2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章 导数与函数的单调性

第三章一元函数的导数及其应用

§3.2导数与函数的单调性

【考试要求】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函

数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.3.会利用函数的单调性

判断大小，求参数的取值范围等简单应用.

・落实

佚口识梳理】

1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

f(x)>0在区间（a,b）上单调递增

函数^=危）在区间（。，b）

f(x)<o火x）在区间（a,b）匕单调递减

上可导

f(x)=0大均在区间（a,6）上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数/（x）的零点;

第3步，用，（x）的零点将沢x）的定义域划分为若干个区间，列表给出，（x）在各区间上的正

负，由此得出函数y=/（x）在定义域内的单调性.

【常用结论】

1.若函数40在伍，6）上单调递增，则当xe（a,6）时,，（x）20恒成立；若函数40在（a,b）

上单调递减，则当xW（。，b）时，/，（x）W0恒成立.

2.若函数｛x）在5，6）上存在单调递增区间，则当xC（eb）时，/（x）＞0有解；若函数々0

在（“，6）上存在单调递减区间，则当xe（q,6）时，/（x）＜0有解.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）如果函数人x）在某个区间内恒有，（x）=0,则在此区间内没有单调性.（V）

(2)在(a,b)内/(x)WO且/(x)=0的根有有限个，则｛x)在(a,6)内单调递减.(V)

(3)若函数次X)在定义域上都有/'(x)>0,则y(x)在定义域上一定单调递增.(X)

(4)函数/(x)=x—sinx在R上是增函数.(V)

【教材改编题】

(x)是大x)的导函数，若/(x)的图象如图所示，则_/(》)的图象可能是()

答案C

解析由/'(x)的图象知,

当xd(—8,0)时，/(x)>0,单调递增；

当xG(0,xi)时，/(x)<0，单调递减；

当xd(xi,+8)时，/(x)>0,.,.火x)单调递增.

2.函数«r)=x2-21nx的单调递减区间是()

A.(0,1)B.(1,+°°)

C.(一8,1)D.(-1,1)

答案A

7

解析**/'(x)——

x

受+1)(匸

X

令/(x)=0,得x=1(负值舍去)，

.•.当xW(0,l)时,f(x)<0,九x)单调递减;

当XG(1,+8)时，/(x)>0,/(x)单调递增.

3.己知函数./(x)=xsinx,x£R,则■日的大小关系为.

.(用

连接)

答案/B]</(i)</0

伝，q时—+、—)在回

解析因为/(x)=xsinx,当2J上

单调递增，又因为0令1〈等，所以/原也卜，©

■探究核心题型

题型一不含参函数的单调性

例1(1)函数7(x)=xlnx—3x+2的单调递减区间为.

答案(0,e2)

解析危)的定义域为(0,+8),

f(x)=lnx—2,

当xG(0,e?)时，f(x)<0,

当xd(e2,+8)时，/(x)>0,

二危)的单调递减区间为(0,e2).

(2)若函数义刈=皿土丄则函数｛x)的单调递增区间为.

答案(0,1)

解析y(x)的定义域为(0,+°°),

1,,

—Inx—1

f---------

令X(x)=~Inx—l(x>0),

x

“(x)=T」vO，

X2X

0(x)在(0,+8)上单调递减,且旗l)=o,

.•.当xG(0,l)时,矶x)>0,

当xe(l,+8)时，<p(x)<0,

在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

二函数危)的单调递增区间为(0,1).

思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，

一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔

开.

跟踪训练1已知函数/)=x-lnx一旦判断函数｛x)的单调性.

X

解因为於)=%一In%一'，

x

所以r

XX2X2

令g(x)=LeS则g'(x)=l—eY,

可得g(R)在(0，+8)上单调递减,

所以g(x)<g(0)=-l<0.

所以当xG(O,l)时，，(x)>0；当xG(l,+8)时，，(X)<0,

所以<x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

题型二含参数的函数的单调性

例2已知函数负x)=(2—a)x—Inx-1,aSR.

(1)当。=1时，求函数y=/(x)的单调递增区间；

⑵若a〈0,设g(x)=Ax)+a/,求函数g(x)的单调区间.

解(1)当。=1时，｛x)=x-lnx—1,则/(x)=1(x>0),

Xx

当心>1时，/a)>o,・•.兀C)的单调递增区间为(1,+8).

(2)g(x)=+(2—tz)x—Inx—l(tz<0),其定义域为(0,+°°),

・/zX_l_2ax2+(2—a)x—l_(2x—l)(ax+l)

..g(x)=20ax+2—a—=----------------------=------------------(tz<0),

XXX

令g'(%)=0,可得即=丄X2=-->0,

2a

①若一丄即一2<〃v0,

a2

当或—1时,g'(x)<0；当1冗<—1时,g'(x)>0,

2a2a

1+oo]

・・・g(x)的单调递减区间为/J,单调递增区间

②若一1=丄，即。=-2,则g'(x)W0,...g(x)的单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间;

a2

③若0<—,即a<—2,

a2

当O〈xv—丄或时，gr(x)<0；

当一丄时，g'(x)>0,

a2

..名⑴的单调递减区间为m+°°),单调递增区间为匕’力.

综上，当一2<战0时，g(x)的单调递减区间为(°3㈡+"单调递增区间*4]；

当。=—2时，g(x)的单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间；

当心一2时，g(x)的单调递减区间为(°，-+°°],单调递增区间为卜/

思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.

跟踪训练2已知函数g(x)=(x—6?—l)eY—(X—^)2,讨论函数g(x)的单调性.

解g(x)的定义域为R,

g'(x)=(x—a)er—2(x—a)=(x—a)(ev—2),

令g'(x)=0,得x=a或x=ln2,

①若a>ln2,

则当xe(—8,In2)U(a,+8)时,g'(x)>0,

当xG(ln2,a)时,g'(x)<0,

；.g(x)在(-8,in2),(a,+8)上单调递增，在(In2,a)上单调递减.

②若“=ln2,则g'(x)》0恒成立，

；.g(x)在R上单调递增，

③若a<ln2,

则当xG(—8,a)U(ln2,+8)时，g>(x)>0,

当In2)时，g'(x)<0,

；.g(x)在(一8,。)，(in2,+8)上单调递增，在(。,In2)上单调递减.

综上，当”>ln2时，g(x)在(-8,in2),(a,+8)上单调递增，在(M2,4上单调递减;

当。=ln2时，g(x)在R上单调递增；

当a<ln2时，g(x)在(一8,“)，(in2,+8)上单调递增，在3,In2)上单调递减.

题型三函数单调性的应用

命题点1比较大小或解不等式

例3(1)(多选)下列不等式成立的是()

A.21n^<-ln2B.啦卜亚佩価

22

C.5In4<41n5D.7c>eln71

答案AD

解析设心)=皿。>0),

则/(加匕”

所以当O〈x〈e时，，(x)>0,函数负x)单调递增;

当x>e时，，(x)vO,函数次x)单调递减.

因为|<2<e,

2

所以八2以/(2),

即21rlY-]n2,故选项A正确;

22

因为也R5ve,

所以人仍)勺M),

即glnS>451n@,故选项B不正确；

因为e<4<5,

所以/(4)次5),即51n4>41n5,

故选项C不正确；

因为e<n,

所以/(e)力(兀)，即7t>eln兀，故选项D正确.

(2)已知函数/(x)=cosx+ex+er—52,则关于工的不等式沢2%一1)勺(3+x)的解集为()

A.(-1,2)

C.(-8,-l)u(2,+°°)

『一8,—2］丄

D.l3ju(4,+8)

答案B

解析f(x)=er—e-x—sinx-x,

令g(x)=e''一ex—sinx—x,贝llg'(x)=e'+ex—cosx-1>2\ev-ev—cosx­1=1—cosx^O,

当且仅当x=0时等号成立，

函数g(x)在R上单调递增，

又g(0)=0，

.•.当XC［O,+8)时，g(x)>g(0)=0,

•••/(x)》0,

.•.当xd(—8,0)时，g(x)<g(0)=0,

"(x)<0,

二段)在(一8,0)上单调递减，在［0,+8)上单调递增，

又/(一x)=/(x)，

二危)为偶函数,

...关于x的不等式貝合一1)依3+x)可转化为|3+x|>|2x-l|,解得一|<x<4.

即关于x的不等式貝2x—1)勺(3+x)的解集为(一3,"

命题点2根据函数的单调性求参数

例4已知函数y(x)=lnx—2x(aW0).

⑴若以)在［1,4］上单调递减，求实数〃的取值范围;

⑵若貝x)在［1,4］上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

解⑴因为大x)在［1,4］上单调递减，所以当4］时,/(x)=L—ax—2W0恒成立，即心丄

2-

一2恒成立.设G(x)=：-2,xG［1,4］,所以a扌G(x)max,而G(x)=lJ1,

xJTx

因为XG［1,4］,所以丄1］,所以G(X)max=一工此时X=4),所以一

x1616

上，

又因为aWO,所以实数a的取值范围是［16oJlu(O,+°°).

(2)因为大x)在［1,4］上存在单调递减区间，

则，(x)<0在［1,4］上有解，所以当xd［l,4］时，aC有解，

xx

又当Xd［l,4］时，2Jmin=-1(此时x=l),

所以心一1,又因为“WO,所以实数a的取值范围是(一1,O)U(O,+«，).

思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法

(1)函数在区间(a,6)上单调，实际上就是在该区间上/(x)》O(或/(x)W0)恒成立.

(2)函数在区间(a,6)上存在单调区间，实际上就是，(x)>0(或/'(x)<0)在该区间上存在解集.

跟踪训练3(1)已知函数貝x)=丄-e<+2x-4：3,若4342)+貝2a-l)N0,则实数a的取值范

ev3

围是.

答案一iWaw!

3

解析由题意得(x)=—"'■—e，+2—+«)+2一/，

因为e「+丄》•丄=2,当且仅当x=O时等号成立，所以/(x)W0,所以函数兀0在R上

evYe'

单调递减，

又貝x)=一4一x)，所以｛x)为奇函数，

2

所以負3a3+flla-])>0=>/3a)>一火2〃-1)=人1-2a),

即3a2W1—2a,解得一IWaW.

3

(2)已知函数火x)=-$2—3x+41nx在(3f+2)上不单调，则实数f的取值范围是

答案［0,1)

解析由题意，/*(x)=—"X—3+«=一匸^^~~%e(0,+°°),

XX

当f(x)=0时，有N+3x—4=0,得》=-4或x=l,

•.%)在(f,f+2)上不单调，且(f,f+2)=(0,+8),

Z<l</+2,

解得y[0,1).

reo,

课时精练

立基础保分练

1.函数y(x)=xlnx+l的单调递减区间是()

48,1]化+8]

A.lejB.leJ

[o,q

C.lejD.(e,+8)

答案C

解析人¥)的定义域为(0,+°°),

f(x)=l+lnx,

令/(x)<0,得0<x2,

e

所以外)的单调递减区间为

2.已知/(x)是函数y=;3)的导函数，且(x)的图象如图所示，则y=段)函数的图象

可能是()

AB

答案D

解析根据导函数的图象可得，当X£(—8,0)时，，a)<0,则/(x)单调递减;

当xG(0,2)时，，(x)>0,则貝x)单调递增；

当xd(2,+8)时，/(x)<0,则/)单调递减,

所以只有D选项符合.

3.(2023・邯郸模拟)已知函数/(x)=[—JInx,且Q

c=/(”),则()

A.a>b>cB.c>a>b

C.a>c>bD.c>h>a

答案B

解析由於）=1xjlnx,

1+-

得/（x）=iny

当xd(0,l)时，f(x)<0,段)单调递减,

因为c=

所以/⑸IM故d>d>b.

4.已知aCR,贝I」“aW2”是“y(x)=lnx+x2-ax在(0,+8)上单调递增”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为7(x)=lnx+x2—ax在(0,十8)上单调递增,

则，(x)=1+2x—aNO对任意的x>0恒成立，即

xX

八出工=2/，当且仅当x

当x>0时，由基本不等式可得2x+丄22,,等号成立,

所以“W2/.

因为｛a|°W2｝休｛a|aW2S｝,

因此，“aW2”是“/(x)=lnx+x2—ax在(0,+8)上单调递增”的充分不必要条件.

5.(多选)(2023•深圳模拟)若O〈X|VX2<1,则()

A.e*-e*>ln=+1B.e*-eX|<ln'+1

X1+1X1+1

C.X2eA|>xie"D.X2ex,<x\e"

答案AC

解析令外)=守一ln(x+l)且xG(0,l),

则/(幻:^—一了。，

x-r1

故段)在区间(0,1)上单调递增，

因为0<Xl<X2<l，

所以火心)勺(X2),

即eY,-ln(xi+1)<eA2—10(x2+1),

故e"—e*>ln1+1,

xi+1

所以A正确，B错误；

令人x)=封且xe(0,l),

X

则/。)=缈丁1)<0,

X-

故小)在区间(0,1)上单调递减,

因为O<X1<X2<1,

所以於1)决⑵，

er«巳均

即—>—,

故X2ex,>%ie'2,

所以C正确，D错误.

6.(多选)如果函数Xx)对定义域内的任意两实数M，X2(X|WX2)都有皿口妈>0,则称函

Xl—X2

数y=/(x)为“尸函数”•下列函数不是“尸函数''的是()

A.{x)=e，B.{x)=/

C.J(x)=\nxD.J(x)=sinx

答案ACD

解析依题意，函数g(x)=M(x)为定义域上的增函数.

对于A,g(x)=xeY,g'(x)=(x+l)eY,

当xW(—8,-i)时,gf(x)<0,

・・・g(x)在(一8,—1)上单调递减，故A中函数不是'/函数”；

对于B,g(x)=x3在R上单调递增，故B中函数为“厂函数”；

对于C,g(x)=xlnx,g'(x)=l+lnx,x>0,

当xw!，J时，g'(x)<0,

.•.g(x)在卜，J上单调递减，

故C中函数不是“F函数”；

对于D,g(x)=xsinxfg'(x)=sinx+xcosx,

当口2’oJl时，gf(x)<0,

.♦.g(x)在1—30)上单调递减，

故D中函数不是“尸函数”.

7.函数/(x)=e-vcosx(x£(0,兀))的单调递增区间为.

答案

解析f(x)=­e-Acosx—e-'sinx=­e-v(cosx+sinx)=—A/2e-vsinl用,

当xjd"时，e'>0,sin[+J>0,则/(x)<0；

-x

当xdb'1时,e>0,sin［+力<0,则/(x)>0,

pHa

.•./(x)在(0,兀)上的单调递增区间为14'J

8.己知函数貝x)="-2x2+lnx(a>0),若函数人x)在［1,2］上不单调，则实数的取值范围是

a

答案|<a<l

解析/(x)=3—4x+L若函数危)在［1,2］上为单调函数，

ax

即，(x)=3-4x+丄2。或/(x)=3-4x+丄W0在［1,2］上恒成立,

axax

即324x—l或一丄在［1,2］上恒成立.

axax

令A(x)=4x--,则〃(x)在［1,2］上单调递增，

x

所以32訳2)或

aa

即或3W3,

ala

7

又。>0,所以或“21.

因为<x)在［1,2］上不单调，故|<avl.

9.已知函数/(x)=ae，-x,a^R.

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,貝1))处的切线方程；

(2)试讨论函数/(X)的单调性.

解(1)因为。=1,

所以<*)=d一x,则，(x)=ev—1,

所以/(l)=e—1,

所以曲线y=/(x)在点(1,寅1))处的切线方程是^-(e-l)=(e-l)(x-l),

即y=(e—l)x.

(2)因为y(x)="e<-x,a2R,X£R,

所以/(x)=aeJl,

当aWO时，/(x)=ae，-l<0,则兀v)在(-8,+8)上单调递减；

当°>0时，令/，(x)=O,得x=—Ina,

当x<一Ina时，/(x)<0,当x>—Ina时，/(x)>0,

所以/(x)在(一8,一Ina)上单调递减,

在(一Ina,+8)上单调递增，

综上，当aWO时，貝x)在(-8,+8)上单调递减；

当a>0时，./(x)在(一8,一Ina)上单调递减，在(一Ino,+8)上单调递增.

10.已知aCR,函数兀r)=(-x2+ax)e,x&R.

(1)当a=2时，求函数人x)的单调递增区间：

(2)若函数人外在(-1,1)上单调递增，求实数a的取值范围.

解(1)当a=2时，./)=(-N+2x)巴/(x)=-(x2—2)e'\

令/‘(x)>0,即》2—2<0,解得一仿，

.♦•/(X)的单调递增区间是(一価，①

(2»'(x)=［—N+伍-2)x+a］e'.，若々v)在(-1,1)上单调递增，

即当一181时，/，(x)20,

即一炉+(。—2)x+a20对入£(—1,1)恒成立，

即-----对x£(—1,1)恒成立,

x+1

令y=x+l-----,贝K=14---------；>°，

x+1(x+1)2

...y=x+l—-匚在(一1,1)上单调递增,

x+1

/.y<l+1-------=3,

,1+12

・・・心3,

2

+

的取值范围是°°1

立综合提升练

11.(多选)已知函数人》)=1!1(62，+])—X,则下列说法正确的是()

A.J(ln2)=ln|B.人的是奇函数

C.寅》)在(0,+8)上单调递增D.於)的最小值为In2

答案ACD

解析/(In2)=ln(e2ln2+l)-ln2=ln5-ln2=lnA正确;

/(x)=ln(e2r+l)—x=lne'+ei)定义域为R,其中人一*)=111(1*+e)=/0),故/(x)是偶函数，

B错误；

f(x)=e,e_,当xe(o,+8)时，/(x)=-■-J>0,故/(x)在(0,+8)上单调递增，C正

er+e*er+e*

确；

根据貝X)在(0,+8)上单调递增，且Xx)是偶函数，可得兀0在(-8,0)上单调递减，故人X)

的最小值为火0)=ln2,D正确.

12.己知函数/(x)