荆州沙北新区2022年高一《数学》上学期期中试卷与参考答案

荆州市沙北新区2022年高一《数学》上学期期中试卷与参考答案一、单选题共8小题，每小题5分，共40分。1．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若A∪B＝A，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或2或﹣1答案：A．2．命题“∀x∈R，|x|+x2⩾0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2⩽0 C．∃x0∈R，|x|+x2＜0 D．∃∈R，|x|+x2⩾0答案：C．3．下列说法正确的是（）A．ac2＞bc2的充要条件是a＞b＞0 B．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 C．a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件 D．若a＜b＜0，则答案：C．4．集合M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（）A． B． C． D．答案：B．5．已知函数f（x）和g（x）的定义如表格所示，则不等式f（g（x））＞g（f（x））的解为（）x123f（x）231g（x）321A．{1，2} B．{2，3} C．{2} D．{1，2，3}答案：C．6．已知函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝，则f（﹣2）的值为（）A． B． C． D．答案：C．7．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D．（a＞0，b＞0）答案：D．8．函数的图象如图，则f（x）≤m﹣2n的解集为（）A． B． C． D．（﹣1，1）【分析】由函数的定义域为{x|x≠±1}，经过点（0，﹣1），可确定m＝n＝1，从而知f（x）＝，再解不等式，即可．答案：D．二、多选题9．设集合S＝{x|﹣2≤x≤8}，T＝{x|0＜x＜4}，若集合P⊆（∁RT）∩S，则P可以是（）A．{x|﹣2≤x≤0} B．{x|5≤x≤7} C．{x|﹣2≤x≤8} D．{x|1≤x≤5}答案：AB．10．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，则下列结论正确的是（）A．a＜0 B．b＜0，c＞0 C．a﹣b+c＞0 D．不等式bx2﹣cx+a＞0的解集为{x|x＞﹣或x＜﹣1}答案：ABC．11．若a＞0，b＞0，则下列结论正确的是（）A． B．2（a2+b2）≤（a+b）2 C．若，则a+b≥2 D．若a+b＝1，则答案：ACD．12．已知函数的定义域为A，集合B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣9＜0}．则“∀x1∈A，∃x2∈B，使得x2＝x1成立”的充分条件可以是（）A．m＝1 B．m＝3 C．1≤m≤2 D．0＜m≤1答案：AD．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则＝1．答案为：1．14．已知f（x）是一次函数，其图像不经过第四象限，且f[f（x）]＝4x+6，则f（x）＝2x+2．答案为：2x+2．15．已知集合A，B，U，满足A⊆U，B⊆U，且A∪B＝U时，称集合对（A，B）为集合U的最优子集对．若U＝[1，2}，则集合U的最优子集对为9个．答案为：9．16．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客实际得到的黄金＞10g（填＞、＜或＝）杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂答案为：＞．四、解答题本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x|x＞2或x＜﹣3}．（1）分别求A∩B和（∁RA）∪（∁RB）；（2）若集合C＝{x|a﹣1＜x＜a}，若“x∈C”是“x∈A”充分不必要条件的，求实数a的取值范围．解：（1）A＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2或x＜﹣3}，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|x＞2或x＜﹣3}＝{x|2＜x≤3}，（∁RA）∪（∁RB）＝{x|x＞3或x＜1}∪{x|﹣3≤x≤2}＝（﹣∞，2]∪（3，+∞）；（2）∵“x∈C”是“x∈A”充分不必要条件，∴C⫋A，又∵C是开区间，A是闭区间，∴，解得2≤a≤3，故实数a的取值范围为{a|2≤a≤3}．18．已知f（x﹣1）＝x2+2x+3．（1）求f（1）；（2）若f（a）＝3，求a的值；（3）求函数f（x）的值域．解：（1）令x﹣1＝t，则x＝t+1，则f（t）＝（t+1）2+2（t+1）+3＝t2+4t+4，故f（x）＝x2+4x+6，故f（1）＝11；（2）若f（a）＝3，则a2+4a+6＝3，解得：a＝﹣1或﹣3；（3）由（1）f（x）＝x2+4x+6＝（x+2）2+2故函数f（x）的值域是：[2，+∞）．19．正数x，y满足+＝1．（1）求xy的最小值；（2）求x+2y的最小值．解：（1）∵x＞0，y＞0，+＝1，那么：1＝+≥2＝，当且仅当9x＝y，即x＝2，y＝18时取等号．即：，所以：xy的最小值36．（2）∵x＞0，y＞0，+＝1，那么：x+2y＝（x+2y）（+）＝，当且仅当3x＝y，即x＝，y＝时取等号．所以：x+2y的最小值为．20．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1．（Ⅰ）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（Ⅱ）解不等式f（x）＜（m﹣1）x2+2x﹣2m﹣1．解：（Ⅰ）要使mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，若m＝0，显然﹣1＜0．若m≠0，∴﹣4＜m≤0．（Ⅱ）由f（x）＜（m﹣1）x2+2x﹣2m﹣1得，mx2﹣mx﹣1﹣mx2+x2﹣2x+2m+1＜0，即x2﹣（m+2）x+2m＜0，即（x﹣m）（x﹣2）＜0，当m＜2时，解得m＜x＜2；当m＞2时，解得2＜x＜m；当m＝2时，解集为空集．综上：当m＜2时，解集为（m，2）；当m＞2时，解集为（2，m）；当m＝2时，解集为空集．21．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝；当4＜x≤10时，y＝4﹣x．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．解：（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为，当0≤x≤4时，令，解得x≥0，所以0≤x≤4，当4＜x≤10时，令16﹣2x≥4，解得x≤6，所以4＜x≤6，综上所述，可得0≤x≤6，即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达6天．设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度，因为14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以，当且仅当，即时，等号成立，令，解得，所以a的最小值为．22．已知二次函数f（x）＝ax2+x（a≠0）．（1）当a＜0时，若函数定义域与值域完全相同，求a的值；（2）若f（x）＝1的两实数根均在（0，1）内，求实数a的取值范围．解：（1）由题意，f（x）≥0，即ax2+x≥0（a＜0），解得，所以函数定义域为，又当a＜0时，函数f（x）＝ax2+x的对称轴为，因为，故函