高考数学重难点突破4 立体几何中的轨迹问题（六大题型）（解析版）

重难点突破04立体几何中的轨迹问题

目录

题型一：由动点保持平行求轨迹

方法技巧总结

立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结:

1、定义法

2、交轨法

3、几何法

4、坐标法

5、向量法

题型一：由动点保持平行求轨迹

例1.（2023•贵州铜仁•高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体488-4耳。I。的棱长为1,点E

是棱4瓦的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

c,

4

A

①如果AM丄8纟，则点M的轨迹所围成图形的面积为也;

2

②如果旦M〃平面附，则点M的轨迹所围成图形的周长为斗;

③如果EM〃平面。円8。，则点M的轨迹所围成图形的周长为2+/:

④如果丄8。，则点例的轨迹所围成图形的面积为迪.

4

其中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由AR丄面A方班,而A析u面\与瓦\,则AQ丄A%又A析丄网,

乂AD%=A，4厶%<=面84。，则厶片丄面地。，

由8Qu面BAQ,则厶4丄8R,同理AC丄8R,

ABtAC=A,AB1,ACu面ACS,,则8A丄面AC8一

所以垂直于面4cq所有直线，且Ae面4CB-

若AM丄BR,则〃在边长为血的正△ACB、的边上,

故轨迹图形面积岭防石6。。考，①对;

若尸，G分别为CD,AB中点，连接AF,FC,,B,G,GC,CB,,

由正方体的性质易得AE//4G//FG，AE=Bfi=FC],

所以A,E，G，F共面，且AEG尸为平行四边形，故面AEG即为面AEG尸,

由AEu面AEGF,B|G<Z面AEGF,则8。〃面AEC/,

同理可得CG〃面4EGF,B、GCG=G,qG,CGu面用CG,

所以面用CG//面AEC/,要使用M〃平面AEG，则M在^BCG的边上,

所以轨迹长为0+2>4=厶5②错;

若G,/,J分别为的中点，连接EG,G/,〃丿E,显然£G〃〃，

所以E,G,/,J共面,即E,G,/,Je面EG/J,

山EG//BBt,EG①面。,BB}u面DtBtBD,则EG//面D^BD,

又/G〃8D,同理可得/G//面。£8。，EGIG=G,EGJGu面EG”,

所以面。円8力〃面£G〃，故而EG"内任意直线都与面力由3。平行，

要使EM〃平面。B|B£>,则M在四边形EG〃的边上运动，

此时轨迹长为2x也+2x1=75+2,③对；

2

若K,厶N分别是M,A/BG，CC”CD的中点,并依次连接,

易知ENLKIH为正六边形，显然EH〃AB、,EN//IK//AC,

由EH面ACB、,ABtu|fiiACB）,则£〃//面ACB、,同理可得EN//面ACB,,

EHEN=E,EH,ENu面ENLK1H，所以面ENLK1H11面ACB,,

由丄面ACB,,则BD\丄面ENLKIH,故8R垂直于面ENLKIH所有直线，

要使EN丄BR，则M在边长为正的正六边形ENLKIH边上运动，

2

所以轨迹图形面积为6X丄x（也）2、且=地，④对；

2224

故选：c

例2.（2023•辽宁沈阳•高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体中，E在棱。2上

且满足RE=E。，点F是侧面上的动点，且RF//面AEC,则动点尸在侧面A88d上的轨迹长度

为.

【答案】立

2

【解析】如图，取AB81A的中点G,并连接GR、GB、BD、,

因为E在棱。，上且满足D,E=ED,即E是棱DD,的中点，

所以8G//CE,又8GU平面AEC,CEu平面AEC,

所以8G//平面AEC,同理可证。。//平面AEC,

乂BGGD,=G,所以平面8G£>"/平面A£C,乂8Gu平面8GR,

所以8G//平面A£C,所以动点尸在侧面A叫A上的轨迹即为BG,

因为正方体的棱长为1,由勾股定理有：BG貝BA2+AG?=旦.

2

例3.（2023•福建福州•高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体A88YBG4

中，E,F,G分别为所在棱的中点，P为平面BCC円内（包括边界）一动点，且〃平面EFG,则P点

的轨迹长度为

C,

【解析】因为AA〃BC,则A，B，CR四点共面，

连接CR，A8,

因为E,尸分别为所在棱的中点，则E/〃4田，

且EFu平面FGE,A8&平面FGE,所以A乃〃平面FGE,

因为EG分别为所在棱的中点，则叩〃AA，

且FGu平面FGE,AQ<2平面FGE,所以4R〃平面FGE,

ABAA=A，u平面ABCR,

所以平面FGE〃平面ABCR,且平面8CG5-平面=BC,

可得当且仅当点P在棱8C上时，即RPu平面ABCR,满足Of〃平面“G,

所以点P的轨迹为线段8C,长度为2.

故答案为：2.

1/7

AEB

变式1.（2023・四川成都•髙一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱柱A8C-A与G

中，AB=A\,D,E分别为AA，AC的中点.若侧面叫的中心为。，”为侧面厶4℃内的一个动

点，OM〃平面3DE,且M的轨迹长度为3后，则三棱柱48C-4円£的表面积为.

GBy

工A

【答案】48+8586+48

【解析】

A

连接GE交AC于/,取GE的中点尸，过尸作HG//AC，

分别交CG，AG于H,G,连接HG,OG,OF,OH,BCi，

功得OF”BE,HG"DE,

因为。F,"GO平面BED,BE,DEu平面BED,所以0尸//平面BED,

“G〃平面BED,因为。尸c〃G=尸，且都在面OHG内，所以平面O〃G〃平面3EE）,

所以M的轨迹为线段HG,

因为CE/~AG/,所以考=*=2,.•.害=产_3

EICEC]/1rF-4

31

因为C、HG~“A,所以

所以CA=g〃G=4&,.・.AB=AA.=孝。[=4,

故三棱柱43C-481G的表面积为2x丄x4x4x^^+3x4x4=48+86.

22

故答案为：48+873.

变式2.（2023•江苏扬州•高二统考期中）如图，正方体ABCO-ABCQ的棱长为2,点E是线段的中点,

点〃是正方形用8Cq所在平面内一动点，若。M//平面ABE,则M点轨迹在正方形用8CG内的长度

为.

【答案】亚

【解析】取B片的中点户，连接CP,PR,CD,,如图所示:

因为CQ//AB,CQ<2平面A/E,48u平面A8E,所以CD"平面A岀E.

因为C尸〃AE,CPG平面4BE,AEu平面A/E,所以CP〃平面A/E.

乂因为CP,CQu平面CPQ,CPCD、=C,

所以平面CFQ〃平面ABE.

因为〃〃〃平面A8E,Me平面4BCG，

所以〃点在平面4BCQ的轨迹为CP.

所以CP=1l+22=6.

故答案为：V5

变式3.（2023•江苏泰州•高二泰州中学校考阶段练习）正方体ABCQ-AgCQ的棱长为3,点E,F分别

在线段OR和线段44上，且RE=2ED,厶尸=2尸4，点M是正方形用BCC；所在平面内一动点，若D、M/1

平面FBE，则M点的轨迹在正方形B、BCC1内的长度为.

【答案】M

【解析】

Di

如图，在B4上取点打，使得用H=在CG上取点G,使得CG=：CG，连接尸H,EG,”G,A","G.

根据正方体的性质可知，9//84，AA,=BBI.

由已知可得，=

又B,H=；BB1,所以耳=3^=4尸.

又B\H3%F,所以，四边形FHAA为平行四边形，

所以，FH//AtB,,S.FH=A^.

同理可得，EG//CD,且EG=C£>,EBHD.H.

根据正方体的性质可知，CD3A区,且CO=AB1,

所以，FH//EG,且FH=EG,

所以，四边形FEGH是平行四边形，

所以，HG//EF.

因为"G<z平面用E,EEu平面在8£,所以HG〃平面F8E.

同理可得，RH"平面FBE.

因为HGu平面R"G,平面RHG,D、HHG=H,

所以，平面。“G//平面EBE.

又平面D,HG平面B,BCC,=HG,

所以，根据面面平行的性质定理可知，只有M在线段上运动时，满足条件.

过点、H作HL//BC,垂足为3

易知"L=BC=3,且HL丄LG,LG=GCrLC、=l,

所以，HG=^HI3+LG1=7io.

故答案为：V10.

变式4.（2023・全国•高三专题练习）在边长为2的正方体A8CZ）-AgCQ中，点M是该正方体表面及其内

部的一动点，且BM〃平面AQC,则动点M的轨迹所形成区域的面积是.

【解析】如图，边长为2的正方体A8CQ-A4G。中,

动点M满足〃平面ARC,

由面面平行的性质得：当始终在一个与平面4。。平行的面内，即满足题意,

连接AB,BC,,AC，

因为AB〃CQ且AB=CQ,所以四边形ABG"为平行四边形，

所以A〃//BG，同理AB//DC，

又4Atz平面ABC-BGu平面ABC一所以AR〃平面ABG，

因为£>Ca平面AfC，A8u平面A8C1,所以。C〃平面A^G，

又因ARcRC=R,AR,RCu平面AQC,

所以平面A3G〃平面AOC，

又Be平面ABC-所以动点M的轨迹所形成区域为VA8G，

A,B=BC,=A,C,=2y/2,

।回

S.=-x2y/2x—x2y/2=2yj3,

■片n以rj22

所以动点M的轨迹所形成区域的面积是2班.

故答案为：2石.

变式5.（2023•全国•高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2,反尸分别是棱AA,，AA的

中点，点尸为底面四边形ABCO内（包括边界）的一动点，若直线QP与平面軻无公共点，则点尸在四

边形ABC。内运动所形成轨迹的长度为.

【答案】帀

【解析】取BC的中点G,连接AG,QG,A〃，如图所示：

E、F分别是棱AVA。的中点，所以EF//AD,,

又因为EFu平面BEF,ARa平面BEF,所以4R♦平面BEF.

因为五〃//BG,FD、=BG,

所以四边形FBGD、为平行四边形，所以尸8//GDt.

乂因为FBu平面仁平面6防，所以GD—平面8£尸.

因为ADt=D,,所以平面AQG/平面5EF.

因为点尸为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，直线。尸与平面班户无公共点,

所以P的轨迹为线段AG,则陷=@+12=亚.

故答案为：亚.

变式6.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，正方体A8C0-ABCQ的棱长为2,E、尸分别为4A，AB的

中点，点「是正方体表面上的动点，若GP平面CREF,则点P在正方体表面上运动所形成的轨迹长度

为.

【答案】V2+2A/5/25/5+V2

【解析】取8片的中点G,A4的中点冃，连结GH,CC，GH，AB,EG,HF.正方体

A8CO-AAGA的棱长为2.E,F,G,H为中点,所以E尸〃AB,G"〃4宙，

所以EF〃G/7且EF=G”=&.

因为£”为分别为AB,A瓦的中点，

所以尸，〃CG，且FH=CG，所以四边形式”£C为平行四边形，

所以“G〃CF.

因为"G<X面CD\EF,CFU面C[EF,

所以“G’/面以迷尸.

同理可证：HG.面CREF.

又GHc"G="，"Gu面CtGH,GHu面C；G〃,

所以面CHG面CQ|EF.

所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形G〃G.

因为正方体4BCD-ABCA的棱长为2,所以，G=GG=物+『=石,

所以三角形G"G的周长为G4+〃G+GC1=0+6+行=a+26.

故答案为：72+275.

变式7.（2023•全国•高三专题练习）已知棱长为3的正四面体ABCD,E为AO的中点，动点P满足以=2P£>,

平面a经过点。，且平面a〃平面5C£,则平面a截点尸的轨迹所形成的图形的周长为.

【答案】2扃

【解析】设厶打。。的外心为O,BC的中点为尸，过。作BC的平行线，则以。为坐标原点，可建立如图所

示空间直角坐标系，

8。为等边三角形，BC=3,:.0D=^DF=y/3,0A=y[6,

.•.A(0,0繭，。(0,8,0),尸0,-等,0),

设P(x,y,z),由PA=2P£>得：x2+y2+(z-5/6)-=4x2+(}-->/3)'+z2

整理可得:

•・•动点P的轨迹是以G10,孚,-4]为球心，2为半径的球；

[33丿

延长AB,4£AC到点M,Q,N,使得=A尸=尸。，AC=CN,

则CE//DV,BEHMD,又DN,MDu平面MND,CE,BEg平面MND,

.♦.CE〃平面MM),BE〃平面MND,由CEnBE=E,CE,BEu平面3CE,

•1.平面BCEH平面MND,即平面MND为平面«,

则点G到平面DAW的距离d即为点G到直线DQ的距离，

DG=,QQ=(°，—2>^,—DG-DQ=-2+2=0,1\\!DGA.DQ.

•・•点G到直线DQ的距离d=|/)G|=1,

截面圆的半径「=疹了=6,.••球被平面«截得的截面圆周长为2兀r=2伝,

即平面a截点P的轨迹所形成的图形的周长为2外万.

故答案为：2丛兀.

题型二：由动点保持垂直求轨迹

例4.（2023•湖南株洲•高三株洲二中校考阶段练习）在棱长为4的正方体A8CO-AAGR中，点尸、Q分

别是BDt,的中点，点M为正方体表面上一动点，若与CQ垂直,则点M所构成的轨迹的周长为,

【答案】8+4班

【解析】如图，只需过点P作直线CQ的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点M的轨迹.

分别取CC-。。的中点R,5,

巾tanNC|QC=tanNBRC=2,知NGQC=NBRC,易知CQ丄R3,

乂CQ丄A8,ABBR=B、A8,8Ru平面A8RS,

所以CQ丄平面ABRS,

过P作平面ABRS的平行平面TURN，点M的轨迹为四边形TURJ,

其周长与四边形ABRS的周长相等，

其中AB=RS=4,BR=AS=qU+*=2小，

所以点M所构成的轨迹的周长为2x4+2x2石=8+4石.

故答案为：8+4后

例5.（2023・湖南长沙•长郡中学校考二模）在正四棱柱ABC0-A4CQ中，AB=1,例=4,E为。R中

点，P为正四棱柱表面上一点，且CJ丄qE,则点尸的轨迹的长为一.

【答案】6+拒/0+«

【解析】如图，连接耳马，AG，由题可知，AG丄BR,E0丄平面ABC".

因A&U平面AAGR，则ER丄AG.

又SQu平面EBQ,EQu平EBR,EDQBQ、=D、,则AG丄平面E2Q.又与Eu平面EBQ,则

GA丄B、E：

如图，过E做RG平行线，交CG于凡则F为CG中点.连接所，BXF,

过G做BF垂线，交8月于G.

由题可得，AG丄平面BCC石，又E尸〃。G，则E尸/平面BCCg.

因GGu平面5CGA，则GG1EF.

又B£u平面反尸E,FEu平面男尸E,FEC4尸=F，则CQ丄平面B/E.

因u平面B、FE,则C.G丄B}E；

因GGu平面GGA,,C0U平面C0A，c.^nc.G=ct,则AE丄平面GGA,.

连接AG,则点p轨迹为平面GGA与四棱柱的交线，即△A&G.

注意到N8|C|G+ZGC.F=NGC|尸+ZB,FC,nNB«G=ZB,FC,,

/CM=NFC围,则C/LFCR,故处=%=2n80=J.

4GC卢1z

则点尸的轨迹的长为AG+C,G+AC=2J1+；+V2=^+5/2.

故答案为：旧+五.

B_______c

AX\7

A；D

例6.（2023•全国•唐山市第十一中学校考模拟预测）已知N为正方体ABCD-AEGR的内切球球面上的动

点，M为8c的中点，DN丄MB,若动点N的轨迹长度为与昼，则正方体的体积是.

5

【答案】64

其中〃为4G的中点，取的中点”，连接CH.

则有：CH丄MB,DCLMB,

又CHDC=C,CH,DC=平面DCH,

所以MB丄平面DC”,

所以动点N的轨迹是平面DCH截内切球。的交线,

即平面DCHG截内切球。的交线，

因为正方体A8CQ-A耳GA，AB=2a,

连接OD,OG,OH，则有OG=OH=E旦OGLOH,

GH=2a,GO=岛且GH丄GD,

设。到平面DC"G的距离为：d,

则在三棱锥O-DGH中，有VO_CDH=VD_0GH,

所以丄xLxG4xG£>xd='x丄xOGxOGxa,

3232

HP—x—x2ax\[5axd=-x—x垃ax-j2axa,

3232

解得；：”=a,

5

截面圆的半径r=y/R2-d2=竽"，

所以动点N的轨迹长度为：c=2/rr=勺匣a,

5

即延为=迹£,解得°=2,

55

所以A8=4,正方体的体积：V=43=64,

故答案为：64.

变式8.（2023•全国•高三专题练习）已知直三棱柱ABC-ABG的所有棱长均为4,空间内的点H满足

HALHA,,且“8丄"G，则满足条件的”所形成曲线的轨迹的长度为.

【答案】心/勺员万

33

【解析】设的中点为M，8G的中点为N,易知MN=2百，

因为/M丄44,且H8丄4G，所以，点在以AA，BG为直径的球上，

球心分别为以，N,半径分别为r=M4=2,R=NB=2应,即HM=2,HN=2品,

又MN=2后,所以HM2+HM=MN"即HW丄HV,

因为两球的交线为圆，所以“点轨迹是以丁为圆心，以/”为半径的圆,

所以轨迹长度为2兀、也=生画.

33

故答案为：生画.

3

IT

变式9.（2023•四川成都•三模）如图,A8为圆柱下底面圆。的直径,C是下底面圆周上一点，已知NAOC=1,

04=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足8c-CO=0,则点。的轨迹所围成图形的面积

为

，--0-、、

A尸B

C

【答案】10

【解析】作母线CE,AF,连接EF,

因为AF〃CE,所以A£CE共面，ACEE是圆柱的一个截面,

EC丄平面ABC,BCu平面ABC,所以EC丄8C,

又由已知得AC1BC,而ACCE=C,AC,CEu平面ACEF,

所以8c丄平面ACE尸，

111BCCD=0得CD丄BC,所以CDu平面ACE5,

矩形ACE尸即为。点轨迹，

1T

ZAOC=-,则AC=Q4=2,又CE=5,

所以矩形ACEF的面积为2x5=10.

故答案为：10.

尸阡二

/Md七A8

C

变式10.（2023•全国•高三专题练习）如图，A3为圆柱下底面圆。的直径，C是下底面圆周上一点，已知

7T

ZAOC=^,OA=2,圆柱的高为5.若点£＞在圆柱表面上运动，且满足BC丄AD,则点。的轨迹所围成图

形的面积为.

4y二好…二

c

【答案】io

【解析】因为A3是圆柱F底面圆。的直径，所以6c丄AC,

又3C丄AD,AC\AD=A,AC,A。u平面AC。，所以BC丄平面AC。，

设过A的母线与上底面的交点为E,过。的母线与上底面的交点为尸，连石ECEAC,

行1

,D

Z

»/

厶1;:至…二:3

C

因为AE丄平面ABC,BCu平面ABC,所以AE丄BC,

因为A£AC=A,AE,ACu平面ACE,所以BC丄平面ACE,

所以点。在平面ACE内，又点。在圆柱的表面，所以点。的轨迹是矩形AEFC,

jr

依题意得A£=5,OA=OC=2,ZAOC=-,所以AC=2,

所以矩形的C的面积为5x2=10.

故点。的轨迹所围成图形的面积为10.

故答案为：10.

变式11.（2023•浙江宁波・高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，BC=CC『3,

AC=4,AC丄3C,动点P在△AB©内（包括边界上），且始终满足BP丄Ag,则动点尸的轨迹长度是.

【解析】在直三棱柱ABC-中，丄平面ABC,

因为ACu平面ABC,所以，4c丄8月，

又因为AC18C,BCBB]=B,BC、8与u平面880。，

所以，AC丄平面BBgC,

因为BQu平面BBCC,所以，BCJAC,

因为BBJ/CG,BB、=CQ=BC,则四边形B8&C为菱形，所以，BC]±BXC,

又因为ACcBC=C,AC,8,Cu平面AB,C,所以，80丄平面A8C，

因为平面AB,C,所以，BC,±AB,.

在平面A4G内，过点C1作G"丄A4,垂足为点〃，

因为B4丄平面ABG，G”u平面A耳G，则a”丄3片，

因为G”丄A4，844瓦=片，BB]、AB|U平面A41g8,

所以，G"丄平面A4M8,

因为平面则丄G”,

因为BCJG”=G，BC1、弓”匚平面8。円，所以，AB1丄平面BGH,

由于动点P又在内，所以动点P在平面A4G与平面BC、H的交线GH上,

所以，A4=+4c：=J42+32=5,

八“A.C,B.C4x312

由等面积法可得C、H=''11,

452)2)

12

因此，动点尸的轨迹长度是

12

故答案为：~.

变式12.(2023•山东枣庄•高一统考期末)M,N分别是棱长为1的正方体A8CO-AAGA的棱CCrAd的

中点，点P在正方体的表面上运动，总有MP丄8N,则点尸的轨迹所围成图形的面积为.

【答案】立

2

【解析】取中点G,连接。M,MG,G4,设AGcBN=F,

则N81=G8,NNB]B=NGBA=90。,BtB=BA,

所以ANB，B=AGBA,

所以NNBB]=NGAB.

因为NFG8+NG48=90。，

所以NFGB+NNBB[=90°,

所以NGEB=90°,即AG丄8N,

因为正方体ABC。-A8CA中A£＞丄面BNu面

所以A£＞丄BN,

因为AZ),AGu面仞MG,ADAG=A,

所以BN丄面APMG,

因为正方体A8CO-48CA中AD丄面AAgB,AGu面A4gB,

所以A£＞丄AG,

所以点P的轨迹为矩形ADMG,

在直角_4?G中AG=VAB2+BG2=Jl+^=乎，

所以矩形ADMG面积为AG•AO=@x1=@.

22

即点尸的轨迹所围成图形的面积为好.

2

故答案为：好

2

变式13.(2023・四川广元•高二广元中学校考期中)如图，A8为圆柱下底面圆。的直径，。是下底面圆周上

7T

一点，已知NAOC=1,OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足BC丄A。，则点。的

轨迹所围成图形的面积为.

C

【答案】100

【解析】因为A8是圆柱下底面圆。的直径，

所以8c丄AC,

又8C丄AZ),ACriAD^A,AC,Mu平面ACO,

所以BC1平面AC。，

设过A的母线与I：底面的交点为E.过C的母线与上底面的交点为尸，连EF,CF,AC,

E防1丿

，D

//

/

A^：：：l：：：O：：：：：：zB

c

则四边形A£FC为矩形，

因为AE丄平面ABC,BCu平面ABC,

所以A£丄BC,

因为AEAC=A,AE,ACu平面ACFE,

所以8C1平面ACFE,

所以点。在平面AC正内，

又点。在圆柱的表面，

所以点D的轨迹所围成图形是矩形AEFC,

TT

依题意得A£=5,OA=OC=2,NAOC=一，

2

所以AC=2五，

所以矩形AEFC的面积为5x2a=10夜，

故点。的轨迹所围成图形的面积为10匹.

故答案为：I0&.

变式14.（2023・陕西榆林•高二校考阶段练习）如图，正方体A8CO-A8CA的棱长为2,点M是棱4G的

中点，点P是正方体表面上的动点.若DM丄CF,则P点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（）

B.2畐店

C.夜+2逐D.2夜+2有

【答案】C

【解析】取的中点G,A局的中点“，连接匕“、GH、GG、D、M、CM,

设"GD、M=。,如下图所示.

因为四边形AMGR是正方形，又点M是棱的中点，点”是AA的中点，

则4cl=CQi，B\H=JM,NC\B、H=ND£M=90,

所以，RtZkgG”纟Rt^CQM,所以，NBCH=NCRM,

所以，ZC{MD}+ZB.C,H=ZCtMD,+ZQD.M=90,

所以，ZC.OM=90,即HCX丄DXM.

在正方体ABCO-AMGR中，0A丄平面ABC。，

又G”u平面AAGR，所以。。丄G”，

又DD\D、M=Di,DD,、"Mu平面所以QH丄平面。RM,

又MDu平面。。M,所以C]H丄MD,同理可得，C,G1MD,

又C、GcC、H=C,,C。、GHU平面CQH,所以，DM丄平面GGH.

所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为aC。4的三边，

因为正方体ABCD-ASG。的棱长为2,

由勾股定理可得G”=荷不可产=V22+l2=亚，同理可得C。=石，GH=Q，

所以.GGH的周长为GH+"G+GC；=J5+石+石=0+2行.

故选：C.

题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹

例7.（2023・贵州贵阳•高三贵阳一中校考期末）在棱长为1的正方体ABCD-A圈中，点。为侧面889。

内一动点（含边界），若DQ泻,则点。的轨迹长度为.

兀1

【答案】a

44

【解析】由题意，。在面8BCC的轨迹是以G为圆心，半径为义的四分之一圆弧，

iiTT

所以轨迹长度为LW*

故答案为：v

例8.（2023・湖北武汉•高一湖北省水果湖高级中学校联考期末）已知正方体ABCD-ABCA的棱长为3,动

点尸在VABC内，满足=J五，则点尸的轨迹长度为.

【答案】品

【解析】在正方体ABC。-中，如图，

丄平面A8CQ,ACu平面AfiCO,则3%丄AC,而BO丄AC,

DDJBD=D,DDt,BDu平面BDR,于是AC丄平面BOR,乂BQu平面BOR,

则AC丄BQ,同理A4丄而ACcAg=A,AC,A^u平面ASQ,

因此8。丄平面AB,C,令8。1交平面A8c于点E，

由V/j-AB'C=VK（-ABC,得3sABtC'BE=；SABC-BB1,

即立•（夜-BE=-AB3，解得BE=\AB=百,

4'丿273

而BD、=\[3AB=3百，丁是RE=2>/3,

因为点P在VA81C内，满足。尸=JS,则EP=JQM-£>E=6,

因此点尸的轨迹是以点E为圆心，V2为半径的圆在VAgC内的圆弧，

而VA8C为正三角形，则三棱锥8-必为正三棱锥，E为正VA4c的中心，

于是正VAB。的内切圆半径E〃=Agx且x丄=3xJIx立x1=逅，

123232

则cos"EF=立，即=—NFEG=j

263

所以圖在VABC内的圆弧为圆周长的

即点P的轨迹长度为；・2兀•a=

故答案为：兀

例9.（2023•河北邯郸•高一大名县第一中学校考阶段练习）已知正方体ABCQ-AB'C'D的棱长为1,点尸

在该正方体的表面ABCD上运动，且PA=夜则点P的轨迹长度是.

【答案】［

2

【解析】当AP=应时，如图，点P的轨迹是在面BCC%'，CDDC,AB'C'D三个面内以1为半径，圆心

角为:的三段弧，所以此时点P点尸在该正方体的表面A与GR上运动的轨迹的长度为

变式15.（2023•贵州铜仁•统考模拟预测）已知正方体48CD-ABC。的棱长为4,点P在该正方体的表面

上运动，且PA=4应，则点P的轨迹长度是.

【解析】因为24=40>4,所以点P可能在平面内，可能在平面BCG4内，可能在平面。CGA

内.

当点尸在平面480。内时，

由A4,丄平面ABCQ，APu平面44G可知力A丄AP,

所以PA?=4^+4〃，所以4尸=PA2-M=(4拒『-42=16,

所以点P到A的距离为4,

所以点尸的轨迹为以点A为圆心，4为半径的圆与正方形AB£R边界及其内部的交线.

7T

则40的长/=/X4=27T,

所以，当点尸在平面A4G。内时，点P的轨迹长度是2兀.

同理可得，当点尸在平面8CC円内时，点尸的轨迹长度也是21t.

当点尸在平面QCG2时，点尸的轨迹长度也是27r.

综上所述，点P的轨迹长度为2兀+2兀+2兀=6兀.

故答案为：67r.

变式16.(2023•黑龙江齐齐哈尔・统考二模)表面积为36兀的球M表面上有A,B两点,且为等边三

角形，空间中的动点尸满足|P4|=2|P8］,当点P在,所在的平面内运动时，点P的轨迹是；当尸

在该球的球面上运动时.，点尸的轨迹长度为.

【答案】圆”叵

13

［解析］设球的半径为，，则4兀产=36K，解得r=3,

在平面内，动点P的轨迹组成一个圆，以线段48所在直线为无轴，以靠近点8且长度为1处为坐标原点，

则A(-2,0),8(1,0),此时动点P的轨迹方程为(x-2)2+9=4,

设其圆心为。一则在空间中，z轴和xO.v坐标平面垂直，

动点P的轨迹为xOy平面中的圆(x-2丫+9=4绕x轴旋转一周形成球的球面，

如图所示,

y

X

所以点P的轨迹是两个球面的交线，这两个球分别是以M和0,为球心，

在△MBO?中，结合余弦定理得到口闸=V32+l-2x3xlxcosl200=V13.

设交线所围成的圆半径为R.则底而R=[x3x2,

22

解得R=小叵.所以交线的长度为吆叵.

1313

故答案为：圆；上叵

13

变式17.（2023・全国•高三专题练习）己知正四棱柱ABCO-A4GA的体积为16,E是棱BC的中点，户是

侧棱4A上的动点，直线GP交平面E瓦。于点P，则动点P'的轨迹长度的最小值为.

【答案】厶叵

5

【解析】如图取8的中点M,连接EM交AC于点F,连接AG、BR交于点0,连接。尸、BD,

3

因为E是棱8C的中点，所以ME〃8O,则尸为AC的四等分点且=

4

由正四棱柱的性质可知〃叫且。口=叫，所以四边形。。冉8为平行四边形，所以4R//BO,

所以gR〃ME,所以为、口、M,E四点共面，

所以平面8aM4,平面ACGA，

连接AG交。尸于点G,因为P是侧棱AA上的动点，直线C/交平面EBQ于点p,

所以线段0G即为点P'的轨迹，

a

如图在平面ACGA中，过点尸作，尸丄AC，交AG于点”，因为AG//AC,

所以AFGsCQG,所以注二三二学一所以OG=^OF,

°GOGl^C,25

设4)=£>C=a、DDt=b,(a,b>0),

।历

依题意"6=16,CF=CtH=OH=-AC=^a,

所以OF=JOH2+HF2=&.2,

要求动点P的轨迹长度的最小值，即求。G的最小值，即求O尸的最小值，

因为"2匕=16，所以“2=不，

b

所以丄/+〃=lx—+/?2=b2+-=/?24--+->3^/?2.--1=3,

88bbbb\bb

当且仅当匕2=:，即8=1、a=4时取等号，

b

所以(0尸)mi“=6,所以(06端“=苧，即动点P的轨迹长度的最小值为竿.

故答案为：厶叵

5

变式18.(2023・全国•高三专题练习)已知棱长为8的正方体ABCD-AMCQ中，平面A3C。内一点E满足

8E=；CB,点尸为正方体表面一动点，且满足|阳=2&,则动点P运动的轨迹周长为

【答案】(0+1)万

【解析】BE=JC8,则E在C8的延长线上，且BE=2,

由正方体性质知BE丄平面ABBA,当p在平面上时，BPu平面A84A，BE丄BP，由尸E=2正得

8P々（20）2—22=2,因此尸点轨迹是以8为圆心，2为半径的圆在正方形内的部分即圆周的5,

弧长为2;rx2x!=乃，从而知P点在以B为顶点的三个面内.

4

TT

当尸在棱3片上时，BP=2,ZPEB=-

4t

因此尸点在面BCC|B|时，尸点轨迹是以E为圆心，2a为半径的圆在正方形BCG片内的圆弧，圆弧的圆心

角为£，弧长为工x2&=^万，同理P点在面A8C。内的轨迹长度也为它；r,

4422

所以所求轨迹长度为"+史"x2=（应+1）》.

2

故答案为：（拉+1）%.

变式19.（2023・全国•高三专题练习）如图，已知棱长为2的正方体AbC。一A8CD,M是正方形8冊CC

的中心，P是△4C。内（包括边界）的动点，满足PM=P。，则点P的轨迹长度为.

D'C

【答案】巫

2

【解析】如图建立空间直角坐标系，则0（0,0,0）,A'（2,0,2）,C（0,2,2）,M（1,2,1）

DAZ=(2,0,2),DC'=(0,2,2)

设平面D4C的法向量〃=（x,y,z）

2x+2z=0

则有2y+2z=0,令I则y=l,z=-1

则1)

设尸(x,y,z),则DP=(x,y,z)

nlDP，贝ijx+y-z=°

又,/PM=PD,则y/x2+y2+z2=^(x-1)2+(y-2)2+(z-l)2

整理得：x+2y+z=3

-3~2x

(x+2y+z=3)-3

联立方程•八，则\

[x+y-z=0_x+3

0<x<2

3-2%3

可得04戸丄2,可得04哼

0<^<2

I3

当x=0时，［（0,1,1）,当》=^|时，鸟弓‘°'3

在空间中，满足PM=PD的尸为过MC的中点且与MO垂直的平面a

两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为an平面则由2卜半

故答案为：叵.

2

变式20.（2023•河南许昌•髙三统考阶段练习）三棱锥P