2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第18讲导数的应用-利用导数研究不等式恒成立能成立问题学生版

第18讲导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题思维导图知识梳理一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min.若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．题型归纳题型1分离参数或构造函数解决恒成立问题【例1-1】已知函数f(x)＝xlnx，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．【跟踪训练1-1】已知函数f(x)＝alnx－x＋1(其中a∈R)．(1)讨论函数f(x)的极值；(2)对任意x>0，f(x)≤eq\f(1,2)(a2－1)成立，求实数a的取值范围．【名师指导】分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．题型2分离参数或构造函数解决不等式能成立问题【例2-1】已知函数f(x)＝x－alnx，g(x)＝－eq\f(a＋1,x)(a∈R)．若在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范围．【跟踪训练2-1】已知a为实数，函数f(x)＝alnx＋x2－4x.(1)若x＝3是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；(2)设g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围．【名师指导】题型3最值定位法解决双参不等式恒成立问题【例3-1】已知函数f(x)＝eq\f(1,2)lnx－mx，g(x)＝x－eq\f(a,x)(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若m＝eq\f(1,2e2)，对∀x1，x2∈[2,2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围．【跟踪训练3-1】已知函数f(x)＝－alnx＋x＋eq\f(1－a,x).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围．【名师指导】1．最值定位法解双参不等式恒成立问题的思路(1)通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围．(2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位，对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，等价于f(x)min(x∈[a，b])≥g(x)max(x∈[m，n])，列出参数所满足的不等式，便可求出参数的取值范围．2．常见的双变量不等式恒成立问题的类型(1)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)max.(2)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min.(3)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)min.(4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g