数学高一(上)沪教版(函数的性质-单调性(二))教师版

课题函数的性质--单调性〔二〕教学目的掌握函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性；2、掌握函数单调性与函数图像的关系。教学内容【知识梳理】1．函数单调性的定义？2．证明函数单调性的步骤是什么？3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用【典型例题】例1．(1)那么a的范围为(D)A．B．C．D．提示：21<0时该函数是R上的减函数.(2)函数)是单调函数的充要条件是(A)A．B．C．D．提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象(3)在区间上是减函数，且，那么以下表达正确的选项是〔D〕A．B．C．D．提示：可转化为和在利用函数单调性可得.(4)如以下图是定义在闭区间上的函数的图象,该函数的单调增区间为[-2,1]和[3,5]提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并.(5)函数的单调减区间是提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域.例2．画出以下函数图象并写出函数的单调区间〔1〕〔2〕解：(1)即如下图，单调增区间为，单调减区间为〔2〕当，函数当，函数即如下图，单调增区间为，单调减区间为(1)(2)例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．证明：设那么

，且在与中至少有一个不为0，不妨设，那么，故在上为减函数变式练习：确定函数的单调性并证明你的结论。答案：a>0,那么为单调递减，a<0,那么为单调递增，证明步骤参照上述例题例4.设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。〔1〕求证：；〔2〕证明：时恒有；〔3〕求证：在R上是减函数；〔4〕假设，求的范围。解：(1)取m=0，n=那么，因为所以(2)设那么由条件可知又因为，所以∴时，恒有〔3〕设那么==因为所以所以即又因为，所以所以，即该函数在R上是减函数.(4)因为，所以所以，所以变式练习：偶函数上是增函数，求不等式的解集。答案：x<-1或x>3【课堂小练】1．以下函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(

D

).A．

B．

C．D．提示：根据函数的图象.2.函数的增区间是〔

A

〕.A．[3,1]

B．[1,1]C．

D．提示：注意函数的定义域.3.在上是减函数，那么的取值范围是〔

A〕.A．

B．

C．

D．提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点.4．假设函数在区间[,b]上具有单调性，且,那么方程在区间[，b]上〔D〕A．至少有一个实数根B．至多有一个实数根C．没有实数根D．必有唯一的实数根提示:借助熟悉的函数图象可得.5.函数的单调增区间是____，单调减区间______。提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴.6．假设当时是增函数,当时是减函数,那么13提示：由题可知二次函数的对称轴是可求出m的值.7．在定义域内是减函数，且>0，在其定义域内以下函数为单调增函数的为②③①〔为常数〕；②〔为常数〕；③；④．提示：借助复合函数的单调性.8．函数上的最大和最小值的和为，那么=提示：是[0,1]上的增函数或减函数,故，可求得=9．设是定义在上的单调增函数，满足求：〔1〕f〔1〕；〔2〕当时x的取值范围.解:(1)令可得(2)又2=1+1=由,可得因为是定义在上的增函数,所以有且且，解得：10．求证:函数在上是增函数.证明:设那么当时,,，所以所以函数在上是增函数.【课后练习】1.以下四个函数：①;②；③;④，其中在上为减函数的是〔A〕。〔A〕①〔B〕④〔C〕①、④〔D〕①、②、④2.函数在和都是增函数，假设，且那么〔D〕A．B．C． D．无法确定3.函数是定义在上的减函数，假设，实数的取值范围为(B)A.B.C.D.4.，函数的单调递减区间为5.函数在上的值域为6.判断函数(≠0)在区间(－1，1)上的单调性。解：设,那么－＝,∵,,,,∴>0,∴当时,,函数在(－1,1)上为减函数，当时,,函数在(－1,1)上为增函数.7.作出函数的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.解:当时,当时,由函数图象