=4忘+6,

\ab)ab\ab

当且仅当竺=当即。=叵=2（血+1）时，等号成立,

ab

故a+2Z＞的取值范围为[4行+6,+ooj.

2兀

8.d)c=y

⑵6-3行

【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合三角恒等变换可得2sin[C-若，再根据C的范围进而即得C的

大小；

（2）结合角平分线性质求加汨，利用余弦定理结合基本不等式求3。的最大值，再利用三角形面积

公式求

【详解】（1）由正弦定理及csinA=6〃+g〃cosC,

得sinCsinA=6sinA+6sinAcosC

因为A£（0,7i）,所以sinAwO,

所以sinC=V3+^3cosC，

所以sinC—石cosC=A/3

所以2sin[q）=。，

所以sin.3=S

因为Ce（0,7r）,所以C—5e,

所以=故c=g.

（2）因为AO为角A的平分线，BO为角8的平分线，

所以ZDAC=-ZA,ZDBC=-ZB,

22

所以NDAC+ZDBC」NA+'48,

22

jr

又NA+N5=71—NC=—,

3

5兀

所以=

6

由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB,

所以12=4犷+耽+舟。^。，

故1222皿即+64〃3。，

即ADBD<—、=1

2+73

当且仅当AD=3。=30-#时，等号成立.

所以S9=；AZ)®.sin/ADBvgxl2x(2一@xg=6-3卮

即△AB。面积的最大值为6-3石.

9.⑴A=?

(2)2g

【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于cosA的方程，结合-l<cosA<l可求

得cosA的值，再结合角A的取值范围可求得角A的值;

（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出2Hc=24sin（B+e）,结合正弦型函数的有界性可求得m+c

的最大值.

【详解】(1)解：由已知可得cos2A+5(cos5cosc-sin5sinC)=cos2A+5cos(_B+C)

=cos2A+5cos(7T-A)=2cos2A—5cosA-l=-3,

即2cos2A—5cosA+2=0，

1"

0<A</r则一1<COSA<1,解得cosA=一,因此，A=—.

f23

（2）解：由正弦定理可得名=三=三=2,

sinBsinCsinA

所以,

=4sin3+sin3+石cos5=5sin3+gcosB=2币sin(3+0),

其中。为锐角，且tan"=乎，

■jr01T2左

因为A=W，贝4。<5<丁，：.cp<B+（p<——+（p,

3J3

所以，当8+夕=?时，即当八会一0时，26+c取得最大值2近.

,、71

10.1-

3

⑵（6百,12]

【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出cosA,即可得解;

（2）利用正弦定理将边化角，转化为角8的三角函数，再由8的取值范围，求出6+c的范围.

2b-c2b-ca

【详解】（]）由--------------=---------------，即一

cos(A+B)cos(B+C)cos（7T-C）cos（兀一A），

2b-ca

得一,

cosCcosA

由正弦定理可得(2sin6-sinC)cosA=sinAcosC,

所以2sinjBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

所以2sin5cosA=sin5,因为5£(0,兀)，所以sinB>0,

所以cosA=；,又人€（0,兀），所以4=

(2)由正弦定理—=3=$,

sinAsinBsinC

所以(sinB+sinC)=4^3sinB+sinfg-B

sinA

in5+sin-cosB-cos-sinB

33

71

=4A/3sinB+-^-cosB+—sinB\=12sinB+—cosB=12sin|B+—

222J6

因为JLBC为锐角三角形，且A=1，

71

0<B<-

,解得三,

所以92?<8<

-62

32

7171712K

所以叱

672

所以sin（B+“卜

[2,1,12sin

所以6+c的取值范围为（6百,12].

11.⑴3

2

(2)BD=^-

7

【分析】（1）根据余弦定理解出CD的长，再利用三角形面积公式即可得到答案;

BDADBDCDsinZDCB2

（2）利用两次正弦定理得到，两式相比得

sin/DABsin/DBAsinZDCBsinZDBCcosZDCB

2

再结合同角平方和关系即可解出sin/DCB=g,再代回正弦定理式即可得到答案.

【详解】(1)在△DAC中，AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC,

即13=4+67)2+2辰力，解得8=百(负根舍)，

所以S=-AD-CD-sinZADC=-x2xy/3x-=—.

DAC2222

(2)因为ZA5C=120，3。平分/ABC,所以NQBA=ZDBC=60，

又ZADC=150,所以NZMB+ZDCB=360-120-150=90,

BDAD

在△ABQ中，由正弦定理，得①

sinZDABsinZDBA

BDCD

在△D5C中，由正弦定理，得②

sinZDCBsinZDBC

sinZDCB少所以必

①・②，得=29c=2

sin/DABCD忖771cosZDCB73

2

又sin2NOC3+cos2NDC5=l,且"。呵0最所以sinZDCB=

2BDy/3I-

将sinNDCB=万代入②，得工=耳，所以80=至I.

V72

12.(1)0=2717

(2)9

【分析】（1）在AABD和ABCD中，利用余弦定理结合ZADB+ZCDB=兀，可得。,6的关系式，在ABC中,

利用余弦定理可得的关系式，即可得解;

（2）根据6sin2c=6sin3,c=6,结合正弦定理化角为边，即可求得角C,再利用余弦定理即可基本不等

式即可得解.

【详解】（1）在△ABD中，83"方匕=8加+4斤—4.12+二,

2BDAD4®

b1

在△BCD中，cosNCDB-BD2+CD2一BC?48+「2

LU〉Z-x^L^U——7=

2BDCD4V3&

因为/4£）3+/6»3=兀，所以cosZADB+cosNCDB=0，

即12+。/+J：0,h2

化简得/=---1-60»

4而4技2

在《ABC中，a2=b2+c2—2Z?ccosA?Wtz2=Z?2+36+4Z?,

h2

所以一+60=/+36+46,解得b=4或—12（舍去）,

2

方2

所以〃2=F60=68r所以Q=2A/F7；

2

(2)因为Z?sin2c=6sinB,c=6,

所以bcsinC=历，所以sinC=1,

又Ce(O,兀)，所以C=T，

贝Ue?=/+廿？217匕，

所以仍(18,当且仅当a=6=3及时，取等号，

所以9,

即.ABC面积的最大值9.

13.⑴：

O

(2)(1,2)

【分析】(1)根据正弦定理和三角恒等变换化简可得sinB=sin(A-B),贝i]A=23,进而求解；

(2)由(1),根据平方差公式、正、余弦定理和二倍角的正弦、余弦公式化简可得(°+°+°)3+°一")=2cos2,

ac

结合Be(0高即可求解.

【详解】(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcos》，又sinC=sin(A+5),

得sinB=2sinAcosB—sin(A+5),

sinB=2sinAcosB-(sinAcosB+sinBcosA),

sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),

所以5=A—5或兀-5=A—B,

得A=23或4=万(舍去),

若8=占，则4=2；

126

(2)(b+c+a)(b+c-a)_(b+c)2-a2+c)2(^2+c2-2/?ccosA)2Z?(l+cosA)

acacaca

小2Z?(l+cosA)2sinB(l+cosA)

由正弦定理，得ZH一------1=-------------------二

asinA

由⑴知4=2瓦得2sm2(l+c°sA)=2sinB(l+c°s2B),

sinAsin2B

又cos23=2cos2B-l,sin2B=2sinBcosB,

2sinB(l+cos2B)2sinB-2cos2B。“

sin2B2sinBcosB

即3+c+a)S+cj)=2cos2,

ac

hr]A+B-3B<7i,所以得cos8e[,,l],

故2cosBe(l,2),即故士士但(1,2).

ac

14.(1)J§COSA-COSC为定值，定值为1

(2)14

【分析】(1)法一:在AABD中由余弦定理得、回cosA=2,在△jBCD中由余弦定理得cosC="产,

两式相减可得答案；法二：在△ABD中由余弦定理得

BO?=16-8点cosA,在△BCD中由余弦定理得Bn?=8_8COSC,两式相减可得答案；

(2)由面积公式可得S；+S；=一24cos,A+86cos4+12,令cosA=f,r转化为二次函数配方求最值即

可.

【详解】(1)法一：在△AB。中，由余弦定理cosAn-O+A*2,

2ADAB

得coSA，后V3cosA=^i®,

BP

2x273x28

724-72-z?r)2

同理，在△及»中，cosC=----------——,

2x2x2

日口8—BD2zrx

即cosC=----------⑵，

8

①一②得V3cosA-cosC=1,

所以当8。长度变化时，&cosA-cosC为定值，定值为1；

法二：在△AftD中，由余弦定理3£)2=Ao2+Ag2_2AD-ABcosA

22

得BD-=(2后+2-2X25/3x2xcosA,BPBD=16-8gcosA,

同理，在△BCD中，BD2=CD2+CB2-2CD-CBcosC=8-8cosC,

所以16-8括cosA=8-8cosC,

化简得J5cosA-l=cosC,即J§cosA—cosC=1,

所以当8。长度变化时，J§cosA-cosC为定值，定值为1；

(2)S；+Sf=-AB--AD--sin?A+-BC2CD2-sin2C

1244

=12sin2A+4sin2c=12sin2A+4-4cos2c

=12sin2A+4-4(V3cosA-l)2

-—24cos2A+SA/SCOSJA+12,

令cosA=?,?e(—1,1),

所以y=—24〃+8技+12=-24｛一乎1+14,

所以/=立，即cosA=立时，

66

有最大值为14.

15.⑴任选一条件，面积皆为必

3

⑵(4/66]

【分析】(1)三个条件，分别利用正余弦定理，两角和与差的正弦公式和三角形内角和公式化简，都能得

到3=方，再由余弦定理求得aj即可计算，MC的面积.

(2)b=2&B=1,由正弦定理边化角再化简得a+c=4括sin(A+2],再由0<=求得a+c的取

3V6J3

值范围，即可得周长的取值范围.

【详解】(1)若选条件①，由g(a-bcosC)=csin3及正弦定理，W(sinA-sinBcosC)=sinCsinB

即6[sin(B+C)-sin3cosc]=sinCsin3,化简得出cos8sinC=sinCsin8,

因为0<C<兀，所以sinCwO,所以tan3=J5,因为0<5<兀，所以5=三.

若选条件②，由2a—c=2〃cosC及正弦定理，得2sinA—sinC=2sin5cosC,即

2sin(B+C)-sinC=2sinBcosC,化简得2cosBsinC=sinC,

1JT

因为0<。<兀，所以sinCwO,所以COS3=3，因为0<5<兀，所以3=,.

若选条件③，由S+b)(a-b)=(a-c)c化简得，a2+c2-b2^ac,由余弦定理得cos2=匕匚忙，即

lac

1TT

cosB=-,因为0<5<兀，所以B=

23

所以三个条件，都能得到8=；.

.14

由余弦定理得Z?2=a2+c2-2accosB=(^a+c)9-2ac-2accosB,EP12=4-2tzc-2«cx—,解得〃c=1,

所以ABC的面积S=—diesinB=—x—xsin—=.

22333

a_c_b_2A/3_

⑵因为b=2&B=],由正弦定理得sinAsinCsin56,

T

2兀

因为A+C=TI-B=—,

所以tz+c=4(sinA+sinC)=4sinA+sin(g—A)=4^/3cosA+^-sin=4^/3sin+,

.、[八.27rll.7C,兀5兀

因为OvA<q-,所以tz<A+z<7~,sinA+2£彳,1,

3666I6)12」

所以a+c€(273,45/3],即a+b+ce(4Q6右],所以,ABC周长/的取值范围为(466石].

,、兀

16.⑴二；

o

(2)(75,2^].

【分析】（1）设/4BD=a,利用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解.

（2）由（1）求出/C,在AAEC中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性质求解作答.

【详解】（1）设NAB£>=a,则NDBC=2（z,

52

因ABCD=^SAABD,SBCD=^BCBDsin2a,SABDAB-BDsina,

则BDsin2a=BZJsina,而AB=1,BC=2,

22

贝lj有sin26Z=石sincr,即2sinicosa=Vasina,又0<a<7i,sina>0,因此cosa=——，a=—,

26

JT

所以乙4&9=7.

6

(2)由(1)知/r>BC=q,ZABC=^,连NC,^AC2=AB2+BC2=5,则AC=6,

JT_______________________________

而NAEC=1，△AEC中，由正弦定理有sinNAC£—sinNE4c

AE=-V15sinZACE,EC=-y/15sinZEAC,AE+EC=-THsinZACE+->/15sinZ£AC,

3333

27r27r2冗

又NACE+NEAC=——,令NAC石=6,贝！JNE4C=——0,0<0<——,

333

因此AE+EC=—-s/15sin0H—V15sin(------0)=—5/15(—sin0——cos0)=2-\/5sin(^H—),

3333226

因0<。<,，贝吟<9+2哼，有；<sin(d+?)Vl,

即如<2后in(6»+£)W2君，EVAE+ECW2也,

所以AE+EC的取值范围为(遥,2百］.

2兀

17.(1)C=—

(2)6+4&

【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解;

(2)利用等面积法求出。力的关系，再利用基本不等式即可得解.

【详解】(1)因为(b+2")cosC+ccos5=0,

由正弦定理得(sin5+2sinA)cosC+sinCcosB=0,

即sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosC,

所以sin（B+C）=sinA=-2sinAcosC,

又AE（O,兀），贝lJsinA>0,

所以cosC=—,

2

又因C«0,7T）,所以C=］；

（2）因为角C的平分线交N8于点D,

jr

所以ZAC。=N5CO=—，

3

19IT1JT1jr

由SAABC=SAACD+SABCD^得l"sin可=5CO心sin1+QCO-asin§,

22

即2a+2b=H,所以一+7=1,

ab

则24+6=（24+6）［2+2］=（6+竺+色/6+2、陛圣=6+40，

\ab）\ab）\ab

OAA

当且仅当臼=?n,即6=应。=20+2时取等号，

ab

所以2a+b的最小值为6+4近.

18.⑴证明见解析

（2）14

【分析】⑴利用cosNAD3=cosNCC®可构造方程求得以>2,利用余弦定理可求得cosA=-cosC,由此

可得结论;

(2)在一ABR-BCO中，利用余弦定理可构造方程求得COSC=A^COSA-1,利用三角形面积公式化简S；+S；

/

为-24cosA-I+14,结合二次函数性质可得最大值.

【详解】（1）DB平分NADC,:.ZADB=NCDB,则cosNAD3=cosNCDB,

心+必-而CD?+B