实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案

证明题：60分

0000

1、证明lim4=：,I。

sn=lm=n

000000

证明：设那么mV,使一切〃>N,xeA,,所以xeQAmcz|JQAm,

00m=n+ln=lm=n

0000000000

那么可知典AuUPK。设xeUna，，，那么有〃，使xe「|4,所以

8n=lm=nn=lm=nm=n

0000

xelim4。因此，lim4=UPl4.。

n—>oon—>oow=lm=n

2、假设EuR",对\/£>0,存在开集G,使得EuG且满足m*(G—E…,

证明E是可测集。

证明：对任何正整数明由条件存在开集G〃nE,使得加*(G-石)<:。

co1

令6=「|0,那么G是可测集，又因加*(G—E)V/n*(G“—E)<一,

n=l〃

对一切正整数〃成立，因而“(G-E)=0,即加=6-E是一零测度集，故可测。由

E=G—(G—E)知E可测。证毕。

3、设在E上力(%)07(%),且力(%)(力+](%)几乎处处成立，“=1,2,3,…，那么有

｛力(x)｝a.e.收敛于了(%)。

证明因为力(x)n/(x),那么存在｛3,｝匚｛3｝,使力,(的在E上a.e.收敛到/(x)。设E。是

力,(x)不收敛到/(%)的点集。E『E[fn>fn+1],那么mE0=0,mE^O。因此

000000

〃2(1.E“)W»E”=O。在E-UE”上，力,(%)收敛到了(X)，且力⑴是单调的。因此力(X)

n=0n=0n=l

收敛到了(X)[单调序列的子列收敛，那么序列本身收敛到同一极限〕。

00

即除去一个零集U纥外，力(X)收敛于/(X)，就是力(x)a,e.收敛到了(X)。

n=\

4、设Eu*,/(x)是E上ae有限的可测函数。证明存在定义于*上的一列

连续函数{g“(x)},使得limgn(x)=f(x)a.e.于E。

00

证明：因为在E上可测，由鲁津定理，对任何正整数八，存在E的可测子

集右，使得加(E-纥)<工，同时存在定义在史上的连续函数g〃(x),使得当

n

xeE”时有g“(x)=/(x)。所以对任意的〃>0,成立网/-g,J2〃]<=石-纥,

由止匕可得mE\\f-gr\>r^<m(E-En)<^-o

因此limmEl|/-g„|>7]=0,即g〃(x)n/(x),由黎斯定理存在｛g“(％)｝的子列

n->oo11

｛g粒(%)｝,使得

limg(x)=/(x)a.e于E.证毕

女—OOK

5、设mE<oo,｛力｝为a.e有限可测函数列，证明：

的充要条件是力(x)nO。

园>b

证明：假设/On。，由于EuE[㈤2。],那么号n0。

1+国一

,(X)

X0<^I<1,(〃=1,2,3…)，根石<8,常函数1在E上可积分，由

1+10(刈

勒贝格控制收敛定理得吧L]产={p^=0o

反之，假设,小一0(〃-oo),而且上星乜=0,对Vb>。,

JEI+£(X)|1+|Z,W|

令e,=E[\fn\>b],由于函数y=W，当了>—1时是严格增加函数,

ffl叱-----me<——,------：dx<——,------：dx-0

因此1+bn打+£(%)|3+解⑶

所以叩目//2。]=。，即/(x)=>0

6、设祖E<oo,a.e.有限的可测函数列力(x)和g.(x),n=1,2,3,•11,分别依

测度收敛于/(%)和g(%),证明Z>(x)+g“(x)n/(x)+g(x)。

证明：因为|力(%)+g”(%)—/(%)—g(x)\<\fn(x)-f(x)\+\gn⑴—g(x)\

于是V3>0,成立

E[\(fn+Sn)~(f+g)色3]^E[\fn-f\>E[\gn-g\>^],

所以

即g"+力ng+/

填空题：10分

2、设&={(羽丁),2+丁2<1}。求石2在灯内的82，/2，瓦。

解：E；={(苍月卜2+y2W1卜52={(X,y),+y2<]},

石2={(x,y)N+y2<i}。

计算题：30分

4、试构造一个闭的疏朗的集合Eu[O,l],〃近=!。

2

解：在[0,1]中去掉一个长度为工的开区间(三,，；)，接下来在剩下的两个闭区间

61212

分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第〃次时，

63

一共去掉2"T个各自长度为，X击的开区间，剩下的2"个闭区间，如此重复

下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的局部的测度为

11212'-11

—+—X—++—X——-+=一。

66363〃T2

所以最后所得集合的测度为mE=l--=^,即小E=!。

222

00“冗2

8、试求Z(尺)「7777公。

n=\。十人)

Y2

解令力(x)=“2y，xe[-1,1],那么力(x)为非负连续函数，从而非负可积。根据L积

分逐项积分定理，于是,

C8丫2

*)「迄(1+%2产

O

=(£)[Idx

=2o

10、试从,—(1x)+(x；3)d---,0<X<1,求证

1+x