数学高二(上)沪教版(数列的综合应用(二))教师版

年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题数列的综合应用〔二〕教学目的主要是复习稳固等差等比数列的性质，并且能够利用性质快速准确的解决问题；进一步熟悉数列的一共用体，加强建模能力。教学内容【知识梳理】〔一〕等差、等比数列的性质1.等差数列{an}的性质〔可对照着每条性质举出相应的练习，与练习相配套效果更好〕〔1〕am=ak+〔m－k〕d，d=.〔2〕假设数列{an}是公差为d的等差数列，那么数列{λan+b}〔λ、b为常数〕是公差为λd的等差数列；假设{bn}也是公差为d的等差数列，那么{λ1an+λ2bn}〔λ1、λ2为常数〕也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.〔3〕下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md〔4〕假设m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，那么am+an=ak+al，反之不成立.〔5〕设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，那么A、B、C成等差数列.〔6〕假设数列{an}的项数为2n〔n∈N*〕，那么S偶－S奇=nd，=，S2n=n〔an+an+1〕〔an、an+1为中间两项〕；假设数列{an}的项数为2n－1〔n∈N*〕，那么S奇－S偶=an，=，S2n－1=〔2n－1〕an〔an为中间项〕.2.等比数列{an}的性质〔1〕am=ak·qm－k.〔2〕假设数列{an}是等比数列，那么数列{λ1an}〔λ1为常数〕是公比为q的等比数列；假设{bn}也是公比为q2的等比数列，那么{λ1an·λ2bn}〔λ1、λ2为常数〕也是等比数列，公比为q·q2.〔3〕下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm〔4〕假设m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，那么am·an=ak·al，反之不成立.〔5〕设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，那么A、B、C成等比数列，设M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，那么M、N、P也成等比数列.〔二〕对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a－d，a，a+d；假设四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d.三个数成等比数列，可设为，a，aq，假设四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为，，aq，aq3.〔三〕用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵an=a1+〔n－1〕d=dn+〔a1－d〕，当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点〔n，and＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.假设等差数列的前n项和为Sn，那么Sn=pn2+qn〔p、q∈R〕.当p=0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：an=a1qn－1.可用指数函数的性质来理解.当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.【典型例题解析】例1、有一序列图形P1,P2,P3…….P1是边长为1的等边三角形，将P1的每条边三等分，以每边中间局部的线段为边，向外作等边三角形，再将中间局部的线段去掉得P2，…..，将Pk-1的每条边三等分，以每边中间局部的线段为边，向外作等边三角形，再将中间局部的线段去掉得Pn试分别求Pn的周长Cn和面积Sn.解：这序列图形的边数构成的数列为：它们的边长构成的数列为：.S2比S1多3个面积为变式练习：1.我们把1，3，6，10，15，……这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形〔如以下图〕13610151361015……那么第七个三角形数是()BA、27 B、28 C、29 D、302.如图，64个正数排成8行8列方阵．符号表示位于第i行第j列的正数．每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于．假设，，，〔1〕求的通项公式；〔2〕记第行各项和为，求的值及数列的通项公式；〔3〕假设，求的值。解析：〔1〕〔2〕〔3〕6,7，8⊿ABC分割成〔≥2，n∈N〕个全等的小正三角形〔图2，图3分别给出了n=2,3的情形〕，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三普及平行于某边的任一直线上的数〔当数的个数不少于3时〕都分别一次成等差数列，假设顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，那么有f(2)=2，f(3)=，…，f(n)=(n+1)(n+2)【解析】当n=3时，如下图分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知即进一步可求得。由上知中有三个数，中有6个数，中共有10个数相加，中有15个数相加….，假设中有个数相加，可得中有个数相加，且由可得所以=例2.函数对任意都有〔1〕求和的值．〔2〕数列满足：=，数列是等差数列吗？〔3〕令，试比拟与的大小．答案：〔1〕，〔2〕为等差数列〔3〕当时，；当时，变式练习：满足：对于任意的实数，都有，且，那么。答案：例3、〔2010年高考江苏卷试题19〕设各项均为正数的数列的前n项和为，，数列是公差为的等差数列。〔1〕求数列的通项公式〔用表示〕；〔2〕设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和以及根本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。总分值16分。〔1〕由题意知：，，化简，得：，当时，，适合情形。故所求〔2〕〔方法一〕，恒成立。又，，故，即的最大值为。〔方法二〕由及，得，。于是，对满足题设的，，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，那么符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。例3.某城市2001年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2010年底该城市人均住房面积为多少m解：2001年、2002年、……2010年住房面积总数成APa1=6×500=3000万m2，d=30万m2，a10=3000+9×30=32702001年、2001年、……2010年人口数成GPb1=500,q=1%,∴2010年底该城市人均住房面积为：变式练习：1.用分期付款的方式购置一批总价为2300万元的住房，购置当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%，假设首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？答案：〔1〕111万元〔2〕2510万元2.某市2009年底有住房面积1200万平方米，方案从2010年起，每年撤除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.〔1〕分别求2010年底和2011年底的住房面积

；〔2〕求2029年底的住房面积.〔计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01〕解〔1〕2000年1240万平方米，2010年1282万平方米〔2〕3.从盛有盐的质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后参加1问：〔1〕第5次倒出的的1kg盐水中含盐多少〔2〕经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1解：〔1〕每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，那么：a1=0.2kg,a2=×0.2kg,a3=()2×0.2由此可见：an=()n1×0.2kg,a5=()51×0.2=()4×0.2=125kg〔2〕由1.得{an}是等比数列a1=0.2,q=【课堂小练】的通项公式是，其中为正常数，那么的大小关系为_____【答案】是递增的数列，且对于任意，都有成立，那么实数的取值范围是〔〕ABCD【答案】D是从这三个数中取值的数列，假设且，那么中值为0的个数为〔〕【答案】B，数列满足且〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设数列的通项，为的前n项之和，试比拟和的大小【答案】〔1〕〔2〕5.函数的图像过点和〔1〕求函数的解析式；〔2〕记，其中，数列前n项之和为，解关于的不等式；〔3〕对于〔2〕中的。整数96是否是数列中的项？【答案】〔1〕〔2〕〔3〕不是6.设〔1〕判断数列的单调性；〔2〕试确定的取值范围，使对于，，不等式恒成立。【答案】〔1〕为单调增函数〔2〕7.假设数列和满足关系：〔是任意正整数〕〔1〕求证数列是等比数列〔2〕设，求满足的的集合〔3〕设，的前项和为，试探索与之间的关系式。【答案】〔1〕,所以数列是等比数列〔2〕〔3〕【课后练习】1.等差数列的前n项和为，假设的值为常数，那么以下各数中也是常数的是〔〕A.B.C.D.2.等差数列和等比数列各项都是正数，且，那么，一定有〔〕A.C.3.等差数列所有项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，那么项数为。4.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______，这个数列的前n项和的计算公式为。5.三个实数排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是：①；②3；③；④7。其中正确的序号是。6.用数字0,1,2,3,5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列起来，得到一个数列，那么。7.等差数列的公差，数列是等比数列，又。〔1〕求数列及的通项公式；〔2〕设，求数列的前n项和〔写成关于n的表达式〕。8.设有数列，，假设以为系数的一元二次方程，且都有根满足。〔1〕求证：数列是等比数列；〔2〕求；〔3〕求的前n项和。9.定义在R上的函数和数列满足以下条件：，其中为常数，为非零常数。〔1〕令，证明数列是等比数列；〔2〕求数列的通项公式。10.数列{an}中，a1=且对任意非零自然数n都有an+1=an+〔〕n+1.数列{bn}对任意非零自然数n都有bn=an+1－an.〔1〕求证:数列{bn}是等比数列；〔2〕求数列{an}的通项公式.11．陈老师购置安居工程集资房72m2，单价为1000元/m29，≈10≈11≈12．某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，低息贷款，年利率为2%，按复利计息(即本年的利息计人次年的本金生息)．假设这次贷款要求分10次等额归还，每年一次，从贷款次年年初开始还，每年还2500元．问十年时间能否还清?13．某公司向银行贷款1600万元建设新生产线．银行按复利计息，年息为5%．假设生产线建成后获年均纯利润600万元．该公司过三年能否一次性还清贷款?14．我国森林覆盖率逐年提高．某林场去年底林木储量为am3，但树木以25％的年均增长率生长．从今年起每年冬季砍伐林木xm3．为实现过20年林木储量翻两番的目标．求每年砍伐量的最大值．答案：1、C2、B3、144、5、eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,4)6、321507、〔1〕〔2〕8、〔1〕略〔2〕〔3〕9、〔1〕略〔2〕10.〔1〕+2〔〕n+2－［an+〔〕n+1］=·〔〕n+1－an－·〔〕n+1=·〔〕n+1－an=·［〔〕n+1－an］，∴=〔n=1，2，3，…〕.∴{bn}是公比为的等比数列.〔2〕解：∵b1=〔〕2－a1=－·=，∴bn=·〔〕n－1=〔〕n+1.由bn=〔〕n+1－an，得〔〕n+1=〔〕n+1－an，解得an=