陕西省汉中市2024届高三年级上册第一次教学质量检测（汉中一模）数学（文）试题（解析版）

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试

数学（文科）

本试卷共23小题，共150分，共4页.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工

整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的.

L已知集合A={—1,。」,2}，5=同0<2—%<3},贝B=（）

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.[0,1,2）

【答案】A

【解析】

【分析】将集合B化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.

详解】将集合8化简可得5=卜卜1<%<2},

则AB={0,l}

故选:A

2.已知z（2+i）=l,则复数z的虚部为（）

,111.1.

A.—B.-C.—iD.-i

5555

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.

【详解】由z（2+i）=l可得z=——=二=——i,即虚部为——.

2+i5555

故选：A

3.已知向量冽=（2,几），〃=（2-4-4）,若冽与〃共线且同向，则实数4的值为（）

A.2B.4C.-2D.—2或4

【答案】C

【解析】

【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数X的值.

【详解】由题意，

m=（2,A）,n=（2—A,—4）,

:俄与♦共线且同向

.•.2（2—2）+8=0,解得2=—2或2=4,

当4=4时，加与〃共线且反向，舍去，

故选：C.

4.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）

!正（□主）视图侧（左）视图

俯视图

2乃2〃

A.8H-----B.8+2TTC.4H-----D.4+2TT

33

【答案】A

【解析】

【详解】根据三视图可知：该几何体是一个圆锥和正方体的组合体.

1,227r

圆锥的体积为一兀xFx2=—兀，正方体的体积为8,故几何体的体积为：8+—

333

故选：A

V3

~T

【答案】c

【解析】

【分析】将条件等式两边平方，利用sin2x+cos2jc=l，结合二倍角公式，即可求解.

所以sin2x+cos2x-2sinxcosx=

3

所以sin2尤=—

4

故选：C.

【点睛】本题考查应用同角间的三角函数关系、三角恒等变换求值，属于基础题.

6.为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”

43

比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为一，乙每轮猜对的概率为一.在每轮

54

比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，贝「几何队''在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为()

31971

A.-B.—C.—D.—

5202020

【答案】B

【解析】

【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即

可；法二，利用对立事件的概率和为1,间接法可得.

【详解】设事件A=“甲猜对"，3=“乙猜对"，C="几何队至少猜对一个成语”，

所以P(A)=1,P(5)=g则P(Z)=g,PW)[.

由题意知，事件相互独立，则耳与B,A与豆，,与后也相互独立，

法一：C=(4B)L(丽)(AB),且初,A及A3两两互互斥，

则P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

13414319

=-X——b—X—+—X—=——.

54545420

法二：事件。的对立事件心="几何队一个成语也没有猜对"，即e二^

——_1119

则尸(C)=l-尸(C)=l-尸(A5)=l-尸(A)尸(3)=1-表工=元.

故选：B.

7.已知P：O<x<l；q：x>m,若。是q的充分条件，则实数加的取值范围是()

A.m>0B.m>lC.m<0Dm£l

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分，必要条件与集合的包含关系，即可求解.

【详解】若°是q的充分条件，贝3耳0<%<“口{x|x>%},

所以加<0.

故选：C

8.已知双曲线根f+V=1的一条渐近线的斜率为2,则机=()

1

A.-4B.4C.——

44

【答案】A

【解析】

【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出〃z的值.

2—£=1

【详解】根据加必+/=1,得到丁

m

则焦点在y轴，故渐近线为y=±J二嬴，

则yj—m—2>故爪=—4.

故选：A

9.下列函数中，在(0,+8)上是减函数且是偶函数的是()

A.f(%)—x~+1B.f(x)=—%3C./(x)=lg^/(%)=23

|x

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案.

【详解】解：根据题意，依次分析选项:

对于A,/(x)=f+l,是偶函数，在区间(0,+8)上是增函数，不符合题意;

对于B,/(%)=-V,是奇函数，不符合题意;

对于C，/(X)=lg—,是偶函数，在区间(0,+8)上是减函数，符合题意;

|x|

对于。，/(%)=2%是偶函数，但在区间(0,+8)上是增函数，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握累指对函数的性质，属于基础题.

10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角

坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y=4sin(s;+。)

>0,［如<的图象上，且图象过点2)相邻最大值与最小值之间的水平距离为则使得函数

单调递增的区间的是()

兀兀兀5兀

5兀3兀5兀3兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知得出函数的周期，求出①，根据点的坐标，结合。的取值范围，求出。的值.然后得出函

数的单调区间，即可得出答案.

7，九2冗

【详解】由已知可得，-=所以丁=兀，a)=—=2,y=4sin(2x+0).

又图象过点,所以有4sin

所以，sin

._,..II7Tlltt5兀717兀

因为回〈一，所以—<一+(p<—，

112121212

所以;■+0=$,所以。=々，y=4sin2x+=

12612k12

TVTVJT/JT、冗

由----卜2hi<2x-\---<—+2kn,kGZ可得，------\-kn<x<---\-kn.kGZ,

21222424

所以，函数的单调递增区间为-二+阮二+痴,keZ.

2424

当左二—1时，单调递增区间为一■一■——

2424

当左=0时，单调递增区间为一二,二

2424

17兀29兀

当％=1时,单调递增区间为'24^^A

对于A项,故A项错误;

24324

,一，、,77171571.,

对于B项,因为----<一<—，故B项正确;

224824

为

因3兀1771

对于C项,<—<---,故C项锢昧;

224824

为

因5兀17兀..

对于D项,<—<---，故D项锢厌.

24824

故选：B.

11.已知产是抛物线C：/=2四的焦点，尤=—2是抛物线C的准线，点N(Oj)(fxO)连接7W交

抛物线。于M点，“N+ME=0，则△OWV的面积为()

A.6B.3C.2A/2D.4A历

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出抛物线方程，进一步求出M,N的坐标，最终求出答案.

【详解】：x=—2是抛物线C的准线，

，P=4,抛物线y2=8%

尸(2,0)

•；MN+MF=O

为NF的中点，即M的横坐标为91,代入V=8x,得到>=20,

”(1,2。

；•N(0,4伪

S^OFN=gx2义4&=40.

故选：D.

12.设定义在R上的函数“可满足/'(司+/(力=3*b，且"0)=0,则下列结论正确的是()

A./(九)在R上单调递减B./(%)在R上单调递增

C./(九)在R上有最大值D./(九)在R上有最小值

【答案】C

【解析】

3

【分析】根据己知可得e"(x)=d+c,由/(0)=0求出c可得/(%)=工，利用导数判断/(九)单

e%

调性可得最值情况.

【详解】因为解(力+〃力=3娱：所以e"'(x)+e"(x)=3%2,

可得［e"(X)］=ex/，(x)+e"(x)=3x2，

可得e"(x)=d+c(c为常数)，

因为/(0)=0,所以e°/(0)=0+c=0,解得c=0,

所以〃x)=《，/(耳=3日—「2(37),

7exexxexex

当x>3时,r(x)<0,/(%)单调递减，

当x<3时，盟x)>o,/(x)单调递增,

所以/(尤)在x=3时有极大值即最大值/(3)=彳=2，无最小值.

ee

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键点是利用己知构造［e"(x)J=eV'(x)+e"(x)=3x2,求出

〃龙).

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知单位向量。，）满足（2a+b）D,则。与的夹角为.

【答案】—

3

【解析】

【分析】利用向量垂直点乘等于零和数量积公式求解.

【详解】因为。，匕是单位向量，所以忖=忖=1,

因为（2a+Z?）_LZ?,所以（2a+Z?>Z?=0,所以2a.b+Z?=0，

所以21al・M-cos<a,b〉+M=0,

所以2以)5<。乃>+1=0,所以cos<〃,Z?>=-g,

11一一2兀

因为<a,b>e[0,?t],所以<a,/?>=§.

故答案为：—

3

14.函数/(%)=<卬\。，则…3）+川呜3）=

【答案】11

【解析】

【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.

【详解】依题意/依3）+〃log23）=

22

log2（l+3）+4啕3=iOg22+2?i哂3=2+2够好=2+3=11.

故答案为：11

【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.

15.已知..ABC中，AB=3,AC=2,NA=60°,贝UABC的外接圆面积为.

田、7兀

【答案】一

3

【解析】

【分析】利用余弦定理求解边长BC,再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.

【详解】解：根据题意，由余弦定理可得

=AB?+人。2—2AgxACXcosA=7n=近，

该的外接圆的半径为r,

cBC币2问而。27兀

则由正弦定理得：2-=4=走=k='=亍0S="=y

V

7兀

故答案为：—.

3

16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64兀球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为

【答案】—##5—

33

【解析】

【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.

【详解】因为〜=4万尺2=64%，所以正三棱锥外接球半径尺=4,

如图所示，设外接球圆心为。，过P0向底面作垂线垂足为D,0D=a(Q<a<4),

要使正三棱锥体积最大，则底面ABC与尸在圆心的异侧,

因为尸—ABC是正三棱锥，所以。是ABC的中心，

所以OP=Q4=4,AD=A/CM2-C>£>2=J16-/，

2万______

又因为44£)3==，所以AB=gC=AC=百xJ16—a?，

2

SAABC=-^xABxACxsiny=^^-(16-a，

所以％-ABC=gxS44BcX尸。=字义(16—4)x(4+a)=手(—/—4/+16。+64)，

令f(a)=-a3-4〃+16a+64,(0<a<4),

4

f\a)=-3«2—8a+16=—(3a-4)(«+4)=0解得a=-4或§,

当ae°，|J，/'(a)>°；当f\d)<0,

所以/(a)在0,g]递增，在递减，

4416

故当时，正三棱锥的体积LTBC最大，此时正三棱锥的高为a+0P=]+4=1,

故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为3.

3

故答案为：一

3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.等差数列｛a“｝中，a2-4,a4+a7=15.

(1)求数列｛q,｝的通项公式；

(2)设匕“=2%—?+",求4+%+=2-----的值.

【答案】(1)4=3+5—l)xl="+2；(2)2101

【解析】

【详解】(I)设等差数列｛4｝的公差为d.

14+d=4

由已知得j(q+3d)+(%+6d)=15，

a.=3

解得<,,•

a=1

所以%=ch=n+2.

(II)由(I)可得2=2"+〃.

所以4+4+4+…+4o=(2+l)+(22+2)+(23+3)+-+(2i°+]0)

=(2+22+23+---+21O)+(1+2+3+---+1O)

_2(1-210)(1+10)x10

=+~2

=(2"-2)+55

=2“+53=2101.

考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法.

18.某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15〜65岁的人群抽样，回答问题统

计结果如图表所示.

回答正确回答正确的人数占

组别分组

的人数本组的概率

第1组[15,25)50.5

第2组[25,35)a0.9

第3组[35,45)27X

第4组[45,55)b0.36

第5组[55,65]3y

(1)分别求出a,b,x,y的值；

(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人？

(3)在(2)的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖.求：所抽取的人中第2组至少有

1人获得幸运奖的概率.

【答案】(1)a=183=9,x=0.9,y=0.2

(2)2人,3人，1人

⑶|

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图的性质，以及频率、频数的计算方法，即可求解；

(2)根据第2,3,4组回答正确的人的比，结合分层抽样的方法，即可求解；

(3)抽取的6人中，第2组的记为0，ai,第3组的记为"，历，b3,第4组的记为c,利用列举法求得

基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.

【小问1详解】

解：第1组人数为＜-=10,所以总人数〃=3=100；

0.50.1

第2组人数为100x0.2=20,所以a=20x0.9=18；

27

第3组人数为100x0.3=30,所以x=——=0.9；

30

第4组人数为100x0.25=25,所以)=25x0.36=9；

3

第5组人数为100x0.15=15,所以丁=石=0.2.

【小问2详解】

解：第2,3,4组回答正确的人的比为18:27:9=2:3:1,

所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.

【小问3详解】

解：抽取的6人中，第2组的记为ai,ai,第3组的记为加，历，①，第4组的记为c,

则从6人中任取2人的所有可能的情况有15种，分别为(ai,02),(的,历)，31,bi),

(ai,bi),(«i,c),(。2,bi),(。2,bi),(ai,fe),(ai,c),(bi,bi),(b\,bi),(b\,c),(历,bi),(历,c),

(63,c).

其中第2组至少有1人的情况有9种，分别为(ai,㈤,3,bi),(czi,bi),3,bi),(ai,c),(a2,bi),

(。2,历)，(。2,bi),(。2,c).

93

由古典撷型的概率计算公式，可得所求概率为百=y.

19.如图，在四棱锥A48CD中，底面A8CD是平行四边形，ZBCD=120°，侧面，底面ABC。，

（1）求证：501平面PAC

⑵过AC的平面交阳于点〃，若%一…兴一山求三棱锥尸一AMC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）昱

3

【解析】

【分析】（1）由菱形的性质有6。，AC,勾股定理知结合面面垂直的推论可得

根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由上4上面ABCD即可计算Vp.Aco,结合已知条件可求三棱锥

P—AMC的体积；

【详解】（1）由题意知：底面ABC。是菱形，且AB=AC=2.

/.BD±AC,又在△中AB=B4=2,PB=2^，即NB4B=90。，

APA±AB,又面丛8上面ABC。，面用8面ABCD=AB,R4u面网瓦

，上4_1_面45。。，而BDu面ABCD,有：PA±BD,PA\AC=A,

•1•80工平面P4C；

（2）由（1）知：，面ABCD,有无"n=」|PA「S=!x2x2x2xsin60°=述，

363

而%—PAC~^P—AMC，且%—PAC~5^P—ACD，

.v_B

・^P—AMC-3

【点睛】本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的

体积公式求三棱锥的体积.

20.已知椭圆E:=+2r=1（。〉。〉0）的离心率为3；,与直线/:x—y+百=0有且只有一个公共点.

ab2

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点M（1,0）的直线4与椭圆E交于两点A,3,若京=2疡，求直线4的方程

2

【答案】（1）,+y2=i；（2）国土2瓜—小=b.

【解析】

【分析】（1）由题得椭圆方程为*+4/—=0,再把y=x+J?代入并整理，根据A=0得解;

(2)先分析直线的斜率不为。，再设直线的方程为X=)+1,联立椭圆方程得到韦达定理，再由

威=2向得t的值，即得解.

【详解】解：(1)由椭圆E的离心率为也，得幺二匕=』,片=4〃

2a24

22

故椭圆方程为二+与=1,/+4/-4尸=0,

4b2b2

把>=%+百代入并整理，得5/+8瓜+20—4/=0，

因为E与4有且只有一个公共点，所以A=0,解得匕=1,

2

所以椭圆的方程为r土+y2=i.

4-

(2)当直线6的斜率为0时，则48的坐标为(—2,0),(2,0),不符合R=2而，

故直线4的斜率不为0，

设直线的方程为x=。+1,代入椭圆方程得卜2+4)V+2什—3=0

则A=4产+12(/+4)>0,

2t3

设人(玉,乂),5(%,%)，则/+%=一百7,%%=一石7

—>—>

AM=(l-xl,-y1),MB=(x2

由京=2疡，得一％=2%

Af9/—8厂—3nFi

得厂E'3千‘代入‘得而厂解得:

故直线12的方程为x=土至y+1,即氐土2粗y-75=0.

v5

【点睛】方法点睛：求直线的方程，一般利用待定系数法，先定式(从直线的五种方程中选择一种作为直

线的方程)，后定量(再求出待定系数的值).

21.已知函数/(x)=a(hu•-a)-x.

(1)讨论/(龙)的单调性；

(2)证明：当a>0时，f(x)<-3a+2.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求导后对。分类讨论，结合导数的符号判断单调区间即可；

（2）转化为证明函数的最大值小于-3。+2,构造函数利用导数确定函数的最值可得证.

【小问1详解】

f（x）=——1=----,x>0

xx

当aWO时，Z（x）<0,则在（0,+a）上单调递减

当a>0时，4/f（x）=—=0,解得x=。，

X

当0（尤<a时，用勾>0,则“力在（0,。）上单调递增

当尤>a时,/'（力<。，则/（九）在（。,内）上单调递减

综上：当aWO时，“X）在（0,+。）上单调递减；当a>0时，/（%）在（0,。）上单调递增，/（九）在

（a,+8）上单调递减

【小问2详解】

由（1）得：f（x）ma=f（a）=a（］na-a）-a

要证：/（%）<-3a+2,即证：alna-a2+2a-2<0（a>0）

...2

即证：Ina—CL---1-2<0

a

令g（a）=lna-a_2+2（a>0）,g'（a\=^~

av7a

当0<a<2时,g'（a）>0,则g（a）在（0,2）上单调递增；

当a>2时，g'（a）<0,则g（a）在（2,+oo）上单调递减；

所以，8（叫皿=8（2）=1112—1<0从而命题得证.

【点睛】关键点点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需/a）的

最大值小于-3。+2,对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究

函数的单调性及最值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一

题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

x=cosa

22.在直角坐标系：中曲线的参数方程为1.（a为参数），/是G上的动点，P点满

y=1+sina

足OP=3OM，P点的轨迹为曲线C2.

（I）求的参数方程；

（II）在以。为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线y与C1的异于极点的交点为A,

3

与。2的异于极点的交点为8,将曲线C1、。2的方程转化为极坐标方程后，求|AB|.

x=3cosa

【答案】（I）《cc.（a为参数）.（II）2

y=3+3sin1

【解析】

【分析】（I）直接利用转换关系应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换.

（II）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果.

【详解】解：（I）设P（x,y）由于P点满足OP=3OM，所以捐;由于点M在C」，

X

—二cosa

3x=3coso

所以,整理得G的参数方程<（a为参数）.

y1•y=3+3sin。

1一3=1+sma

（ID曲线Ci的参数方程转换为极坐标方程