2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第24讲两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式教师版

第24讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（讲）思维导图知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，β，α＋β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，β，α－β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).题型归纳题型1公式的直接应用【例1-1】已知sin（π﹣α）=33，则cos2A．223 B．-13 C．2【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算求解．【解答】解：∵sin（π﹣α）＝sinα=3∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×(故选：D．【例1-2】计算cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝（）A．12 B．-12 C．32【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用和余弦的和角公式的运用求出结果．【解答】解：cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝cos18°•cos42°﹣sin18°•sin42°=cos故选：A．【例1-3】若3sinα-2sinA．-233 B．233 C．【分析】由两角和的正弦公式展开整理可得3cosα＝2sinα-7，两边平方，由基本关系式sin2α+cos2α＝1可得7sin2α﹣47sinα+4＝0，解出sinα，进而求出cosα【解答】解：由3sinα-2sin(α+π3)-7=0，化简可得3sinα﹣2⋅12sinα﹣2⋅32cosα两边平方可得3cos2α＝4sin2α﹣47sinα+7，整理可得3（1﹣sin2α）＝4sin2α﹣47sinα+7，即7sin2α﹣47sinα+4＝0，解得sinα=2所以3cosα＝2⋅27-7=所以tanα=sinα故选：A．【跟踪训练1-1】已知tanα=12，tan（α+β）=13A．16 B．-17 C．17【分析】由于β＝（α+β）﹣α，根据已知利用两角差的正切函数公式即可计算求解．【解答】解：∵tanα=12，tan（α+β）∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]=tan故选：B．【跟踪训练1-2】sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（）A．0 B．12 C．32 D【分析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos15°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos（15°+45°）=1故选：B．【跟踪训练1-3】sin2π12A．2-34 B．2+34 C．【分析】利用二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：sin2π12故选：A．【跟踪训练1-4】若cosα=13，则cos2A．-79 B．-89 C．7【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：∵cosα=1∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（13）2﹣1=故选：A．【跟踪训练1-5】若tan2α=14，则tan（α+π4）+tan（α【分析】展开两角和与差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案．【解答】解：∵tan2α=1∴tan（α+π4）+tan（=1+故答案为：12【跟踪训练1-6】2cos215°﹣1等于．【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果．【解答】解：2cos215°﹣1＝cos30°=3故答案为：32【名师指导】应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．题型2三角函数公式的逆用与变形用【例2-1】（1+tan19°）•（1+tan26°）＝．【分析】先把所求展开，再根据两角和的正切即可求解结论．【解答】解：因为（1+tan19°）•（1+tan26°）＝1+tan19°+tan26°+tan19°tan26°＝1+tan（19°+26°）（1﹣tan19°tan26°）+tan19°tan26°＝1+1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26°＝2；故答案为：2．【例2-2】已知cos(x-πA．32 B．3 C．12 D【分析】由题意利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知cos(∴cosx+cos(x-π3)=cos[（x＝cos（x-π3）cosπ3-sin（x-π3）sin=32cos（x-π3）-32sin（x-π3）=3cos（x-π6故选：D．【跟踪训练2-1】1-A．12 B．-12 C．32【分析】切化弦，易得原式为cos210°，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：1-tan2105°故选：D．【跟踪训练2-2】化简1-A．sin2+cos2 B．sin2﹣cos2 C．cos2﹣sin2 D．﹣sin2﹣cos2【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案．【解答】解：1si＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2．故选：A．【名师指导】两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)．(3)倍角公式变形：降幂公式．题型3角的变换与名的变换【例3-1】设α，β∈（0，π），cosβ=-1213，cosα2=255，则cosα＝【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．【解答】解：cosα＝2cos2α2-1＝2×（255）2﹣1=35，则α则sinα=45，tanα∵cosβ=-1213，∴sinβ=513则tan（α+β）=tanα+tanβ故答案为：35，【例3-2】若tanα＝3，则cos2α+3sin2α＝．【分析】先利用余弦的二倍角公式将其化简，再利用同角三角函数的平方关系将分母的1用sin2α+cos2α代替，然后将分式的上下同除cosα后，可将原式转化为只含tanα的表达式，代入数据即可得解．【解答】解：cos2α+3sin2α＝cos2α﹣sin2α+3sin2α=co两边同除cosα，原式=1+2ta故答案为：1910【例3-3】已知cos（π2+θ）=-32，则cos2θ【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果．【解答】解：∵已知cos（π2+θ）=-32=-sin则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×3故答案为：-1【跟踪训练3-1】已知sin2θ=-34，则tanA．43 B．-43 C．83【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解．【解答】解：sin2θ=-则tanθ+1故选：D．【跟踪训练3-2】已知cos（α+π3）=1A．13 B．-13 C．22【分析】由角的转化可得π6-α=π2-（α+π3），进而可得sin（π6-α）＝sin[π2-【解答】解：因为π6-α=π2所以sin（π6-α）＝sin[π2-（α+π3）]＝cos故选：A．【跟踪训练3-3】已知cos(θ-πA．-2425 B．-1225 C．12【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值．【解答】解：由cos(θ-π4)=7210，则sin2θ＝＝2×(72故选：D．【名师指导】1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(