数学高二(上)沪教版(求数列通项的公式方法)教师版

年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题求数列通项的公式方法教学目的1、掌握各种不同的求数列通项的方法，能够在具体做题目的时候选择恰当的方法。教学内容【知识梳理】等差数列的通项公式是如何推导的？用的是什么方法？等比数列的通项公式是如何推导的？用的是什么方法？【典型例题分析】一、公式法〔变形后用公式〕例1、中，假设求an 解：+4,即＝４，｝是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{an}的通项。变式练习1：数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，那么，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。变式练习2:数列{an}中,求an.答案：变式练习3：正数数列{an}中，假设a1=10,且求an.解：由题意得：，即.即二、累加法例2、数列满足，求数列的通项公式。解：由得那么所以数列的通项公式为。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。变式练习1：数列满足，求数列的通项公式。解：由得那么所以评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。变式练习2：数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，那么，故因此，那么评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。三、累乘法例3、数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，那么，故所以数列的通项公式为评注：此题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。变式练习:数列满足，求的通项公式。解：因为 ①所以 ②用②式－①式得那么,故所以 ③由，，那么，又知，那么，代入③得。所以，的通项公式为评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。四、待定系数法例4、在数列{an}中a1=1，当n≥2时，有an=3an-1+2，求其通项an解析：对于形如an+1=pan+q(p,q为常数)的递推公式都可以采用此法，即可设an+1-t=p(an-t)再设法求出参数t.由题设知an+1=3an+2，可化为an+1-t=3(an-t)，即an+1=3an-2t，比拟系数得-2t=2，即t＝－1，于是an+1+1=3(an+1)，故数列{an+1}是公比为3的等比数列，首项为a1+1=2，那么an+1=2·3n-1，即an=2·3n-1-1。例5、数列满足，求数列的通项公式。解析：设 ④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤由及⑤式得，那么，那么数列是以为首项，以2为公比的等比数列，那么，故。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。变式练习：数列满足求答案：五、运用Sn与an的关系例6、数列{an}的前n项和Sn=10n+1，求通项公式an.解析：当n=1时，S1=a1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1。当n≥2时，an=Sn-Sn-1=10n+1-(10n-1+1)=9·10n-1，又当n=1时，a1=S1=11不适合上式，∴通项公式an=。变式练习：正项数列{an}的前n项和为Sn，假设2=an+1(n∈N*)，求通项公式an.解析：根据题设2=an+1得4Sn=an2+2an+1，当n≥2时，有4Sn-1=an-12+2an-1+1，二式相减，得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，由an>0知an-an-1=2，所以{an}是2为公差的等差数列，当n=1时，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.六、对数变换法例7、数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩设 eq\o\ac(○,11)将⑩式代入eq\o\ac(○,11)式，得，两边消去并整理，得，那么，故代入eq\o\ac(○,11)式，得eq\o\ac(○,12)由及eq\o\ac(○,12)式，得，那么，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，那么，因此那么。评注：此题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。七、迭代法例8、数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：此题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。八、数学归纳法例9、数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。〔1〕当时，，所以等式成立。〔2〕假设当时等式成立，即，那么当时，由此可知，当时等式也成立。根据〔1〕，〔2〕可知，等式对任何都成立。评注：此题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例10、数列满足，求数列的通项公式。解：令，那么故，代入得即因为，故那么，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，那么，即，得。评注：此题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。【课堂总结】常用的求数列通项公式的方法：1、公式法〔通过变形凑结构可以得到一个特殊数列---等差或等比数列，利用等差等比数列的通项公式求解〕2、累加列乘法3、运用Sn与an的关系4、待定系数法5、数学归纳法【课后练习】1、数列对于任意，有，假设，那么 。2、数列{}的前项和，那么其通项；3、数列满足,求数列的通项公式。 4、数列的首项为1，且写出数列的通项公式。5、数列满足，，求此数列的通项公式。6、数列中,,求数列的通项公式。7、设是首项为1的正项数列，且〔=1，2，3，…〕，那么它的通项公式是=________.8、,求数列的通项公式。9、数列满足,,求数列的通项公式。10、数列{an}满足a1=1，Sn=，求通项an11、数列,求此数列的通项公式。12、数列中，求通项。13、设数列的前项和为．，，．求数列的通项公式。14、设是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项(1)写出数列的前3项(2)求数列的通项公式(写出推证过程)15、各项均为正数的数列的前n项和满足，且，求的通项公式；16、在数列中，，，．〔Ⅰ〕证明数列是等比数列；〔Ⅱ〕求数列的通项公式；17、设数列的前项和为，〔Ⅰ〕证明：当时，是等比数列；〔Ⅱ〕求的通项公式。18、在数列中，，其中．求数列的通项公式；课后作业答案：1、4；2、2n-103、；4、；5、6、7、8、9、10、解析：由a1=1，当n=2时，a1+a2=a2a2=2a1=2，当n=3时，a1+a2+a3=2a3a3=3，同理可得a4=4，……猜测得an=n，下面用数学归纳法证明。1°当n=1，2，3时，已验算成立，2°假设n=k时，猜测成立，即ak=k，当n=k+1时，Sk+1=ak+1，又Sk=ak=，二式相减，得aK+1=ak+1-ak+1=ak+1=k+1，即n=k+1时猜测也成立，由1°2°知对于一切自然数n都有an=n.11、12、13、解：依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．，，于是，当时：，14、(1)由题意，当n=1时，有，S1=a1，∴，解得a1=2当n=2时，有，S2=a1+a2，将a1=2代入，整理得(a2－2)2=16，由a2＞0，解得a2=6当n=3时，有，S3=a1+a2+a3，将a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64，由a3＞0，解得a3=10故该数列的前3项为2，6，10(2〕解法一由(1〕猜测数列{an}有通项公式an=4n－2下面用数学归纳法证明{an}的通项公式是an=4n－2，(n∈N*〕n=1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有，将ak=4k－2代入上式，解得2k=，得Sk=2k2，由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1，将Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2，即当n=k+1时，上述结论成立根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N*成立解法二由题意知，(n∈N*)整理得，Sn=(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2，∴an+1=Sn+1－Sn=［(an+1+2)2－(an+2)2］整理得(an+1+an〕(an+1－an－4)=0，由题意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，即数列{an}为等差数列，其中a1=2，公差d=4∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1)，即通项公式为an=4n－2解法三由得,(n∈N*)①，所以有②，由②式得，整理得Sn+1－2·+2－Sn=0，解得，由于数列{an}为正项数列，而，因而，即{Sn}是以为首项，以为公差的等差数列所以=+(n－1)=n,Sn=2n2，故an=即an=4n－2(n∈N*)15、解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。又由an+1＝Sn+1-Sn＝，得an+1-an-3＝0或an+1＝-an因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。因此an+1-an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。16、〔1〕证明略；〔2〕17、解：由题意知，且两式