运筹学课件-第七章动态规划

运筹学课件-第七章动态规划目录CONTENCT动态规划概述动态规划的基本概念动态规划的应用场景动态规划的求解方法动态规划的优化策略动态规划的案例分析01动态规划概述定义优化过程具有重叠性适用于具有阶段性的问题适用于具有重叠子问题的情况定义与特点动态规划是一种通过将原问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解以避免重复计算的方法，以求解最优化问题的方法。动态规划将原问题分解为重叠的子问题，通过存储子问题的解避免重复计算，提高求解效率。动态规划适用于具有明显阶段性的问题，每个阶段都有其状态转移方程和最优解。动态规划通过存储子问题的解，避免重复计算，适用于具有大量重叠子问题的最优化问题。解决复杂问题提高计算效率应用广泛动态规划能够将复杂问题分解为相互重叠的子问题，降低问题的复杂度，使得求解成为可能。通过避免重复计算子问题，动态规划能够显著提高计算效率，特别是在大规模问题中。动态规划在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、工程、金融等。动态规划的重要性起源动态规划的思想起源于20世纪40年代的贝尔曼方程，用于研究最优控制问题。发展历程动态规划在20世纪50年代得到发展，广泛应用于生产和分配领域。随着计算机技术的发展，动态规划在解决大规模问题方面取得了显著成果。未来展望随着人工智能和大数据技术的不断发展，动态规划将在解决复杂优化问题方面发挥更加重要的作用。同时，研究如何提高动态规划的计算效率和适用性也是未来的重要方向。动态规划的历史与发展02动态规划的基本概念最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个过程的最优解可以通过分解为若干个较小的子过程，并分别求出这些子过程的最优解，然后通过这些子过程的最优解来推导出原过程的最优解。最优化原理通常用于解决多阶段决策问题，其中每个阶段的决策都会影响到后续阶段的决策。最优化原理适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，即原问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。最优化原理贝尔曼方程是动态规划中用于描述最优解的递推关系的数学方程。它通过将问题分解为多个子问题，并利用这些子问题的最优解来构建原问题的最优解。贝尔曼方程通常用于解决连续时间或离散时间的最优化问题，其中每个状态都有一个与之相关的转移概率。贝尔曼方程01020304动态规划的递推关系是描述最优解如何从子问题的最优解推导出来的数学关系。动态规划的递推关系动态规划的递推关系是描述最优解如何从子问题的最优解推导出来的数学关系。动态规划的递推关系是描述最优解如何从子问题的最优解推导出来的数学关系。动态规划的递推关系是描述最优解如何从子问题的最优解推导出来的数学关系。03动态规划的应用场景问题描述动态规划解法资源分配问题资源分配问题通常涉及到在有限的资源下，如何分配资源以达到最优的目标。例如，在供应链管理中，如何分配各分公司的库存资源以达到总库存成本最低。通过构建状态转移方程和动态规划决策过程，可以找到最优的资源分配方案。生产与存储问题问题描述生产与存储问题涉及到生产和存储的决策，以最小化总成本。例如，一个制造商需要在多个生产阶段进行决策，每个阶段可以选择生产、存储或停工。动态规划解法通过定义状态变量和决策变量，建立状态转移方程，并使用动态规划算法求解最优的生产和存储策略。问题描述连续时间和离散时间系统的最优控制问题涉及到在连续或离散的时间域内进行最优控制决策。例如，在电力系统中，需要控制发电机的输出以保持系统稳定。动态规划解法通过将连续时间系统离散化，将最优控制问题转化为动态规划问题，并使用动态规划算法求解最优控制策略。连续时间和离散时间系统的最优控制问题问题描述决策过程和策略选择问题涉及到在不确定的环境下进行决策，以达到最优的目标。例如，在医疗诊断中，需要根据患者的症状选择最佳的诊断策略。动态规划解法通过定义状态变量和决策变量，建立状态转移方程，并使用动态规划算法求解最优的决策和策略选择。决策过程和策略选择问题04动态规划的求解方法010203从最后一步开始，逐步向前推导，求解子问题的最优解，最终得到原问题的最优解。适用于状态转移方程和最优指标函数都是递推关系的情况。计算量相对较小，但需要保证子问题的最优解能够被存储以便后续使用。逆向递推法将非线性状态转移方程和最优指标函数进行分段线性化，转化为一系列线性规划问题。适用于状态转移方程和最优指标函数都是非线性函数的情况。计算量较大，但可以处理非线性问题，且能够得到较为精确的解。分段线性化法多阶段决策问题求解方法01将多阶段决策问题分解为一系列单阶段决策问题，逐一求解。02适用于具有明显阶段特征的多阶段决策问题。可以将复杂问题分解为简单问题，便于理解和求解。0305动态规划的优化策略80%80%100%状态转移方程的优化根据问题的特性，确定状态转移方程，以便在每个阶段根据当前状态和决策选择来计算下一个状态。在某些情况下，状态转移方程可能较为复杂，可以通过数学方法对其进行简化，以提高计算效率。确保状态转移方程在相同条件下产生相同的结果，以保证计算的一致性和准确性。确定状态转移方程状态转移方程的简化状态转移方程的稳定性策略选择的原则策略选择的依据策略选择的调整策略选择的优化根据状态转移方程和目标函数，选择最优的策略以实现整体最优解。在实践中，可能需要根据实际情况对策略进行调整，以适应不断变化的环境和需求。根据问题的特性，选择合适的策略来指导决策过程。策略应满足最优性、完备性和可行性原则。确保各阶段决策之间具有连贯性，避免出现矛盾和冲突。多阶段决策的连贯性根据问题的特性，合理安排各阶段决策的顺序，以提高整体决策效率。多阶段决策的时序安排通过协同优化方法，将多阶段决策问题转化为一系列单阶段决策问题，以便逐一求解。多阶段决策的协同优化多阶段决策的优化06动态规划的案例分析背包问题在给定一组物品，每个物品都有价值和重量，求在不超过背包承重限制的情况下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大，同时要求每个物品至少选择一个单位。完全背包问题在给定一组物品，每个物品都有价值和重量，求在不超过背包承重限制的情况下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。0-1背包问题在0-1背包问题的基础上，允许一个物品有多个单位，每个单位可以有不同的重量和价值，求解如何选择物品和其单位数使得背包中物品的总价值最大。多重背包问题排班问题给定一组医生、病人和时间段，每个医生有不同的专业和可工作时间，每个病人需要在特定时间段内得到特定专业的医生治疗，求解如何安排医生的工作时间，使得所有病人的需求得到满足。医生排班问题在生产线上，有多个任务需要在不同时间段内完成，每个任务有不同的优先级和交货时间，求解如何安排任务的执行顺序和时间，使得所有任务按时完成且优先级高的任务优先完成。调度问题给定一组作业和机器，每个作业有不同的加工时间和优先级，求